摘要：內(nèi)積空間是大學(xué)線性代數(shù)或高等代數(shù)課程教學(xué)的重要內(nèi)容，分為實(shí)內(nèi)積空間和復(fù)內(nèi)積空間兩部分內(nèi)容。在實(shí)內(nèi)積空間的教學(xué)中我們引入了特殊矩陣正交矩陣，而在復(fù)內(nèi)積空間的教學(xué)中我們對(duì)應(yīng)于正交矩陣引入了特殊矩陣酉矩陣。本文對(duì)內(nèi)積空間的教學(xué)中正交矩陣和酉矩陣的兩個(gè)字面敘述相同容易引起學(xué)生困惑的充要條件即“矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組”進(jìn)行仔細(xì)分析，指出了它們之間雖然字面敘述一樣但卻隱藏著本質(zhì)性的不同之處，這一不同之處就是這兩個(gè)充要條件各自成立的大前提條件的不同，而引起學(xué)生困惑的根源就在于我們?yōu)榱诉@兩個(gè)充要條件記憶和敘述方便省略了它們各自成立的大前提條件。于是我們得出結(jié)論，教師在內(nèi)積空間的教學(xué)中，應(yīng)該主動(dòng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定理成立的大前提條件，以免學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生疑惑。

關(guān)鍵詞：內(nèi)積空間；正交矩陣；酉矩陣；單位正交向量組；大前提條件

一、 引言

內(nèi)積空間是大學(xué)線性代數(shù)或高等代數(shù)課程教學(xué)的重要內(nèi)容，分為實(shí)內(nèi)積空間（又稱Euclid空間）和復(fù)內(nèi)積空間（又稱酉空間）兩部分內(nèi)容。這兩部分內(nèi)容中的相關(guān)知識(shí)是平行對(duì)應(yīng)的，教師時(shí)常會(huì)在教學(xué)中為學(xué)生加以類比。例如，在實(shí)內(nèi)積空間的教學(xué)中我們引入了特殊矩陣正交矩陣，而在復(fù)內(nèi)積空間的教學(xué)中我們對(duì)應(yīng)于正交矩陣引入了特殊矩陣酉矩陣。在矩陣?yán)碚撝?，正交矩陣和酉矩陣是兩類重要的特殊矩陣，它們有不少比較好的性質(zhì)。本文將對(duì)在內(nèi)積空間教學(xué)中正交矩陣和酉矩陣的兩個(gè)字面敘述相同的充要條件“矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組”作出分析，指出它們相同字面敘述背后隱藏著的本質(zhì)上的不同之處以及學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生困惑的根源，進(jìn)而得出結(jié)論：教師在內(nèi)積空間的教學(xué)中應(yīng)該主動(dòng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定理成立的大前提條件以消除學(xué)生的疑惑。

先說(shuō)明一些本文將使用的符號(hào)。I表示n階單位矩陣；AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置；A*表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置。兩個(gè)列向量x和y的內(nèi)積用〈x，y〉來(lái)表示。

二、 定義

定義1一個(gè)n階實(shí)矩陣A叫做一個(gè)正交矩陣，如果AAT=ATA=I。

定義2一個(gè)n階復(fù)矩陣U叫做一個(gè)酉矩陣，如果UU=UU=I。

這里特別要注意，正交矩陣是一個(gè)實(shí)矩陣，為了強(qiáng)調(diào)這一限制以免初學(xué)的學(xué)生忘記，教師在課堂上教學(xué)時(shí)可以告訴學(xué)生，也可以將正交矩陣稱為“實(shí)正交矩陣”。很明顯，正交矩陣一定是酉矩陣，正交矩陣集合是酉矩陣集合的真子集。

三、 對(duì)正交矩陣和酉矩陣兩個(gè)字面敘述相同的充要條件的分析

在內(nèi)積空間的教學(xué)中，有的教師會(huì)向?qū)W生介紹正交矩陣和酉矩陣的兩個(gè)常用和重要的充要條件：

定理1一個(gè)n階實(shí)矩陣A是正交矩陣的充要條件是這個(gè)矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組。

定理2一個(gè)n階復(fù)矩陣U是酉矩陣的充要條件是這個(gè)矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組。

（注：把上述兩個(gè)定理中的列向量組改為行向量組，結(jié)論同樣成立）

乍一看，定理1和定理2后面充要條件的文字?jǐn)⑹鍪峭耆粯拥?，都是“矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組”。這樣一來(lái)，如果一些學(xué)生只看文字表面不加仔細(xì)思考的話，就會(huì)感到很疑惑，甚至容易得出一個(gè)矩陣是正交矩陣和一個(gè)矩陣是酉矩陣是一回事，也就是正交矩陣就是酉矩陣的謬論來(lái)。那么問(wèn)題出在什么地方呢？怎樣給學(xué)生解釋清楚消除困惑并幫助他們辨析和糾正錯(cuò)誤呢？

