□吳道春

（海安縣海陵中學(xué)，江蘇海安 226600）

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需要有針對(duì)性，而不少教師最終針對(duì)的是“知識(shí)點(diǎn)—題型”的循環(huán)往復(fù).如果說這種復(fù)習(xí)的針對(duì)性在一定的歷史階段是有效的，那么隨著近年來核心素養(yǎng)逐漸成為國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域最熱、最前沿的關(guān)注點(diǎn)，高考數(shù)學(xué)命題已經(jīng)并將繼續(xù)聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性調(diào)整就迫在眉睫.下面，筆者結(jié)合對(duì)2016年和2017年兩年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的最后一題的分析，探究高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的針對(duì)性.

例1（2016年江蘇卷第23題）（1）求

例2（2017年江蘇卷第23題）已知一個(gè)口袋中有m個(gè)白球，n個(gè)黑球（m，n∈N*，n≥2），這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2，3，…，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取出的球放入編號(hào)為k的抽屜（k=1，2，3，…，m+n）.

（1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p；

（2）隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明：E(X)＜

例1（略解）：當(dāng)n=m時(shí)，結(jié)論顯然成立；

例2（略解）

結(jié)合這“一個(gè)恒等式，兩年高考題”，我們探索性地提出高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的五大針對(duì)性.

一、針對(duì)四基四能

四基是指數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這兩個(gè)例題所涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)有組合數(shù)的概念和公式、古典概型、數(shù)學(xué)期望等；基本技能有組合數(shù)的運(yùn)算、恒等式的推導(dǎo)、不等式的證明等；基本思想有分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、遞推思想（求和、整體思想（把“從袋子里面逐個(gè)取出n個(gè)黑球依次放入編好號(hào)的m+n個(gè)抽屜”抽象為“從m+n個(gè)抽屜中任取n個(gè)抽屜放黑球”）等；基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有觀察、想象、分析、探究、運(yùn)算、推理等.過去，我們比較重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，今后我們也要重視基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

四能是指學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題.發(fā)現(xiàn)問題是指在問題情境中通過觀察、思考發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；提出問題是指用數(shù)學(xué)的語言和符號(hào)表達(dá)所發(fā)現(xiàn)的問題；分析問題是指識(shí)別問題的本質(zhì)特征，厘清問題的條件和結(jié)論，探索解決問題的思路；解決問題是指運(yùn)用數(shù)學(xué)工具一步步求解問題.例如，觀察例1、例2中式子的結(jié)構(gòu)特征發(fā)現(xiàn)問題：左邊是一系列項(xiàng)的和，右邊是一項(xiàng)，需要求和；提出問題：左邊各項(xiàng)都有系數(shù)，如何把這些系數(shù)“吸進(jìn)”組合數(shù)？分析問題：分析組合數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，探索、證明組合恒等式；解決問題：代入組合恒等式，一步步完成解題過程.

四基是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體，四能是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想；在整個(gè)教學(xué)過程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題.

二、針對(duì)教材資源

教材是數(shù)學(xué)教學(xué)和考試命題的依據(jù)和核心.在蘇教版選修2-3的第24頁(yè)的練習(xí)題中有一道證明題，要求證明，這個(gè)式子經(jīng)過變形就是組合恒等式

