焦 波（特級(jí)教師）

“核心素養(yǎng)”是近兩年的教學(xué)“熱詞”之一。聚焦核心素養(yǎng)，是學(xué)科教學(xué)落實(shí)“立德樹人”根本任務(wù)的具體行動(dòng)。為深入明晰“熱詞”背后的關(guān)鍵要義，我校申報(bào)了《基于學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)與評(píng)價(jià)研究》這一省級(jí)課題，并于2017年上半年順利通過立項(xiàng)。什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？通過一年多的學(xué)習(xí)和探索，我們更傾向于“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，所形成的能從數(shù)學(xué)的角度敏銳地審視各種問題，能用數(shù)學(xué)的方法和策略，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亍㈧`活地分析問題和解決問題的意識(shí)與能力。”這一概述。那又該怎樣培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？通過實(shí)踐和反思，我們有三點(diǎn)共識(shí)：一、數(shù)學(xué)核心內(nèi)容是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體；二、學(xué)生的有效參與是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要途徑；三、深度探究是發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵。圍繞共識(shí)，我們?cè)谡n題組內(nèi)開展了“典型課例”教學(xué)研討活動(dòng)。下面就以北師大版五年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（一）”這一核心內(nèi)容為例，借助課題組成員李麗和徐向玲兩位教師以同課異構(gòu)的方式執(zhí)教、研討的教學(xué)實(shí)錄，談?wù)勎覀兘虒W(xué)中如何“引導(dǎo)學(xué)生積極探究，領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)本質(zhì)內(nèi)涵，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的實(shí)踐和反思，以期同行賜教。

一、在“整體”再探究中，提升抽象概括能力

分?jǐn)?shù)意義中的“整體”應(yīng)該包含三種情況。“整體”對(duì)學(xué)生而言，已有的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)是把一個(gè)物體或圖形看作一個(gè)整體，這個(gè)認(rèn)識(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)模型的建立是初步的、單一的。再認(rèn)識(shí)，需要我們?cè)谝延姓J(rèn)知的基礎(chǔ)上，再次探究把多個(gè)物體或圖形看作一個(gè)整體、把多組物體或圖形看作一個(gè)整體的情況。教學(xué)中，需要我們聯(lián)系生活，回歸知識(shí)本源地拓展，學(xué)生對(duì)整體“1”的認(rèn)識(shí)才能到位，對(duì)分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義才能深入理解，這是分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)的基石。

對(duì)“整體”的再認(rèn)識(shí)，兩位教師先都關(guān)注了新知的生長點(diǎn)。實(shí)錄一中，李老師引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手操作和語言描述中再現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的三要素：平均分、分成幾份、取幾份，從而引出課題；實(shí)錄二中，徐老師開門見山，直接拋出課題，從“再”字出發(fā)，先溫習(xí)舊知，突出分?jǐn)?shù)模型的三要素，再引出新知。接著引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“整體”進(jìn)行再探究。實(shí)錄一中，李老師給學(xué)生提供了作業(yè)紙，并把教材主題圖中的骨頭等圖例糅合其中，讓學(xué)生借助作業(yè)紙上的圖形材料大膽操作，探究怎樣表示。在展示過程中，從簡單到復(fù)雜，先展示把一個(gè)圖形看作一個(gè)整體的情況，再展示把一組圖形和多組圖形看作一個(gè)整體的情況，最后讓學(xué)生在比較異同中重新認(rèn)識(shí)整體“1”。實(shí)錄二中，徐老師先采取一圖多變的方式，出示三類都能用表示的圖形，讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示各圖中的涂色部分。在學(xué)生發(fā)現(xiàn)都能用表示后，徐老師讓學(xué)生逐一匯報(bào)想法，使學(xué)生在說一說的活動(dòng)中初步感知整體“1”。有了這個(gè)基礎(chǔ)，徐老師接著采取了不同于李老師的方式，不提供材料，直接放手讓學(xué)生畫圖表示，使學(xué)生在畫一畫的活動(dòng)中深入領(lǐng)悟整體“1”。

二、在“意義”再探究中，提升數(shù)學(xué)建模能力

分?jǐn)?shù)該怎樣定義呢？一般有以下三種：一是份數(shù)定義；二是商的定義；三是比的定義。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知心理，教材將“分?jǐn)?shù)再認(rèn)識(shí)”安排在五年級(jí)上學(xué)期，從其編排來說，分?jǐn)?shù)的定義仍然側(cè)重于份數(shù)的定義——把一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份可以用分?jǐn)?shù)表示，這三要素緊密聯(lián)系，缺一不可。把握了分?jǐn)?shù)的三要素，就抓住了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，這也是建構(gòu)分?jǐn)?shù)模型的核心所在。

