黃浩峰

摘 要：帶小孔的平行板電容器是高中物理中的常見模型，在分析中通常直接忽略了小孔對電場分布的影響。本文直接從Maxwell方程組出發(fā)利用有限元方法來分析小孔對平行板電容器電場分布的影響。分析發(fā)現(xiàn)若要使小孔對平行板極板之間區(qū)域任意位置的影響都可以忽略，則小孔寬度必須小于1cm。同時極板長度、極板間距、極板厚度這些參數(shù)的取值越大，小孔帶來的電場分布擾動會越小。

關(guān)鍵詞：平行板電容器；電場分布；小孔

中圖分類號：O441 文獻標志碼：A

0 引言

電容器是一種常見的儲能器件，由兩塊金屬電極之間夾一層絕緣電介質(zhì)構(gòu)成。當兩塊金屬電極相互平行時便構(gòu)成了平行板電容器。平行板電容器是高中物理中的常見模型，常被用于控制帶電粒子的運動軌跡或能量。為了讓粒子能夠進入到平行板電容器的電場區(qū)域，往往需要在平行極板上引入小孔。在高中物理教材中直接認為小孔對平行板電容器的電場分布沒有任何影響。已有一些文獻報道采用保角變換，施瓦茨-克利斯多菲變換等方法來分析引入小孔帶來的影響，然而這些方法都具有一定的局限性。本文將直接從Maxwell方程組出發(fā)利用有限元方法來分析小孔對平行板電容器電場分布的影響，并總結(jié)出小孔影響可忽略的條件。

1 平行板電容器的電場分布

帶小孔的平行板電容器如圖1（a）所示，由兩塊長度為L的平行導體極板構(gòu)成，極板厚度為H。上側(cè)極板中心有一寬度為W的小孔，兩極板間距用D表示。根據(jù)高中靜電場的知識可知，若兩極板之間存在電勢差U，則在極板附近將形成靜電場。高中物理認為極板之間的靜電場可以近似為勻強電場：電場線是均勻等間距的平行直線，方向垂直于金屬導體極板并從高電勢指向低電勢；等勢面是平行于導體極板的等間距直線。如文獻分析所示，雖然實際的平行板電容器存在邊緣效應(yīng)，但在電容器的中心區(qū)域任舊近似為勻強電場分布。如果極板中心存在小孔則會對電場分布產(chǎn)生擾動，如圖1（b）（c）所示。圖中以L=20cm、H=0.5cm、D=10cm、W=3cm的平行板電容器在U=10V的情況下為例，利用有限元數(shù)值計算方法直接求解Maxwell方程組中靜電場的高斯定理便可得到電容器的電場即電勢分布。由圖可見，平行板電容器的中心遠離小孔的區(qū)域電場確實可以近似為勻強電場分布。小孔附近的電場和電勢都收到了明顯的影響，在本文的下一節(jié)中將定量分析這種影響的大小。

2 小孔對平行板電容器電場分布的影響

為了定量分析小孔對平行板電容器電場分布的影響，我們利用有限元方法計算出了帶小孔平行板電容器極板之間任意位置處的電勢V，并根據(jù)極板電勢差U計算出該位置在勻強電場近似下的電勢U0。基于這些數(shù)據(jù)，我們定義了歸一化電勢誤差（Err）來定量描述小孔帶來的電場分布影響，如公式（1）所示。

由于高中物理中學習的平行板電容器的勻強電場近似僅適用于兩導體極板之間的區(qū)域，因此本文只分析小孔對平行板電容器極板之前電場分布的影響。仍以L=20cm、H=0.5cm、D=10cm、W=3cm的平行板電容器為例，小孔附近的Err分布如圖2（a）所示。由圖可見小孔的存在使得附近區(qū)域電勢降低（Err<0）；且越靠近小孔中心電勢降低得越多。因此，本文又分析了平行極板之間最靠近小孔中心處的Err隨電容器結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的關(guān)系，該Err對應(yīng)于整個極板之間區(qū)域電勢減小量的最大值。結(jié)果如圖2（b）～圖2（c）所示，無論其他參數(shù)取值如何，小孔寬度W都是最主要的影響參數(shù)，W越小，小孔對電場分布的影響就越小。若要使小孔對平行板極板之間區(qū)域任意位置的影響都可以忽略（Err<1%），則小孔寬度必須小于1cm。同時極板間距D與也極板長度L應(yīng)該越大越好。因為在相同的W下，Err的絕對值會隨著當D或L的減小而增加。從圖中還可以發(fā)現(xiàn)極板厚度H對Err影響不大，隨著H的增加而Err的絕對值稍有增加。此外，我還分析了Err隨極板間電勢差U的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)U對Err沒有任何影響。

圖2（a）小孔對電勢分布的影響；小孔引起的電勢改變量在不同小孔寬度W下隨（b）極板間距D；（c）極板長度L；（d）極板厚度H的關(guān)系。

結(jié)論

綜上所述，本文利用有限元方法通過求解Maxwell方程組分析了小孔對平行板電容器電場分布的影響。分析發(fā)現(xiàn)極板長度L、極板間距D、極板厚度H、小孔寬度W都對小孔帶來的電場擾動大小有影響。其中W是主要因素，小孔附近的電場分布變化量會隨著W的減小而顯著減小。若要使小孔對平行板極板之間區(qū)域任意位置的影響都可以忽略（歸一化電勢誤差Err<1%），則小孔寬度必須小于1cm。這一結(jié)論在將來帶小孔的平行板電容器分析中具有積極的指導意義，可以作為小孔的影響是否可以忽略的初步判斷標準。同時利用本文中的分析方法可以直接定量分析出小孔的影響大小，且這樣方法可以推廣到任意電容器的分析，具有較大的實用價值。

參考文獻

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