錢玉恒， 王佳偉， 楊亞非

( 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院 飛行器控制實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心, 哈爾濱 150001)

當(dāng)今世界，航天技術(shù)飛速發(fā)展，航天器的用途種類愈加繁多，規(guī)模愈加擴(kuò)大，航天器的精度與穩(wěn)定性需要隨之提高以達(dá)到航天工程領(lǐng)域的要求，而其姿態(tài)穩(wěn)定性更是這一切的前提.航天器的姿態(tài)控制一般采用控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope,簡(jiǎn)稱CMG)作為它的執(zhí)行器[1-4]，例如，國(guó)際空間站應(yīng)用的一些單框架力矩陀螺或雙框架力矩陀螺，需要配置力矩陀螺的構(gòu)型，使多個(gè)陀螺可協(xié)同動(dòng)作，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制的作用.控制力矩陀螺基本原理是通過(guò)改變陀螺飛輪的轉(zhuǎn)軸方向，產(chǎn)生角動(dòng)量交換，并作用到航天器上，達(dá)到改變其角速度及姿態(tài)的目的[5].據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，在國(guó)際航天領(lǐng)域應(yīng)用中，現(xiàn)在有近400個(gè)航天器采用控制力矩陀螺作為其姿態(tài)控制系統(tǒng)的主要執(zhí)行器.在國(guó)內(nèi)，天宮一號(hào)飛船則第一次使用了控制力矩陀螺作為其執(zhí)行機(jī)構(gòu)[6]，并且進(jìn)一步應(yīng)用到了天宮二號(hào)上[7-10].目前，針對(duì)控制力矩陀螺的有關(guān)研究取得了很多的成果[11-12]，這些研究將為航天器姿態(tài)控制理論的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ).美國(guó)ECP公司生產(chǎn)的Model750型控制力矩陀螺是一種能夠全面驗(yàn)證力矩陀螺特性的實(shí)驗(yàn)裝置，已經(jīng)在世界眾多知名大學(xué)得到應(yīng)用，促進(jìn)了對(duì)力矩陀螺的研究和教學(xué).

RealTime Windows Target(簡(jiǎn)稱RTWT)是基于Matlab軟件的實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，利用Simulink構(gòu)建的控制器，通過(guò)運(yùn)動(dòng)控制卡對(duì)硬件系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，從而構(gòu)成半實(shí)物的實(shí)時(shí)控制研究.

本文首先將介紹控制力矩陀螺的結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)其數(shù)學(xué)模型，然后利用實(shí)時(shí)仿真平臺(tái)，基于線性二次調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，簡(jiǎn)稱LQR)方法為其設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器參數(shù)，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

1 設(shè)備組成

該實(shí)驗(yàn)裝置由機(jī)電裝置、控制箱和應(yīng)用程序組成[8].

控制力矩陀螺的機(jī)電部分如圖1所示.主體包括4個(gè)部件：框架A、B、C和轉(zhuǎn)子D.框架A繞軸4旋轉(zhuǎn)，角位置由編碼器4測(cè)量；框架B繞軸3旋轉(zhuǎn)，角位置由編碼器3測(cè)量；框架C繞軸2旋轉(zhuǎn)，角位置由編碼器2測(cè)量.另外，為每個(gè)框架分別配置了摩擦滑環(huán)，慣性開(kāi)關(guān)和制動(dòng)器.轉(zhuǎn)子D是大慣量轉(zhuǎn)子，繞軸1旋轉(zhuǎn)，由直流伺服電機(jī)1驅(qū)動(dòng)，角位置由編碼器1測(cè)量.

圖1 控制力矩陀螺機(jī)電部分

控制系統(tǒng)處理器使用M56000系列，能夠在高采樣率下執(zhí)行控制律，可以分析解釋程序指令，并支持?jǐn)?shù)據(jù)采集，軌跡生成，系統(tǒng)狀態(tài)及安全檢測(cè)等.