為了找出問(wèn)題的根本原因，我們可以仔細(xì)考察這兩個(gè)結(jié)論的證明。

定理1的證明：

先將矩陣A按列分塊為A=（a1，a2，…，an），其中a1，a2，…，an是A的n個(gè)列向量，則

A是正交矩陣（a1，a2，…，an）T（a1，a2，…，an）=IaT1aT2aTn（a1，a2，…，an）=I

aTiaj=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n〈ai，aj〉=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，nA的列向量組a1，a2，…，an是單位正交向量組。

定理2的證明：

先將矩陣U按列分塊為U=（u1，u2，…，un），其中u1，u2，…，un是U的n個(gè)列向量，則

U是酉矩陣（u1，u2，…，un）（u1，u2，…，un）=Iu1u2un（u1，u2，…，un）=I

uiuj=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n〈ui，uj〉=δij=1，i=j0，i≠j，i，j=1，2，…，n

U的列向量組u1，u2，…，un是單位正交向量組。

現(xiàn)在我們對(duì)比一下這兩個(gè)定理的證明過(guò)程。從總體上可以看出，這兩個(gè)證明過(guò)程完全類似。為了找出主要的不同之處，我們需要仔細(xì)對(duì)比分析這兩個(gè)證明過(guò)程。不難看出，倒數(shù)第二步推導(dǎo)，即aTiaj=δij〈ai，aj〉=δij和uiuj=δij〈ui，uj〉=δij，體現(xiàn)了這兩個(gè)證明過(guò)程的本質(zhì)差異。前一個(gè)證明過(guò)程的推導(dǎo)用到了〈ai，aj〉=aTiaj，而后一個(gè)證明過(guò)程的推導(dǎo)用到了〈ui，uj〉=uiuj。雖然都是內(nèi)積，用的公式卻不一樣。原因在于前一個(gè)證明過(guò)程中的內(nèi)積是實(shí)內(nèi)積空間中的內(nèi)積，而后一個(gè)證明過(guò)程中的內(nèi)積是復(fù)內(nèi)積空間中的內(nèi)積，兩者的定義不一樣?！皢挝弧焙汀罢弧边@兩個(gè)概念都是由內(nèi)積的概念引出的，雖然定理1和定理2這兩個(gè)充要條件在字面上是一樣的，但因?yàn)閮?nèi)積的定義不一樣，自然“單位”和“正交”的含義也隨之變化，所以這兩個(gè)充要條件在本質(zhì)上并不相同。在倒數(shù)第二步推導(dǎo)中，定理1的證明實(shí)際是默認(rèn)了所有列向量都是實(shí)向量，也就是A是一個(gè)實(shí)方陣；定理2的證明實(shí)際是默認(rèn)了所有列向量都是復(fù)向量，也就是U是一個(gè)復(fù)方陣。

根據(jù)以上分析，為體現(xiàn)出這兩個(gè)充要條件的本質(zhì)區(qū)別，定理1和定理2完整的敘述應(yīng)該是：

定理1′ 一個(gè)（n階實(shí)）矩陣A是正交矩陣的充要條件是這個(gè)（實(shí)）矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組。endprint

定理2′ 一個(gè)（n階復(fù)）矩陣U是酉矩陣的充要條件是這個(gè)（復(fù)）矩陣的列向量組是一個(gè)單位正交向量組。

現(xiàn)在請(qǐng)注意上面定理1′和定理2′敘述中我們有意加了括號(hào)的文字。將定理1′、定理2′和前面的定理1、定理2對(duì)比，可以看出定理1和定理2后面分別省略了定理1′和定理2′后面加了括號(hào)的“實(shí)”字和“復(fù)”字。這個(gè)“實(shí)”字意即“A是實(shí)方陣”正是定理1這個(gè)結(jié)論成立的大前提條件，而這個(gè)“復(fù)”字意即“U是復(fù)方陣”又正是定理2這個(gè)結(jié)論成立的大前提條件，它們是證明結(jié)論時(shí)必須要用到的。正是因?yàn)檫@兩個(gè)字省略了，定理1和定理2后面的充要條件在字面上就完全一樣了，這正是容易引起困惑的地方。在數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述中，之所以要省略部分文字，一般是出于認(rèn)為結(jié)論所在上下文的說(shuō)明比較清楚，不致引起誤解，或者是為了方便記憶，從而省去一部分累贅的文字（為便于記憶這兩個(gè)充要條件，在清楚結(jié)論成立的大前提條件的情況下，我們甚至可能會(huì)省略掉定理1′和定理2′中所有括號(hào)中的文字）。但是，如果對(duì)結(jié)論成立的大前提條件并不十分清楚的話，這樣的文字省略也會(huì)讓學(xué)生對(duì)結(jié)論產(chǎn)生困惑，本文所分析的定理1和定理2就是一個(gè)例子。

