20世紀60年代的“新數(shù)學”運動,80年代的“回到基礎”運動,導致中小學幾何課程受到削弱。90年代,國際數(shù)學教育開始反思幾何教育的價值,幾何的重要地位得到重新確立,并提出了復興幾何教學的口號。如今,我國“圖形與幾何”課程的內容得到進一步拓展,增加了圖形的變換與方位等方面的內容,更加重視學生推理、探究和幾何直觀能力的培養(yǎng)。檢視自新中國成立以來的小學圖形與幾何課程內容的歷史演變過程,總結其特點和變化規(guī)律,對于進一步改革小學數(shù)學課程的目標、內容,建立科學合理的課程體系具有借鑒和啟示意義。
新中國成立60多年來,教育部先后頒發(fā)了11部小學數(shù)學教學大綱(課程標準),其中,圖形與幾何課程內容不斷變化,演變進程主要分以下五個階段:
20世紀50年代。當時中國以蘇聯(lián)教學大綱為藍本,在內容體系、結構形式等方面都仿照蘇聯(lián),內容偏少,難度較低。強調實用,注重實地測量和幾何求積。在編排結構上采取先直觀認識簡單圖形,再進一步認識圖形的做法被后來所采納;在前三年學習認數(shù)與計算時,雖然廣泛地使用正方形、長方形、三角形、圓、正方體、長方體等作為教學素材,但總體上幾何課程主要安排在四、五年級。
20世紀50年代末至60年代初。在1958年掀起的“大躍進”運動中,教育主管部門否定了學習蘇聯(lián)經(jīng)驗的做法,各地編寫了多種實驗教材,內容革新幅度較大,難度明顯提高,但到了1960年,又開始了反思和調整。課程內容改革主要體現(xiàn)在1963年的大綱(六年制)中,圖形的認識內容明顯增加,同樣重視測量教學,顯示了圖形的認識和測量并重,并重視通過畫圖來認識圖形。在教學目標中首次提出培養(yǎng)空間觀念的要求,開始注意按歐氏幾何概念發(fā)展線索建立教學內容的結構體系。
20世紀70年代末至80年代中期?!拔母铩苯Y束后,教學秩序迅速得到恢復,1978年頒布的教學大綱(五年制)采取“精簡”“增加”“滲透”的措施,繼續(xù)按歐氏幾何概念發(fā)展線索建立教學內容的結構體系:線→角→面→體。先認識圖形,再學習相關的測量(長度、角度、周長、面積、體積)。在一些抽象概念的教學處理上,注重分階段安排教學,如“角的認識”分兩次進行。增加對稱、扇形的認識和面積計算,以及土石方計算。注重培養(yǎng)空間觀念,加強形與數(shù)的結合,滲透數(shù)學思想方法。
20世紀80年代中期至20世紀末。國家實行九年義務教育,切實提高全民素質,采取課程教材多樣化措施,實行教材編審分開,其間,先后頒發(fā)了三部義務教育大綱,課程內容基本相同,課程彈性有所增強,改課程內容分學期設計為分年級設計。
適當分階段認識圖形,如先直觀認識再進一步認識常見圖形,改變了“一步到位”的編寫方式。幾何內容分散安排,貫穿各個年級。加強測量、拼擺、畫圖等實際操作方面的訓練。三角形內角和、組合圖形、扇形和球列為選學內容。
2001年以來的課程改革。此次改革將幾何課程內容定名為“圖形與幾何”,具體包括:圖形的認識、測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分。強調以發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力為核心,拓展了幾何學習領域(圖形的運動,圖形與位置)。在結構順序上,先直觀認識常見立體圖形與平面圖形(長方體、正方體、圓柱和球,長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓),再進一步認識常見圖形,并按點→線→角→面→體的邏輯順序編排,貫穿小學各個年級。削減了周長、面積、體積的單純計算,增加實踐性、探索性活動,按照實驗→猜想→驗證→概括的邏輯順序設計內容。