用戶界面可以實(shí)現(xiàn)控制器設(shè)計(jì)、軌跡定義、數(shù)據(jù)采集、繪圖系統(tǒng)、執(zhí)行指令等功能.內(nèi)置的編譯器通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理器進(jìn)行程序代碼的傳送和執(zhí)行.該接口支持多種功能，提供了一個(gè)非常強(qiáng)大的實(shí)驗(yàn)環(huán)境.

2 數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)

建立一組坐標(biāo)系如圖2所示，其中：ai,bi,ci和di(i=1,2,3)為相互正交的單位向量，并且分別固定在框架A，B，C，和D上，組成四個(gè)固連坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)的四個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)軸為軸4，軸3，軸2，軸1.單位正交向量Ni(i=1,2,3)構(gòu)成慣性參考坐標(biāo)系N.q1定義為D在d2方向的角位移，q2、q3和q4被定義相應(yīng)的轉(zhuǎn)角，它們決定了系統(tǒng)構(gòu)形.另外，在動(dòng)力學(xué)分析中，考慮系統(tǒng)的質(zhì)心位于轉(zhuǎn)子D中心，不考慮轉(zhuǎn)子的移動(dòng)，通常只考慮D的角速度ω1給出系統(tǒng)部件的主慣性矩陣如下：

圖2 坐標(biāo)系

(1)

其中，Ix,Jx,Kx(x=A,B,C,D)分別表示部件A，B，C和D中繞第i(i= 1,2,3)方向的標(biāo)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.A在N中的角速度給出如下：

NωA=ω4a3

(2)

同理，我們定義以下量：

AωB=ω3b2

(3)

BωC=ω2c1

(4)

CωD=ω1d2

(5)

將廣義坐標(biāo)與角速度相關(guān)聯(lián)的運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程如下：

(6)

(7)

(8)

將每個(gè)部件的坐標(biāo)系變換到慣性坐標(biāo)系：

(10)

(11)

(12)

c2=d2

(13)

該裝置具有兩個(gè)輸入：第一個(gè)輸入是旋轉(zhuǎn)電機(jī)，施加的轉(zhuǎn)矩T1，則C和D的轉(zhuǎn)矩為：

TD=T1d2

(14)

TC=-T1d2

(15)

第二個(gè)輸入轉(zhuǎn)矩T2，則C和B的轉(zhuǎn)矩為：

TC=-T2c1

(16)

TB=-T2c1

(17)

系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可由式(1)～(17)描述.再求解其運(yùn)動(dòng)方程：

T1+f1(q2,q3;ω2,ω3,ω4;ω1,ω3,ω4)=0

(18)

T2+f2(q2,q3;ω1,ω3,ω4;ω1,ω2)=0

(19)

f3(q2,q3;ω1,ω2,ω3,ω4;ω1,ω3,ω4)=0

(20)

f4(q2,q3;ω1,ω2,ω3,ω4;ω1,ω2,ω3,ω4)=0

(21)

定義系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為ω1=Ω，q2=q20，q3=q30，則線性化方程為

(22)

(23)

(24)

(25)

至此，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型完全得出.

3 控制力矩陀螺的RTWT平臺(tái)

在RTWT平臺(tái)下，搭建控制力矩陀螺的控制框圖，如圖3所示，其中，深藍(lán)色模塊代表實(shí)際的物理對(duì)象，即使用ECP軟件編寫好的用于實(shí)時(shí)控制的板卡模塊；黃色模塊表示輸入量，其內(nèi)部有六個(gè)不同的輸入信號(hào)與信號(hào)六接口信號(hào)選擇器相連；淺藍(lán)色的模塊表示控制器，需要根據(jù)實(shí)際的控制器來(lái)設(shè)計(jì)，其結(jié)構(gòu)要根據(jù)實(shí)際控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行改變和重新搭建.

