方國敏+謝蔚

摘 要：不定積分的求法是積分學(xué)的基礎(chǔ)和重點，本文對其常用解法進(jìn)行分析和歸納。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；不定積分；求解方法

在高等數(shù)學(xué)積分學(xué)部分的教學(xué)中，不定積分是基礎(chǔ)和重點，同時也是難點，學(xué)生對不定積分求法掌握的熟練程度直接影響著后面定積分和微分方程等內(nèi)容的教學(xué)。

一、 直接積分法

利用不定積分的基本積分公式和運算性質(zhì)直接求函數(shù)的不定積分的方法通常稱為直接積分法。

例1 求不定積分∫x2（x+1）dx

解：∫x2（x+1）dx=∫（x52+x2）dx=∫x52dx+∫x2dx=27x72+13x3+C

對于某些不定積分式子，可把被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，再用直接積分法進(jìn)行計算。

例2 求不定積分∫x41+x2dx

解：∫x41+x2dx=∫（x4-1）+11+x2dx=∫（x2-1）dx+∫11+x2dx=13x3-x+arctanx+C

二、 換元積分法

（一） 第一類換元法（也叫湊微分法）

定理：若∫f（t）dt=F（t）+C，且t=g（x）可導(dǎo)，則∫f[g（x）]g′（x）dx=F[g（x）]+C。

例3 求不定積分∫（3x+7）3dx

解：∫（3x+7）3dx=13∫（3x+7）3d（3x+7）=112（3x+7）4+C

難點在于從被積表達(dá)式中找出合適的部分與dx結(jié)合湊成dg（x），比如：

dx=1ad（ax+b），xdx=12dx2，x2dx=13dx3，1xdx=dlnx（x>0），1x2dx=-d1x，1xdx=2dx，exdx=dex，e-xdx=-dex，sinxdx=-dcosx，cosxdx=dsinx，sec2xdx=dtanx，csc2xdx=-dcotx，11-x2dx=darcsinx，11+x2dx=darctanx

例4 求不定積分∫tanxcosxdx

解：∫tanxcosxdx=∫sinx（cosx）32dx=-∫（cosx）-32dcosx=2cosx+C

（二） 第二類換元法

若被積函數(shù)中含有nax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）時，可令t=nax+b。

例5 求不定積分∫1x-xdx

解：令t=x，則x=t2，dx=2tdt，原積分變?yōu)椋?/p>

∫1x-xdx=∫2tt2-tdt=2∫1t-1dt=2ln|t-1|+C=2ln|x-1|+C

若被積函數(shù)中含有無理式a2-x2、a2+x2、x2-a2，相應(yīng)地，可分別令x=asint或x=acost、x=atant或x=acott、x=asect或x=acsct，在具體問題中應(yīng)注明t的取值范圍。

三、 分部積分法

利用分部積分公式∫udv=uv-∫vdu求積分的方法稱為分部積分法，解題關(guān)鍵是u和dv的選擇。

（一） 當(dāng)被積函數(shù)為對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)時，直接運用分部積分法公式求解。

例6 求不定積分∫ln（x+1）dx

解：∫ln（x+1）dx=∫ln（x+1）d（x+1）=（x+1）ln（x+1）-∫dx=（x+1）ln（x+1）-x+C

（二） 當(dāng)被積函數(shù)為兩種或兩種以上不同類型的函數(shù)相乘時，一般按照“反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)”的順序，將排在前面的函數(shù)留作u，排在后面的與dx結(jié)合湊成dv。

例7 求不定積分∫xcosxdx

解：∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C

參考文獻(xiàn)：

[1] 盛祥耀.高等數(shù)學(xué)（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010，5.

[2] 張治俊.新編高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2012，6.

作者簡介：方國敏、謝蔚，云南省曲靖醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校。endprint