20世紀50年代,學習幾何主要是為了實際應用,提高幾何應用技能,因而課程內容主要是長度、面積、體積的計算,包括線段的測定和測量、畫圖的技能訓練。60年代提出發(fā)展學生空間觀念的要求,形成了培養(yǎng)學生計算能力、邏輯思維能力和空間觀念三大數(shù)學能力和解答應用題能力,對圖形特征的認識更為重視,認識的圖形包括:角、平行線和垂線,長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓,以及圓柱、棱柱、圓錐、棱錐,這些內容比50年代明顯增加,基本形成圖形的認識與測量并重的內容體系。80年代至90年代,空間觀念的內涵不斷清晰,目標更加明確,要求“使學生逐步形成簡單幾何形體的形狀、大小和相互位置關系的表象,能夠識別所學的幾何形體,并能根據(jù)幾何形體的名稱再現(xiàn)它們的表象,培養(yǎng)初步的空間觀念”。課程內容的知識點變化不大,但在素材選擇和內容安排上,大綱提出“要通過直觀教學和實際操作,引導學生在感性材料的基礎上,理解數(shù)學概念,進行簡單的判斷、推理”,“要注意加強測量、拼擺、畫圖等實際操作方面的訓練”。21世紀以來,幾何課程的教學目標,強調以發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心,增強應用意識,提高實踐能力。依此,課程內容作了較大幅度的調整,在基本保留直觀幾何、度量幾何傳統(tǒng)內容的基礎上,增加了“圖形的運動”“圖形與位置”內容,密切了數(shù)學與生活的聯(lián)系;削減了單純求周長、面積和體積的內容;變換思想、坐標思想以直觀的形式成為小學數(shù)學教學內容;增加了許多生活中的幾何,以體現(xiàn)學習有用的數(shù)學的理念。
新中國成立初期,小學幾何內容以度量幾何為主,注重實際測量和求積,包括實地測量,黑板面、窗口、地面、菜園等面積計算,房間、倉庫、地下室、貯藏室等容積計算。60年代初,以及“文革”結束之后的課程重建,幾何課程內容基本不變,均由圖形認識與幾何測量組成,圖形的認識得到加強。1988年開始實施九年義務教育大綱,內容基本上還是認識圖形和測量兩大部分,但注重直觀操作和聯(lián)系兒童實際,并設置了選學內容,如三角形內角和、組合圖形、扇形和球,增加了課程的彈性。進入21世紀,小學幾何課程內容明顯拓展,由圖形的認識、測量、圖形的運動和圖形與位置四個部分組成,最為突出的是圖形的運動、方向和位置進入了小學幾何,與兒童的生活實際聯(lián)系更加密切。通過運動、方位來探索圖形的特征和一些性質,有助于發(fā)展學生的幾何直觀和空間想象力。
20世紀50年代,幾何內容以獨立單元集中安排在四、五年級,編排過于集中。60年代初至80年代初,在內容結構安排上,基本按歐氏幾何概念發(fā)展線索建立教學內容的結構體系:線→角→面→體。先認識圖形,再學習相關的測量(長度、角度、周長、面積、體積),采取直線式編排方式,并集中在中高年級。80年代以后,人們認識到小學生學習幾何不是以幾何公理體系為基礎,而是以生活經(jīng)驗為基礎的,基本的幾何概念學習宜于從現(xiàn)實生活材料中進行抽象概括,基本規(guī)律的探索應基于解決實際問題的需要。小學生的生活實踐告訴我們,他們形成幾何概念時,最先感受到的是空間物體,點、線、面的認識必須以空間物體為依托,因此,小學生在認識圖形時宜從簡單的幾何體出發(fā)。