為避免學(xué)生今后產(chǎn)生困惑，一種比較好的方法是，在教學(xué)時(shí)把容易省略的文字即結(jié)論成立的大前提條件寫在充要條件定理的最前面并向?qū)W生加以強(qiáng)調(diào)，而把要記憶的主要結(jié)論即充要條件本身寫在下一行。這樣，本文的兩個(gè)充要條件就可以像下面這樣寫出來(lái)：

定理一設(shè)A是n階實(shí)矩陣，則：

A是正交矩陣的充要條件是A的列向量組是一個(gè)單位正交向量組。

定理二設(shè)U是n階復(fù)矩陣，則：

U是酉矩陣的充要條件是U的列向量組是一個(gè)單位正交向量組。

從上面定理一和定理二的敘述也可以看出，如果省略最開(kāi)始的大前提條件“設(shè)A是n階實(shí)矩陣”和“設(shè)U是n階復(fù)矩陣”，下面充要條件后面的文字?jǐn)⑹鲆彩且粯拥?，都是“列向量組是一個(gè)單位正交向量組”，從而容易引起疑惑。另外也可以看出，如果把定理二的大前提條件“設(shè)U是n階復(fù)矩陣”加強(qiáng)為定理一的大前提條件“設(shè)A是n階實(shí)矩陣”，則定理二酉矩陣的充要條件就加強(qiáng)成為定理一正交矩陣的充要條件了。

四、 結(jié)論

教師在內(nèi)積空間的教學(xué)中應(yīng)該主動(dòng)向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定理成立的大前提條件。

根據(jù)對(duì)以上定理1和定理2兩個(gè)充要條件的分析，我們可以認(rèn)識(shí)到，教師在內(nèi)積空間的教學(xué)中，應(yīng)該主動(dòng)向初學(xué)這一部分內(nèi)容的學(xué)生強(qiáng)調(diào)定理的大前提條件：如果是實(shí)內(nèi)積空間的定理，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)定理的大前提條件是“向量是實(shí)向量”或“矩陣是實(shí)矩陣”；如果是復(fù)內(nèi)積空間的定理，則應(yīng)該強(qiáng)調(diào)定理的大前提條件是“向量是復(fù)向量”或“矩陣是復(fù)矩陣”。尤其是實(shí)內(nèi)積空間的定理更應(yīng)該強(qiáng)調(diào)定理的大前提條件，因?yàn)閷?shí)向量比復(fù)向量更特殊、條件更強(qiáng)，實(shí)矩陣也比復(fù)矩陣更特殊、條件更強(qiáng)，從而成為定理的一個(gè)重要的前提條件，沒(méi)有它定理就不成立。雖然有的學(xué)生也知道實(shí)內(nèi)積空間和復(fù)內(nèi)積空間中內(nèi)積的定義有區(qū)別，但對(duì)本文提出的這兩個(gè)充要條件他們還是不太容易一眼看出實(shí)質(zhì)性的區(qū)別，原因就在于他們沒(méi)有注意到這兩個(gè)充要條件的成立是各自有其大前提條件的，只是在敘述中被省略了而已。所以，受以上分析的啟發(fā)，教師在平時(shí)教學(xué)時(shí)就應(yīng)該向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)定理的敘述，為了方便記憶避免累贅，在上下文比較清楚不致引起誤解的情況下，往往會(huì)省略一些文字，而這些文字往往蘊(yùn)含著定理重要的大前提條件，沒(méi)有這些大前提條件，定理就不能成立，要能從中體會(huì)得到，要能自己把這些省略了的文字添加出來(lái)。忽略了這些大前提條件，就容易對(duì)定理產(chǎn)生疑惑。平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，就要特別加以注意這些在敘述上省略了文字的定理，以防止學(xué)習(xí)時(shí)以及日后復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)這些省略了文字或省略了大前提條件的定理產(chǎn)生困惑。同時(shí)，教師在課堂上教學(xué)時(shí)，如果遇到在敘述中省略了大前提條件容易引起學(xué)生困惑的定理，也要主動(dòng)為學(xué)生特別強(qiáng)調(diào)出大前提條件并添加出被省略了的文字。

參考文獻(xiàn)：

[1] HORN R.A.and JOHNSON C.R.Matrix Analysis[M]. Second Edition. Cambridge： Cambridge University Press， 2013.

[2] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].第五版.北京：高等教育出版社，2007.

[3] 藍(lán)以中.高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程（下冊(cè)）[M].第二版.北京：北京大學(xué)出版社，2007.

作者簡(jiǎn)介：

黃毅，四川省成都市，成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，模式識(shí)別與智能信息處理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都大學(xué)大數(shù)據(jù)研究院。endprint