例1、例2的解題過程用到這個(gè)恒等式，如果就這樣認(rèn)為例1、例2考查的就是這個(gè)恒等式的證明和應(yīng)用，就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)嚴(yán)重的問題：（1）考試命題超出“課程標(biāo)準(zhǔn)”的要求和“考試說明”了；（2）我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)中就會(huì)無限制地補(bǔ)充“課程標(biāo)準(zhǔn)”要求之外的知識(shí)，這樣不僅加重了教學(xué)的負(fù)擔(dān)，而且效果甚微，吃力不討好.實(shí)際上，根據(jù)上文分析，我們是在觀察了這兩個(gè)題目中式子的結(jié)構(gòu)特征后，經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用這個(gè)恒等式的，而不是生搬硬套.實(shí)際上，命題專家出這兩個(gè)題的意圖是，利用教材資源，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)于如何用好教材資源，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，我們提出三點(diǎn)建議：（1）不僅要要求學(xué)生弄懂、會(huì)做所有課本例題、習(xí)題（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能），而且要引導(dǎo)學(xué)生掌握題目背后的通性通法，體會(huì)題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想.（2）對(duì)于教材題目，教師不能一味地講解，教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生的思維，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，抓住問題的本質(zhì)特征，探索解決問題的思路、方法，在整個(gè)問題解決的過程中，學(xué)生始終沖在最前面，是問題解決的主體，這樣學(xué)生才能經(jīng)歷問題解決的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).（3）可以適當(dāng)改編教材題目，促使學(xué)生加深對(duì)問題的理解，鞏固所涉及的概念和方法.改編不僅限于橫向的拓展，還包括縱向的躍升，如例1和例2是在教材題目結(jié)論的基礎(chǔ)上的應(yīng)用，這就是一種躍升.任何一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論（命題）都不是我們思維的終點(diǎn)，我們應(yīng)當(dāng)思考它的本質(zhì)、它的推廣、它與相關(guān)命題的聯(lián)系、它有哪些應(yīng)用等，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就在這個(gè)過程中生成和提升.

三、針對(duì)課程要求

我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，不能盲目地照本宣科.教什么、怎么教，要看“課程標(biāo)準(zhǔn)”，考什么、怎么考，要看“考試說明”，教考結(jié)合、有的放矢，才能精確制導(dǎo)、減負(fù)增效、穩(wěn)操勝券.

例如，“課程標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)排列與組合的學(xué)習(xí)要求是：理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.教學(xué)建議是：通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，理解排列、組合的概念；引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計(jì)數(shù)原理分析、處理問題，而不應(yīng)機(jī)械地套用公式.同時(shí)，應(yīng)避免煩瑣的、技巧性過高的計(jì)數(shù)問題.

“考試說明”包含命題的指導(dǎo)思想、考試內(nèi)容及要求、考試形式及試卷結(jié)構(gòu)、典型題示例.“考試說明”每年可能會(huì)有修訂，如2017年江蘇省高考“考試說明”中數(shù)學(xué)學(xué)科的主要修訂內(nèi)容是：（1）突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)和主干知識(shí)的重要性；數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)的考查要求是：能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并加以解決；創(chuàng)新意識(shí)的考查要求是：能夠發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法，創(chuàng)造性地解決問題.（2）關(guān)于“了解”“理解”的描述，參照考試大綱做了適當(dāng)微調(diào).（3）典型題示例進(jìn)行調(diào)整，新增近兩年江蘇高考試題.可以看出這些主要是對(duì)命題指導(dǎo)思想的修訂，修訂的方向就是緊跟數(shù)學(xué)教育改革的新理念——聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

四、針對(duì)重點(diǎn)難點(diǎn)

我們的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不能平均發(fā)力，必須在重點(diǎn)、難點(diǎn)上多發(fā)力.一般來說，數(shù)學(xué)學(xué)科的主干知識(shí)（如函數(shù)、數(shù)列等）以及“考試說明”中的理解（B）和掌握（C）層次的知識(shí)點(diǎn)都是重點(diǎn)，掌握（C）層次的知識(shí)點(diǎn)也是難點(diǎn).

對(duì)于重點(diǎn)知識(shí)的復(fù)習(xí)，我們提出三點(diǎn)建議：（1）要夯實(shí)概念，學(xué)生要經(jīng)歷概念的形成過程，從數(shù)和形兩個(gè)角度理解概念的本質(zhì)，形成深刻的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)，如例2就考查了學(xué)生對(duì)組合數(shù)以及古典概型等重點(diǎn)知識(shí)的深刻認(rèn)識(shí).（2）題型的訓(xùn)練要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從單一向綜合過渡，從簡(jiǎn)單向中等難度過渡，適時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)；題目不能過難，否則不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).例2就是考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中等難度的綜合題.（3）教師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生的思維，但具體的問題解決過程要讓學(xué)生自己完成，教師不能包辦代替，在這個(gè)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)才能得以提升.