1984年8月,在澳大利亞阿得雷德市召開的第五屆國際數(shù)學教育會議上,關于幾何教學,大會也特別提出:“要提供能夠吸引學生的教學材料,應把三維的教學材料放在二維的教學材料之前。”因此,自1988年以來,小學教材一般是讓學生先直觀認識簡單的幾何體和常見的平面圖形,然后再進一步學習,即采取“三維、二維、一維”到“一維、二維、三維”的交替式安排,并且將幾何內容分散在各個年級。圖形認識的要求由辨認(直觀認識階段)→認識(概念學習階段)→探索證明(主要在中學階段),體現(xiàn)思維的不斷深化,具有層次性,改變了“一步到位”的結構方式。內容呈現(xiàn)更多地結合現(xiàn)實情境,讓學生體會到數(shù)學源于生活,服務于生活,對于解決問題、增長智慧有不可替代的作用。
新世紀以來,小學圖形與幾何課程如何深化改革,仍然是值得探討的問題。
幾何學的發(fā)展歷史告訴我們,人們認識幾何是從直觀幾何(實驗幾何)開始的。人們最初想到用簡單的幾何圖形去做裝飾工藝品,去構造建筑物;隨后由于土地測量等計算的需要,又產(chǎn)生了度量幾何,如:測量長度、面積、體積等。隨著人類文明的發(fā)展,幾何學作為一門科學誕生,其成果主要反映在大約公元前300年歐幾里得《幾何原本》中。此時的幾何特征是概念性的。隨后,由于透視畫的出現(xiàn)誕生了射影幾何,幾何與代數(shù)的融合誕生了解析幾何,數(shù)學分析運用于幾何產(chǎn)生了微分幾何,特別是由于《幾何原本》中第五公設的研究,產(chǎn)生了非歐幾何,幾何學的不斷發(fā)展,使得研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變性質(形象地說就是允許伸縮、扭曲,但不許割斷、粘合)的拓撲學成了獨立的數(shù)學分支,人們已經(jīng)認識到幾何的多樣性。但是,哪些能夠進入到中小學?有學者認為:學校教育的早期,教學歐氏幾何是重要的,應該鼓勵學生去研究簡單的幾何圖形,并探索這些圖形的性質。歐氏幾何建立了一種最簡單、最直觀、最能為小學生所接受的數(shù)學模型,讓學生利用這樣的模型去思考、去探索,可以使學生體驗到數(shù)學推理的力量。當然,低年級接近歐氏幾何的方式必須是非形式的和解釋性的,而把系統(tǒng)化留給較高年級。幾何學有區(qū)別于其他數(shù)學的特點,現(xiàn)代幾何中有許多問題是小學生能夠理解的,比如,哥尼斯堡七橋問題、一筆畫問題、麥比烏斯帶問題、英國數(shù)學家哈密頓提出的“旅行世界”問題等。這些問題并非歐氏幾何中的問題,也無須要求學生了解相應幾何領域的概念系統(tǒng),但它對于培養(yǎng)學習興趣,發(fā)展學生的空間觀念和推理能力都很有幫助。
小學幾何課程應更多地聯(lián)系生活實際,向學生展示幾何在生活和生產(chǎn)實踐中的應用,并且告知這些應用會影響他們的生活。本次課程改革強調幾何變換,是指導思想上的變化,讓圖形“動起來”,在“運動和變換”中來研究和揭示圖形的性質。這可以加深對圖形性質的本質理解,也可以提升學生的幾何直觀能力。在小學,幾何屬性的數(shù)量表示也是值得關注的領域。我們已經(jīng)看到,用代數(shù)的方法研究幾何具有重要的教育價值,現(xiàn)行中學教材中引進向量幾何的成功做法就是很好的說明。在小學適當滲透坐標思想,用數(shù)對或者方向與距離表示位置都是學生能夠理解運用的知識,也是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)。