圖3 控制力矩陀螺的RTWT實(shí)時(shí)控制框圖

4 LQR實(shí)時(shí)控制器的設(shè)計(jì)與控制實(shí)驗(yàn)

LQR理論是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早、最成熟的一種狀態(tài)空間設(shè)計(jì)方法，利用LQR可得到狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制，可讓系統(tǒng)滿足一定的性能指標(biāo)要求.

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置構(gòu)形及簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型

在本實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)裝置的配置構(gòu)形如圖4，運(yùn)動(dòng)示意圖如圖5.

圖4 Model750構(gòu)形圖

圖5 運(yùn)動(dòng)形式示意圖

(26)

對(duì)于原系統(tǒng)的七個(gè)狀態(tài)變量(q2,q3,q4,ω1,ω2,ω3,ω4)(轉(zhuǎn)子角位置q1無(wú)實(shí)際意義，為底座軸)，控制目標(biāo)是框架A(即軸4)的位置，因此首先選擇兩個(gè)狀態(tài)變量q4和ω4，另外關(guān)于主控制軸4與輸入力矩T2的傳遞函數(shù)為三階，由于此時(shí)框架3被鎖定，q3,ω3均為0，且轉(zhuǎn)子D的速度是單獨(dú)控制，而框架A是通過(guò)電機(jī)2，即框架C(軸2)間接驅(qū)動(dòng)的，因此選擇框架C的角速度ω2作為第三個(gè)狀態(tài)，綜上系統(tǒng)的狀態(tài)變量X=[q4ω2ω4]T即可得到控制陀螺力矩的狀態(tài)空間模型：

(27)

(28)

其中系統(tǒng)矩陣根據(jù)裝置的參數(shù)可得

C=[1 0 0]

為其構(gòu)造二次型目標(biāo)函數(shù)如下

(29)

其中

(30)

接下來(lái)通過(guò)全狀態(tài)反饋使得二次型目標(biāo)函數(shù)J最小.利用Matlab中介黎卡提方程的命令lqr(A,B,Q,R)，求解控制矩陣K.畫出LQR控制的框圖.見(jiàn)圖6、7.

圖6 時(shí)域LQR控制框圖

圖7 頻域LQR控制框圖

根據(jù)圖7，可得閉環(huán)傳遞函數(shù)：

(31)

其中：

(32)

N2(s)=ke2ku2(ID+KA+KB+KC)s

(33)

N4=-ke4ku2ΩJD

(34)

(35)

(36)

4.2 控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

選定狀態(tài)反饋控制律

u=-Kx

(37)

其中：K=[k1K2K3].通過(guò)求解黎卡提方程尋找使目標(biāo)函數(shù)最小的控制器K，即

(38)

經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)和參數(shù)改良，取r=0.05.綜上求得K=[-4.5 0.072 -0.22].令輸出等于輸入求得kpf=-4.5

4.3 LQR實(shí)時(shí)控制器搭建

LQR實(shí)時(shí)控制器的搭建結(jié)構(gòu)如圖8所示，k1和k3所在的環(huán)節(jié)均與編碼器4相連，表示軸4位置的反饋信號(hào)，k2所在回路與編碼器2相連，表示軸2的反饋信號(hào).由此對(duì)應(yīng)狀態(tài)變量x，構(gòu)成了一個(gè)LQR全狀態(tài)反饋控制器.

圖8 RTWT平臺(tái)

4.4 控制實(shí)驗(yàn)狀況

在控制力矩陀螺硬件平臺(tái)中設(shè)置采集編碼器2，編碼器4，命令位置1和控制效果1的數(shù)據(jù)；在RTWT平臺(tái)中，給定一個(gè)幅值為10 V，停留時(shí)間為4 s，重復(fù)次數(shù)為1的階躍信號(hào)；在控制器單元輸入設(shè)計(jì)的LQR控制器參數(shù)，編譯并加載到硬件平臺(tái)中，得到階躍響應(yīng)和頻域響應(yīng)曲線如圖9、10.

