□胡連成

（豐縣華山初級(jí)中學(xué)，江蘇豐縣 221744）

問題情境是指與教學(xué)目的、內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān)，能激起學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，使其進(jìn)入思維、探究的思想狀態(tài)的外部環(huán)境.把學(xué)生置身于研究新的未知的問題情境，讓學(xué)生感到問題既熟悉又陌生，不能單純利用已有的知識(shí)和方法去解決，產(chǎn)生認(rèn)知的困惑，在“悱、憤”中發(fā)現(xiàn)新問題、激發(fā)探索欲望、在探索中收獲知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，在思考中感悟思想與方法.

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)需要在解決問題中實(shí)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的探索需要情境的渲染與引領(lǐng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否吸引學(xué)生，需要教師精心設(shè)計(jì)問題情境，使其具有引人入勝的情境、誘人探索的問題、促人深思的內(nèi)涵，以實(shí)現(xiàn)在探索中提高學(xué)習(xí)能力，在思考中發(fā)展數(shù)學(xué)思維的教育目的.本文結(jié)合實(shí)例闡述問題情境在數(shù)學(xué)教學(xué)中的引領(lǐng)、啟發(fā)與提升作用.

一、在情境引入中引領(lǐng)知識(shí)探索

阿基米德曾經(jīng)說過：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以撬動(dòng)地球.同樣教師也可以說：給我一個(gè)支點(diǎn)，我可以玩轉(zhuǎn)課堂.阿基米德的支點(diǎn)在哪里？我們不知道.但課堂教學(xué)的支點(diǎn)是可以確定的，那就是學(xué)生的求知欲和好奇心.通過精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)情境，喚醒學(xué)生的問題意識(shí)，激發(fā)求知欲望，點(diǎn)燃思維火花，引領(lǐng)學(xué)生走向忘我的學(xué)習(xí)境界.

案例1“圓周角定理”的引入

2015年2月27日，我國審議通過了《中國足球改革總體方案》，從國家層面明確了足球的戰(zhàn)略意義.我校響應(yīng)號(hào)召，組建了足球隊(duì).在足球比賽場上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進(jìn)攻.當(dāng)甲帶球到A點(diǎn)時(shí)，乙隨后沖到B點(diǎn)，如圖1所示.

圖1

問題1：此時(shí)甲是自己直接射門，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門，更容易進(jìn)球呢？（不考慮其他因素）

問題2：請(qǐng)度量∠MAN，∠MBN的度數(shù)，這時(shí)是甲自己直接射門，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門，更容易進(jìn)球呢？

問題3：如果乙隊(duì)員的站位在優(yōu)弧MN的其他位置時(shí)，你的判斷是什么？

問題4：如果乙隊(duì)員沿著優(yōu)弧MN上路線跑動(dòng)時(shí)，∠MBN的度數(shù)是否發(fā)生變化？你能解釋其中的原因嗎？

【案例點(diǎn)評(píng)】以校園足球隊(duì)的射門角度設(shè)計(jì)情境，看似平?，F(xiàn)象卻隱含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過有趣的問題引發(fā)學(xué)生的思考，體現(xiàn)“現(xiàn)實(shí)性、趣味性和數(shù)學(xué)一致性相統(tǒng)一”[1]的情境設(shè)計(jì)基本原則.在有趣的情境中通過問題1的直觀猜想引起學(xué)生進(jìn)一步思考“為什么是這樣”.再通過度量操作、位置變化等數(shù)學(xué)活動(dòng)，把現(xiàn)實(shí)問題自然轉(zhuǎn)化為思考有關(guān)“圓周角”的數(shù)學(xué)問題，“知其然更要知其所以然”.讓學(xué)生經(jīng)歷從猜想到驗(yàn)證、從操作到推理的探索過程，從具體問題情境出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過解決數(shù)學(xué)問題進(jìn)而解決實(shí)際問題，這種歷程對(duì)于發(fā)展學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考問題、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題具有十分重要的意義.

二、在知識(shí)探索中思考數(shù)學(xué)本質(zhì)

美國心理學(xué)家布魯納曾指出：教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動(dòng).在教學(xué)活動(dòng)中，教師要充分關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，善于創(chuàng)設(shè)探究情境，給學(xué)生提供思考的空間和實(shí)踐的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在不斷的情境探索活動(dòng)中收獲經(jīng)驗(yàn)、歸納規(guī)律、發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

案例2底部不可到達(dá)的測(cè)量問題

蘇科版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第7章第6節(jié)“用銳角三角函數(shù)解決問題”第三課時(shí)情境案例如下.

小明在某處利用測(cè)角儀觀測(cè)氣球的仰角（從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角）為27°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了50m，此時(shí)觀測(cè)氣球的仰角為40°（見圖2）.如果測(cè)角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？

圖2

結(jié)合教學(xué)實(shí)際，對(duì)教科書的情境案例進(jìn)行了如下改動(dòng).

