摘 要：勾股定理是初中數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形中三條邊的數(shù)量關(guān)系。初中勾股定理的學(xué)習(xí)以及應(yīng)用中需要注意哪些事項(xiàng)呢？我將結(jié)合例題及常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行初步分析，希望能給大家?guī)?lái)一些啟發(fā)。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；勾股定理；學(xué)習(xí)和應(yīng)用

勾股定理被應(yīng)用到我們生活中的方方面面，比如：航海問(wèn)題、測(cè)量問(wèn)題、臺(tái)風(fēng)預(yù)測(cè)問(wèn)題等，這就說(shuō)明不僅要積極內(nèi)化勾股定理知識(shí)，還要學(xué)會(huì)聯(lián)系實(shí)際、用于實(shí)際，從而真正做到學(xué)以致用。本文中我將從勾股定理的相關(guān)來(lái)源和學(xué)習(xí)與應(yīng)用時(shí)的注意問(wèn)題這兩大部分展開(kāi)詳細(xì)闡述，從而與大家共勉。

一、 勾股定理的相關(guān)來(lái)源

勾股定理定理叫商高定理、畢氏定理，或稱畢達(dá)哥拉斯定理，在西方據(jù)記載畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的某種特性，即直角三角形的斜邊平方與兩個(gè)直角邊的平方之和相等，至此經(jīng)過(guò)畢達(dá)哥拉斯不斷地進(jìn)行驗(yàn)證以及畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的努力探索，最終確定了勾股定理這一亙古不變的定理公式。

中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭中，其詳細(xì)地介紹了周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話，這就為勾股定理的出現(xiàn)埋下了伏筆。《周髀算經(jīng)》與其他九部陸續(xù)出現(xiàn)在我國(guó)漢唐兩代千余年間的數(shù)學(xué)著作一起，被國(guó)子監(jiān)算學(xué)館定為課本，后世通稱這十本書(shū)為《算經(jīng)十書(shū)》。《算經(jīng)十書(shū)》較全面地反映了自先秦至唐初我國(guó)的數(shù)學(xué)成就，其中許多書(shū)中都涉及了勾股定理的內(nèi)容，尤其《九章算術(shù)》（《算經(jīng)十書(shū)》之一）第九章“勾股”專門講解有關(guān)直角三角形的理論，所討論的主要內(nèi)容就是勾股定理及其應(yīng)用。

勾股定理在數(shù)學(xué)體系中占有十分重要的地位，千百年來(lái)逐漸形成了一門以勾股定理及其應(yīng)用為核心的理論結(jié)構(gòu).

二、 學(xué)習(xí)和應(yīng)用時(shí)需要注意的問(wèn)題

在學(xué)習(xí)勾股定理的過(guò)程中，很多學(xué)生不能深入領(lǐng)會(huì)公式的本質(zhì)內(nèi)涵，只會(huì)照搬照抄地套用公式，這就導(dǎo)致不能形成舉一反三的能力，從而不能將其靈活地運(yùn)用到自己的生活中。為了讓廣大學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)問(wèn)題，使他們對(duì)勾股定理產(chǎn)生深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用，我將在這部分中針對(duì)勾股定理的注意問(wèn)題展開(kāi)闡述，以此為處于學(xué)習(xí)中或困惑中的學(xué)生提供警醒作用。

（一） 勾股定理應(yīng)用的前提條件是直角三角形

有的學(xué)生不認(rèn)真審題目，他們?cè)诳吹饺切蔚淖盅蹠r(shí)會(huì)有先入為主的觀念，在沒(méi)有論證的背景下就傾向認(rèn)為此三角形是直角三角形，有的甚至通過(guò)肉眼觀察的途徑判斷此三角形是不是直角三角形，之所以會(huì)產(chǎn)生上述原因，一是因?yàn)閷W(xué)生具有不認(rèn)真審題、不謹(jǐn)慎的學(xué)習(xí)言行，盲目的急于出結(jié)果的心理。二是因?yàn)樗麄儗?duì)勾股定理知識(shí)點(diǎn)的掌握不扎實(shí)，理解不透徹。

在△ABC中，AB=10，BC=16，BC邊上的中線AD=6，試說(shuō)明AB=AC。

有的學(xué)生憑借直觀感受誤以為三角形ADB是直角三角形，便直接利用勾股定理證明AB與AC兩條邊相等，但是，通過(guò)認(rèn)真觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)題目中并沒(méi)有說(shuō)明這個(gè)三角形是直角三角形，我們需要先證明三角形ADB是直角三角形才能進(jìn)一步使用勾股定理說(shuō)明AB與AC兩條邊相等。