圖9 階躍響應(yīng)曲線

圖10 頻域響應(yīng)曲線

經(jīng)過(guò)測(cè)量計(jì)算時(shí)域響應(yīng)曲線的峰值時(shí)間為0.297 s，超調(diào)量為3%.因此，可以看出LQR方法設(shè)計(jì)的控制器具有很快的上升時(shí)間(假設(shè)沒(méi)有飽和)，和更寬的帶寬(僅限于當(dāng)前參數(shù)).同時(shí)經(jīng)過(guò)對(duì)K值參數(shù)的不斷調(diào)整和控制，得到如下結(jié)論：k1(絕對(duì)值)的取值會(huì)直接影響到控制系統(tǒng)的峰值，過(guò)大則會(huì)造成過(guò)高的超調(diào)；k2(絕對(duì)值)的取值過(guò)大會(huì)使系統(tǒng)的阻尼過(guò)小，系統(tǒng)發(fā)生諧振；k3(絕對(duì)值)也會(huì)對(duì)系統(tǒng)阻尼造成直觀影響，過(guò)大則系統(tǒng)快速性降低，過(guò)小則會(huì)發(fā)生過(guò)多的震蕩.因此，還應(yīng)根據(jù)黎卡提方程所求的K矩陣進(jìn)行微調(diào)，取最理想結(jié)果.

5 結(jié) 語(yǔ)

本文主要利用實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平臺(tái)為ECP750控制力矩陀螺裝置設(shè)計(jì)了LQR實(shí)時(shí)控制器，實(shí)現(xiàn)了最優(yōu)的狀態(tài)反饋控制.通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以掌握高級(jí)的控制方法在控制力矩實(shí)驗(yàn)裝置中的實(shí)踐應(yīng)用.

[1] 吳 忠,張激揚(yáng). 控制力矩陀螺框架伺服系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模與控制[J]. 應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào)，2007,15(1):130-136.

[2] SERAJI H. Configuration Control of Redundant Manipulators: Theory and Implementation[J]. IEEE Transactions on Robotics and Automation，1989,5(4):472-490.

[3] 湯 亮,賈英宏,徐世杰. 使用單框架控制力矩陀螺的空間站姿態(tài)控制系統(tǒng)建模與仿真[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2003,24(2):126-131.

[4] 張錦江,李季蘇,吳宏鑫. 用單框架控制力矩陀螺的大型航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)實(shí)物仿真研究[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2004,25(4):382-388.

[5] 吳 忠,魏孔明. 基于非線性觀測(cè)器的控制力矩陀螺操縱律設(shè)計(jì)[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2006,32(11):1295-1298.

[6] 張志方,董文強(qiáng),張錦江,等. 控制力矩陀螺在天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器姿態(tài)控制上的應(yīng)用[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用,2011(6):52-59.

[7] 陳 璐,袁建平. 基于雙框架變速控制力矩陀螺的航天器姿態(tài)控制研究[J]. 電子設(shè)計(jì)工程,2014(23):114-117+122.

[8] 王佳偉,楊亞非，錢玉恒.基于PID方法的控制力矩陀螺控制器設(shè)計(jì)[J]. 實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2015,32(4):92-97.

[9] 王佳偉,楊亞非,錢玉恒. 基于控制力矩陀螺的進(jìn)動(dòng)性和章動(dòng)性實(shí)驗(yàn)[J]. 實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理,2015(8):50-54.

[10] 王一琳. 天宮飛天的“定海神針”—記天宮二號(hào)控制力矩陀螺[J]. 中國(guó)航天,2016(11):16-17.

[11] 張科備,王大軼,湯 亮. 基于增益調(diào)度的變速控制力矩陀螺操縱律設(shè)計(jì)[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用,2016(6):31-36.

[12] 鄧瑞清,劉 剛,趙 巖,等. 控制力矩陀螺干擾傳遞模型的分析與實(shí)驗(yàn)研究[J]. 光學(xué)精密工程,2017(2):408-416.