對(duì)于難點(diǎn)知識(shí)的復(fù)習(xí)，我們?cè)趯?duì)重點(diǎn)知識(shí)復(fù)習(xí)的三點(diǎn)建議的基礎(chǔ)上，針對(duì)綜合性較強(qiáng)或較為困難的題目增加三點(diǎn)建議：（1）鼓勵(lì)學(xué)生花足夠的時(shí)間充分思考、探究，有的題今天想不起來，明、后天可以再想，總之要讓學(xué)生被這個(gè)題充分地“折磨”，在折磨的過程中，學(xué)生可以收獲超出這個(gè)題本身很多的東西，如數(shù)學(xué)知識(shí)、核心素養(yǎng)、解題經(jīng)驗(yàn)和能力、堅(jiān)毅的精神等，所謂“磨刀不誤砍柴工”，這個(gè)時(shí)間值得花.（2）控制題量，學(xué)生在這部分題上花費(fèi)的時(shí)間不能占用太多復(fù)習(xí)的總時(shí)間，否則得不償失.（3）對(duì)不同層次的學(xué)生分層要求.

五、針對(duì)錯(cuò)點(diǎn)盲點(diǎn)

錯(cuò)點(diǎn)是指學(xué)生解題犯錯(cuò)的地方.學(xué)生解錯(cuò)題目的原因可能有：（1）概念理解不深刻或有偏差，沒有抓住概念的本質(zhì)特征；（2）對(duì)某種題型的訓(xùn)練不到位，沒有達(dá)到熟能生巧的程度；（3）某一方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的水平不高，沒有形成優(yōu)質(zhì)的思維品格；（4）學(xué)習(xí)的態(tài)度或解題的習(xí)慣有問題，沒有養(yǎng)成良好的心理特征.

錯(cuò)點(diǎn)是非常寶貴的教學(xué)資源，我們提出以下建議：（1）要求學(xué)生按照知識(shí)體系分類將錯(cuò)題整理到錯(cuò)題本上，形成自己的錯(cuò)題集；學(xué)生要訂正錯(cuò)題，找出錯(cuò)誤的原因，以便自主和有針對(duì)性地彌補(bǔ)不足.（2）教師要研究學(xué)生共性的錯(cuò)點(diǎn)，反思自己教學(xué)中可能存在的問題，以便及時(shí)調(diào)整；教師可以針對(duì)共性的錯(cuò)點(diǎn)，開設(shè)有針對(duì)性的專題課，針對(duì)個(gè)別學(xué)生的錯(cuò)點(diǎn)，做好個(gè)別輔導(dǎo).（3）如果是態(tài)度或習(xí)慣的問題，教師要多跟學(xué)生溝通，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，端正態(tài)度，規(guī)范行為，嚴(yán)格要求.

盲點(diǎn)是指學(xué)生認(rèn)知的盲區(qū).舉三個(gè)例子：（1）例1、例2中的組合恒等式教材不作要求，是學(xué)生認(rèn)知的一個(gè)盲區(qū)，但是現(xiàn)在高考命題的指導(dǎo)思想是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)生只要根據(jù)特定的運(yùn)算情境，探究運(yùn)算的方向和方法，探索發(fā)現(xiàn)它并不困難，這也是數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的高考水平所要求的.（2）2016年江蘇卷第13題“在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，很多學(xué)生不會(huì)思考，是因?yàn)樗麄兤匠Ｖ恢浪泐}，沒有反思或者教師沒有引導(dǎo)他們反思運(yùn)算的基本思想——坐標(biāo)思想，使得它成為學(xué)生認(rèn)知的一個(gè)盲區(qū).（3）2016年江蘇卷第19題（函數(shù)題）考查了“用不等證相等”的方法，2017年江蘇卷第20題（函數(shù)題）考查了“二元化一元”和“用單調(diào)性找不等關(guān)系”等方法，對(duì)很多學(xué)生來說這就是盲點(diǎn).大多數(shù)時(shí)候，學(xué)生的盲點(diǎn)就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的缺陷，在高考復(fù)習(xí)的過程中，教師要及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的盲點(diǎn)并填補(bǔ).

歸根結(jié)底，我們提出的高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的五大針對(duì)性最終都指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)將成為數(shù)學(xué)課程、數(shù)學(xué)課堂以及考試命題的最具統(tǒng)攝力的主線.