正解：因?yàn)锳D是BC邊上的中線，所以BD=CD=BC=8，又AB=10，AD=6，且有62+82=102，即AD2+BD2=AB2，所以△ADB是直角三角形，也就可以判定AD⊥BC，然后再利用勾股定理求出AC的值就可以證明其與AB相等。

（二） 分清直角三角形中斜邊與直角邊

勾股定理公式是關(guān)于斜邊平方與兩個(gè)直角邊平方之和的關(guān)系。雖然有的學(xué)生熟記勾股定理公式，但是他們?cè)诮忸}時(shí)往往會(huì)混淆斜邊與直角邊，誤將斜邊當(dāng)成直角邊或者誤將直角邊當(dāng)成斜邊，這都會(huì)帶來(lái)錯(cuò)誤的結(jié)果。

例如：在Rt△ABC中，a=8cm，b=10cm，∠B=90°，求第三邊長(zhǎng)c是多少？

有的學(xué)生直接用c2=a2+b2=82+102=164，所以c=8cm，但是這個(gè)結(jié)果必然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。因?yàn)檫@部分學(xué)生沒(méi)有注意∠B=90°這個(gè)條件，將c邊誤以為是斜邊，這是由于學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理公式中的慣性思維導(dǎo)致，他們將c2=a2+b2的規(guī)律運(yùn)用在任何直角三角形上，其不加仔細(xì)思考就偏見(jiàn)地認(rèn)為三角形的斜邊一般都是c邊，直角邊一定分別是a、b兩邊。

這道題目中已知∠B=90°，所以斜邊應(yīng)該是b，而不是c。因此，正確的解題思路應(yīng)該是：b2=a2+c2，c2=b2-a2=102-82=36，所以c邊長(zhǎng)為6cm。

勾股定理公式中的C2=A2+B2是從一般抽象性規(guī)律來(lái)闡明直角三角形的三邊關(guān)系的，并不是就意味著所有直角三角形的斜邊是C，兩個(gè)直角邊分別是A和B，廣大學(xué)子還需要具體問(wèn)題進(jìn)行具體分析，以便正確求出問(wèn)題答案，從而避免丟失分?jǐn)?shù)的現(xiàn)象發(fā)生。

（三） 注意題目中隱含的分類情況

如果題目中直接告訴我們?nèi)切蝺蓷l邊的邊長(zhǎng)，并說(shuō)明此三角形是直角三角形，但是卻沒(méi)有明確告訴我們哪條邊是斜邊、哪條邊是直角邊，部分學(xué)生往往刻板印象地認(rèn)為題目中給出的已知條件是兩條直角邊長(zhǎng)的，而忽視一條邊是斜邊、一條邊是直角邊的情況存在。

例如：在Rt△ABC中，已知兩邊長(zhǎng)為3cm和4cm，求第三邊的長(zhǎng)。

有的學(xué)生只考慮了題目中的兩條邊作為直角邊的情況出現(xiàn)，忽略了4cm的邊長(zhǎng)也可以作為斜邊出現(xiàn)，所以，他們只討論了一種情況，沒(méi)有分類討論題目中的其他情況，從而導(dǎo)致其得到錯(cuò)誤的結(jié)果。

這道題目應(yīng)該分兩種情況討論，一種是兩邊都為直角邊，即第三邊的邊長(zhǎng)為32+42=5；一種情況是一條邊為直角邊、另一條邊為斜邊，即第三邊的邊長(zhǎng)為42-32=7。學(xué)生在學(xué)習(xí)勾股定理的相關(guān)公式時(shí)，還需要具備嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼头诸愑懻摰乃枷?，秉著一絲不茍的精神認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

以上就是我就初中勾股定理的學(xué)習(xí)及應(yīng)用淺議所作總結(jié)。勾股定理是初中數(shù)學(xué)知識(shí)中較重要的章節(jié)，學(xué)生需要一步一個(gè)腳印地踏實(shí)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，不要懷著浮躁和輕視的心態(tài)認(rèn)為勾股定理很簡(jiǎn)單，否則會(huì)忽視公式中的細(xì)節(jié)問(wèn)題，導(dǎo)致自己犯下不應(yīng)有的錯(cuò)誤。

參考文獻(xiàn)：

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[2]谷藝琳.淺談勾股定理的由來(lái)和證明[J].中華少年，2017（24）：124.

作者簡(jiǎn)介：

張森宇，河北省石家莊市，河北省石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)。