問題1：小明在A處利用測(cè)角儀觀測(cè)氣球的仰角為30°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了50m到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)氣球的仰角為60°.如果測(cè)角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？

問題2：小明在A處利用測(cè)角儀觀測(cè)氣球的仰角為30°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了50m到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)氣球的仰角為45°.如果測(cè)角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？

問題3：小明在A處利用測(cè)角儀觀測(cè)氣球的仰角為α°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了am到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)氣球的仰角為β°.如果測(cè)角儀高度為bm，那么氣球的高度是多少？

問題4：小明在A處利用測(cè)角儀觀測(cè)氣球的仰角為30°，然后他沿正對(duì)氣球方向前進(jìn)了50 m到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)氣球的仰角為75°.如果測(cè)角儀高度為1m，那么氣球的高度是多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

【案例點(diǎn)評(píng)】本案例采取了“逐步深入、歸納規(guī)律、靈活運(yùn)用”的思路對(duì)問題情境進(jìn)行變式的拓展.問題1根據(jù)角度關(guān)系求出線段BC，進(jìn)而解Rt△BCD求出線段CD的長度.問題2需要利用“設(shè)未知數(shù)、解方程”的方法求線段CD的長度.問題3進(jìn)一步思考了“用字母探尋一般規(guī)律”的數(shù)學(xué)模型.問題4根據(jù)“結(jié)果保留根號(hào)”的要求，跳出前面總結(jié)的數(shù)學(xué)模型的束縛，靈活運(yùn)用知識(shí)，過點(diǎn)B作△ABC的高，構(gòu)造3個(gè)含特殊角的直角三角形解決問題.這一系列的情境問題串的變式探索，引領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)建模和方程思想，發(fā)展數(shù)學(xué)辯證思維能力.“具體結(jié)論”上升為“普遍規(guī)律”，復(fù)雜多變的現(xiàn)實(shí)問題才能呈現(xiàn)簡潔的數(shù)學(xué)美.靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)律從不同角度解決問題，數(shù)學(xué)知識(shí)才能煥發(fā)七彩光芒，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)方法與思想的理解才能更全面而深刻.所以問題情境的探索不要局限于一個(gè)具體問題，而要在思考一系列的問題串過程中有所思、所想、所獲，這才是情境教育的理想目標(biāo).

三、在知識(shí)歸納中提升能力

數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，貴在“通透融合”.“通”為互通，知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通、四通八達(dá)、形成體系；“透”指透明，知識(shí)點(diǎn)本質(zhì)要義一目了然、熟爛于胸[2].數(shù)學(xué)教學(xué)需要處理好局部知識(shí)的學(xué)習(xí)和整體知識(shí)融合，達(dá)到“既見樹木又見森林”的目的，形成完整的知識(shí)體系和方法思想的領(lǐng)悟.這一切的實(shí)現(xiàn)可以通過教師精心設(shè)計(jì)問題情境，讓學(xué)生在不斷的問題探索中歸納數(shù)學(xué)方法、構(gòu)建知識(shí)體系、感悟數(shù)學(xué)思想、提升學(xué)習(xí)能力.

案例3探索三角形中的特殊點(diǎn)

圖3

有三個(gè)村莊A，B，C，相互之間有筆直的道路連接（見圖3）.現(xiàn)需要在三角形區(qū)域內(nèi)建一所倉庫.為了方便與三個(gè)村莊的貨物運(yùn)輸，請(qǐng)你結(jié)合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，提出有關(guān)倉庫選址的問題，并嘗試進(jìn)行解答.

學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)，提出很多問題.筆者選擇以下6個(gè)問題，進(jìn)行討論和交流.

問題1：要使倉庫到三條道路的距離相等，那么倉庫應(yīng)選在何處？

問題2：要使倉庫到三個(gè)村莊的距離相等，那么倉庫應(yīng)選在何處？

問題3：要使倉庫到三條道路的距離相等，且到三個(gè)村莊的距離也相等，那么倉庫應(yīng)選在何處？

問題4：要使倉庫到三個(gè)村莊的距離和最小，那么倉庫應(yīng)選在何處？

問題5：要使倉庫到三條道路的距離和最小，那么倉庫應(yīng)選在何處？

問題6：如果倉庫與A，B，C三個(gè)村莊的貨物的流通量的比例是1∶2∶3，那么倉庫應(yīng)選在何處，有利于貨物流通？

【案例點(diǎn)評(píng)】本案例是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)心和外心的基礎(chǔ)上進(jìn)行的一節(jié)復(fù)習(xí)課的情境設(shè)計(jì).通過倉庫的選址情境，引發(fā)學(xué)生從不同角度思考問題.

問題1和問題2涉及三角形的內(nèi)心、外心知識(shí).學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容，可以較好地給出解決方案.問題3需要思考只有等邊三角形的內(nèi)心和外心才能互相重合，結(jié)合正多邊形與圓的關(guān)系進(jìn)行分析.正確把握三角形的內(nèi)心、外心、重心、中心（等邊三角形）之間的聯(lián)系和區(qū)別，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).