對(duì)“意義”的再認(rèn)識(shí)，兩位教師都不約而同地分兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行。一是在“整體中表示部分”的環(huán)節(jié)，再次認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整體“1”的拓展中，緊緊抓住分?jǐn)?shù)平均分、分成幾份、取幾份這三個(gè)要素來描述把怎樣的整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份。另一個(gè)是在“由部分還原整體”的環(huán)節(jié)，深化理解分?jǐn)?shù)。兩位教師也都是利用教材上“一個(gè)圖形的是，畫出這個(gè)圖形”的問題情境進(jìn)行教學(xué)的。實(shí)錄一中，李老師分實(shí)際操作、展示過程和比較異同三個(gè)層次展開；實(shí)錄二中，徐老師是讓學(xué)生在教師提供的點(diǎn)子圖中畫出這個(gè)圖形，過程與李老師基本一致。值得一提是，此環(huán)節(jié)兩位教師都放手讓學(xué)生自主畫圖，在分層展示和互動(dòng)交流中，無論哪種方法，都要求學(xué)生用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，讓學(xué)生多次形象感知的三要素——平均分、分成4份和表示其中的1份，使學(xué)生深刻地認(rèn)識(shí)到雖然圖形的種類（形狀不同）、具體的分法（積同形異）、圖形的大?。ㄐ瓮e異）不同，但他們都具有總數(shù)是8個(gè)、每份是2個(gè)的特質(zhì)。從而，讓學(xué)生逐步從原型中舍去的非本質(zhì)屬性，建立具有一般意義的的本質(zhì)表象，抽象出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性。這一創(chuàng)造性的處理，無疑會(huì)使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解步步深入，有效提升從形象到抽象認(rèn)識(shí)本質(zhì)特征的價(jià)值。

分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生與整數(shù)一樣，在于對(duì)數(shù)量關(guān)系的抽象。教學(xué)中，兩位教師都利用“整體中表示部分”和“由部分還原整體”兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，從平均分中建構(gòu)分?jǐn)?shù)模型，讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)只與平均分的總份數(shù)和取得份數(shù)有關(guān)，與平均分什么圖形或物品，及它們的大小、形狀等非本質(zhì)屬性沒有關(guān)系，這就抓住了分?jǐn)?shù)份數(shù)定義的本質(zhì)。數(shù)學(xué)建模中的模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想，通過數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)學(xué)生的能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。以上教學(xué)，是讓學(xué)生在經(jīng)歷自主探究中初識(shí)模型，在經(jīng)歷交流分享中理解模型，在經(jīng)歷拓展應(yīng)用中內(nèi)化模型。學(xué)生通過操作探究，理解內(nèi)化，不僅積累了建模經(jīng)驗(yàn)，培育了模型思想，還培養(yǎng)了語言表達(dá)的條理性和邏輯思維的嚴(yán)密性。這些都是學(xué)生未來發(fā)展必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)！

三、在“相對(duì)”再探究中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的理性精神

不管是三年級(jí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，還是五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)”，都是先從部分與整體的關(guān)系來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的，也就是說分?jǐn)?shù)與平均分的整體的數(shù)量密不可分。對(duì)同一個(gè)分?jǐn)?shù)來說，整體的數(shù)量不同，對(duì)應(yīng)部分的數(shù)量也不同；整體的數(shù)量相同，對(duì)應(yīng)部分的數(shù)量也相同。同一個(gè)分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的整體數(shù)量大，表示的具體數(shù)量就大；對(duì)應(yīng)的整體數(shù)量小，表示的具體數(shù)量就小。這樣從相對(duì)量的角度理解分?jǐn)?shù)意義中的部分與整體的關(guān)系顯得非常必要。

實(shí)錄一中李老師準(zhǔn)備了三盒支數(shù)不同的鉛筆，讓學(xué)生拿出盒內(nèi)所有鉛筆的。教學(xué)中分操作展示、質(zhì)疑反思、強(qiáng)化感悟三步，讓學(xué)生完成了整體量與部分量相對(duì)關(guān)系的體驗(yàn)和感悟，采取操作——猜想——驗(yàn)證的探究思路。李老師在操作展示環(huán)節(jié)側(cè)重讓學(xué)生用規(guī)范的語言描述拿的過程，在質(zhì)疑反思環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生側(cè)重逆向倒推的思維訓(xùn)練，在強(qiáng)化感悟環(huán)節(jié)側(cè)重與生活的聯(lián)系。而實(shí)錄二中，徐老師準(zhǔn)備了四盒支數(shù)有相同有不同的鉛筆，從相對(duì)量的角度引導(dǎo)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)意義中的部分與整體的關(guān)系。

教學(xué)中，兩位教師都以部分學(xué)生的操作活動(dòng)為感性材料，引導(dǎo)全體學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷質(zhì)疑反思、抽象概括和判斷推理的探究過程，領(lǐng)悟?qū)ν粋€(gè)分?jǐn)?shù)而言，整體的數(shù)量不同，對(duì)應(yīng)部分的數(shù)量也不相同等分?jǐn)?shù)表示多少的相對(duì)性。這一尋求分?jǐn)?shù)相對(duì)性的本質(zhì)和規(guī)律的求真求實(shí)的理性精神，是未來社會(huì)人必備的數(shù)學(xué)品格！