小學數(shù)學中的幾何與作為數(shù)學科學中的幾何存在明顯差異。數(shù)學科學中的幾何有完整的知識體系,有嚴密的邏輯體系,屬于論證幾何的性質,其中任何一部分的知識都能在這個體系中找到它存在的確定性。小學數(shù)學中的幾何屬于數(shù)學教育的內容,呈現(xiàn)的是數(shù)學的教育形態(tài),是幾何學中最基礎的、經(jīng)過教學法加工的、適合于小學生學習的課程內容。歷史地看,幾何內容有如下幾個特征:直觀的、計算的、概念的、代數(shù)的、功利的、實用的。在設計小學課程時必須作出選擇。我們認為,小學幾何應凸顯其直觀性。內容呈現(xiàn)要強調情境設置,體現(xiàn)從生活到數(shù)學、由直觀到抽象的特點。比如,學生認識角時,通??偸亲寣W生先觀察鐘面上時針和分針,剪刀的刀口、紙扇的兩邊等,抽象得到形狀不同的角,再進一步分析角所具有的特征:一個頂點兩條邊。
小學數(shù)學教材既要根植于兒童的生活實際,又要言之有據(jù),形成循序漸進、互相連接的邏輯框架。經(jīng)驗表明,小學生學習幾何不可能跳過早期的直覺階段,而把幾何局限于形式的、代數(shù)的特征之中。對幾何事實、概念的全面理解,應采取螺旋上升的方式,在不同水平上對同一課題進行教學?,F(xiàn)行小學幾何教材讓學生先直觀認識簡單的幾何形體,再進一步學習的循環(huán)式、交替式安排,符合學生的認識規(guī)律。不過,圖形概念的建立應堅持科學性,注意低、高年級之間,以及小學與中學之間的相互銜接。數(shù)學家蘇步青認為,中小學數(shù)學教材編寫要堅持“混而不錯”的原則,從而保持一定的邏輯嚴謹性。現(xiàn)行小學數(shù)學教材中用行駛的火車、景區(qū)的纜車作為平移的事例,以拖拉機的車輪印、運動場上的雙杠作為平行直線的例子就容易產(chǎn)生誤解?;疖囀且諒澋模|車能沿直線行走嗎?拖拉機的車輪印雖間距相等但它不一定總沿直線行駛,雙杠給人以兩條線段的印象,作為平行直線還是要超越經(jīng)驗,想象成無限延長而不相交的兩條直線。
心理學研究表明,小學生對圖形的認識,形成和發(fā)展空間觀念要依靠直觀教學手段。這種直觀手段主要有視覺直觀和動作直觀兩種。
視覺直觀。視覺直觀就是觀察,是一種積極的感知活動。小學生的觀察要遵循:從感知強刺激成分到感知弱刺激成分;從認識單一要素到認識要素之間的關系。比如:認識長方體時,應依面、頂點、棱的順序展開,逐步認識長方體的三個要素;在呈現(xiàn)要素之間關系的時候,要依次分別探討面與面、面與棱、棱與棱之間的關系。認識圖形時,還要注意從感知標準圖形到感知變式圖形,比如:當我們從肯定例證中抽象出平行線后,要讓學生觀察非水平或非豎直方向兩直線平行的變式圖形,觀察畫出的兩條不一樣長的平行線等,進行辨別,說明理由,以凸顯平行線的本質屬性。
動作直觀。主要有兩種:操作實驗和畫圖。操作實驗包括圖形的折疊、拼擺、割補、測量、制作等。需要視覺、觸覺、運動覺的協(xié)同活動,在不同年級都會得到廣泛應用,是發(fā)展空間觀念的有效手段。根據(jù)皮亞杰的研究,學生動手畫圖可以反映學生對幾何概念的理解。比如,過兩點畫線段,可以讓學生感受線段的特征:直的、有兩個端點、可測量長度;過直線外一點,畫已知直線的平行線、垂線、垂線段,可以促進學生體會平行公理、垂線的唯一性,垂線段最短等性質;用圓規(guī)畫圓,可以讓學生感受圓的特征:有一個圓心、半徑都相等。
在幾何教學中,量一量、比一比是獲得數(shù)量及其關系認識的實驗方法,操作說理是獲得數(shù)學知識的直觀方法,演繹推理則是給出數(shù)學規(guī)律的邏輯方法。小學幾何知識的學習以直觀實驗為主,但也要將合情推理與論證推理相結合,循序漸進地培養(yǎng)學生的推理能力。