問題4提出的“到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離和最短的點(diǎn)”稱作“費(fèi)馬點(diǎn)”.它最早是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的.具體內(nèi)容是：①當(dāng)三角形3個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，那么三角形內(nèi)存在到三頂點(diǎn)形成的夾角均為120°的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離和最短.具體方法如下：如圖4，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接OA,OB,OC，把△OCB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△O′CB′，則OA+OB+OC=OA+B′O′+OO′，當(dāng)點(diǎn)A,O,O′,B′四點(diǎn)共線時(shí)，即把線段OA,OB,OC轉(zhuǎn)化為一條線段時(shí)，點(diǎn)O到三頂點(diǎn)的距離和最短，這時(shí)∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°.②當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí) ，如 圖 5，∠ABC=120°，OA+OB+OC=OA+B′O′+OO′＞AB+BB′，所以，此鈍角的頂點(diǎn)就是到三頂點(diǎn)距離和最短的點(diǎn).

圖4

圖5

問題5提出的“在三角形內(nèi)到三邊距離和最短的點(diǎn)”也是存在的，具體結(jié)論如下：對(duì)于一般三角形而言，到三邊距離和最短的點(diǎn)位于最大角的頂點(diǎn)處.

圖6

如圖6，在△ABC中，AB＜BC＜AC.點(diǎn)O為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)F,D,E.過點(diǎn)O作平行于AC的直線分別交AB,BC于點(diǎn)Q,P.BM⊥AC于點(diǎn)M,交PQ于點(diǎn)K.

根據(jù)AB＜BC＜AC，可知BM為△ABC中最短的高.所以，不等邊三角形的最大內(nèi)角的頂點(diǎn)到三邊的距離和最短.兩類特殊情況：①腰長大于底邊的等腰三角形，底邊上任意一點(diǎn)到三邊距離和相等，且到三邊距離之和最小；②等邊三角形內(nèi)（包括三邊）的任意一點(diǎn)到三邊距離和是相等的，沒有長短之分.

對(duì)于問題6需要結(jié)合貨物的流通量的比例進(jìn)行最優(yōu)化方案設(shè)計(jì).由于問題復(fù)雜，學(xué)生思考會(huì)具有很大的挑戰(zhàn)性，暫時(shí)無法解決，但它像一顆種子一樣，深深扎根于學(xué)生的心田，啟發(fā)、引領(lǐng)學(xué)生思維的發(fā)展，總有一天會(huì)綻放美麗的花朵.

初中階段學(xué)生主要學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)心、外心和重心，對(duì)于三角形的垂心以及本文探索的“費(fèi)馬點(diǎn)”和“到三邊距離之和最短的點(diǎn)”初中階段鮮有涉獵.對(duì)于這六個(gè)和三角形有關(guān)的特殊點(diǎn)，如果從聯(lián)系的觀點(diǎn)去思考，可以發(fā)現(xiàn)它們殊途同歸，聚合于正三角形，和諧而美妙，形散而神聚，最終統(tǒng)一于正三角形的中心.進(jìn)一步思考，對(duì)于四邊形而言，是否也有類似的特殊點(diǎn)，它們是否也統(tǒng)一于正四邊形的中心呢？五邊形呢？……n邊形呢？豐富多彩的問題現(xiàn)象蘊(yùn)含著的數(shù)學(xué)規(guī)律，永遠(yuǎn)是那么的簡潔而和諧.從問題1到問題5，從問題2到問題4，最終拓展到問題6，在情境的渲染引領(lǐng)下，實(shí)現(xiàn)思維方式從靜態(tài)思考到動(dòng)態(tài)思維的轉(zhuǎn)變，知識(shí)結(jié)構(gòu)從單個(gè)知識(shí)點(diǎn)到縱橫知識(shí)網(wǎng)的深度拓展.通過一個(gè)情境引發(fā)一串問題，靈動(dòng)而深邃.帶著問題走入課堂，帶著新問題走出課堂，讓問題引領(lǐng)思維發(fā)展，這正是情境設(shè)計(jì)所要到達(dá)的效果.“情境”與“問題”二者猶如土壤與花朵，“情境”如果是肥沃土壤，“問題”就是盛開的花朵，思想與方法就是收獲的累累碩果，過程與經(jīng)驗(yàn)就是靜待花開的磨礪，核心素養(yǎng)就是潛移默化的升華.

情境之于知識(shí)，猶如湯之于鹽.鹽需溶入湯中，才能被吸收；知識(shí)需要溶入情境之中，才能顯示活力和美感.那么，情境在學(xué)習(xí)中的作用是什么呢？是對(duì)興趣的激發(fā)、探索的引領(lǐng)、思想的感悟.在精心設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)情境氛圍渲染下，激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)，以問題探索引領(lǐng)知識(shí)學(xué)習(xí).融知識(shí)于情境，蘊(yùn)思想于探索，在積極的情境探索中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融匯、能力的提升.