戴慶志

摘 要：在新課程實施過程中，教師通過問題的設(shè)置來開展教學(xué)目前還存在種種問題。為了解決這些問題，筆者認(rèn)為可以運用設(shè)計問題鏈來進行教學(xué)。本文通過舉例，著重探討了高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何巧設(shè)問題鏈的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；問題鏈；方法

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）23-093-2

一、為自然地引入新概念或新方法設(shè)計的問題鏈

在數(shù)學(xué)新概念或新方法的教學(xué)中，很多教師往往不注重概念或方法的形成過程，只重視概念或方法的運用，忽視數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與形成的重要階段，強行地將一些數(shù)學(xué)新概念或新方法灌輸給學(xué)生，無從體現(xiàn)學(xué)生的主體性，影響了學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)理解，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。

例1 在“橢圓第一定義”的學(xué)習(xí)中，我們可以給出了以下問題鏈：問題一、圓的定義是怎樣的？問題二、圓還可以看作滿足什么條件的點的軌跡？（平面內(nèi)到定點距離等于定長的點的軌跡；平面內(nèi)到兩定點距離的平方和等于定長的點的集合；平面內(nèi)到兩定點所得連線互相垂直的點的軌跡……），這個問題的設(shè)置目的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識。問題三、改變上述條件，你還可以提出哪些軌跡問題？（學(xué)生提出：到兩定點距離這和為定長的點的軌跡，到兩定點距離之差為定長的點的軌跡，到兩定點距離平方差為定長的點的軌跡……），這個問題的設(shè)置目的是培養(yǎng)學(xué)生的提出問題、解決問題的實踐探索能力和分類討論思想。

然后請學(xué)生研究：求到兩定點距離之和等于定長的點的軌跡。（實物演示、計算器或電腦畫圖等）

其余問題作為研究性課題留給學(xué)生課后研究并寫出小結(jié)，再集中展示成果。（培養(yǎng)學(xué)生的探究能力）……

二、為分散難點作鋪墊而設(shè)計的問題鏈

數(shù)學(xué)教學(xué)過程是指導(dǎo)學(xué)生將新知識與原有認(rèn)識結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識相互作用，以形成發(fā)展新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的動態(tài)過程。有時為了解決一個難度較大或靈活性較強的問題，往往需要為分散難點作鋪墊而設(shè)計一些循序漸進的問題鏈，通過一些中間問題的過渡，使中間問題的解決提供中間結(jié)果和解題方法，從而起到過渡作用。一般在給出問題的大前提后，把問題分成幾問，再對各問層層加深，不斷提高，而各問題間既相對獨立，又具有或緊或松的聯(lián)系，通過對這個問題鏈的探索、解決，從而實現(xiàn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。

例2 是否存在常數(shù)a，b，使函數(shù)f（x）=x（a+b2x-1）是偶函數(shù)。在這個問題的研究中，我們可以作了如下鋪墊：

問題1 判斷函數(shù)f（x）=12+12x-1的奇偶性。其目的是的：引導(dǎo)學(xué)生在遇到困難問題時，先考慮特殊情況，讓問題簡化，再實現(xiàn)從特殊到一般的推廣。

問題2 判斷函數(shù)f（x）=x（12+12x-1）的奇偶性。

學(xué)生既可用函數(shù)奇偶性的定義來解決，得出是偶函數(shù)，也可設(shè)g（x）=x，h（x）=x（12+12x-1），它們都是奇函數(shù)，所以f（x）=g（x）h（x）是偶函數(shù)。

問題3 是否存在常數(shù)a，使函數(shù)f（x）=x（a+12x-1）是偶函數(shù)？

這是一個有一定難度的存在性問題，原先學(xué)生不易解決，但這里受到上題的啟發(fā)，使他們看到：只要判斷是否存在使函數(shù)f（x）=12+12x-1為奇函數(shù)即可。這樣，問題就轉(zhuǎn)化為使h（x）+h（-x）=0成立的常數(shù)a，即解方程（a+12-x-1）+（a+12x-1）=0即2a+2x1-2x+12x-1=0，即2a-1=0所以a=12。故當(dāng)a=12函數(shù)f（x）=x（a+12x-1）是偶函數(shù)。

最后在研究問題4是否存在常數(shù)a，b，使函數(shù)f（x）=x（a+b2x-1）是偶函數(shù)。由于本例受上題的影響，己經(jīng)不再困難。

可見，為分散難點作鋪墊而設(shè)計問題鏈的方法是展示知識生成過程、培養(yǎng)學(xué)生進行科學(xué)思維的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題能力、促進數(shù)學(xué)理解的過程。

三、為鞏固知識和技能而設(shè)計的問題鏈

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生鞏固知識和技能、進一步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以通過設(shè)計問題鏈的方法引導(dǎo)學(xué)生進行主動探索，而不是靠單純的模仿練習(xí)和機械記憶。在教學(xué)過程中，教師往往可以在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，可以對問題進行拓展、發(fā)散，實現(xiàn)提出問題一解決問題一提出新問題的過程，各問題可以從簡單到復(fù)雜，環(huán)環(huán)相扣，從而實現(xiàn)對知識和技能的綜合鞏固。

例3 圓錐曲線的定義和解析法是解析幾何的重要知識和重要思想，為了讓學(xué)生更好的理解圓錐曲線的定義和解析法，在章節(jié)復(fù)習(xí)中，我們可以設(shè)計了以下問題鏈：

問題1 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P點的軌跡方程。

問題2 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=2，求P點的軌跡方程。

問題3 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P點的軌跡方程。

問題4 若在平面內(nèi)，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求P點的軌跡方程。

問題5 若在平面內(nèi)，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|+|PF2|=4，求P點的軌跡方程。

問題6 若在平面內(nèi)，三角形PF1F2中，|F1F2|=2，|PF1|-|PF2|=1，求P點的軌跡方程。

問題7 若在平面內(nèi)，|F1F2|=a，|PF1|=|PF2|，求P點的軌跡方程。

……

以上的問題鏈，其知識覆蓋整個解析幾何乃至于初中幾何，數(shù)學(xué)方法與思想覆蓋整個高中數(shù)學(xué)。這樣對問題鏈的研究，不但使學(xué)生對解析幾何一章的內(nèi)容有更深的理解，而且各方面的知識與能力也得到充分的提高。

數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)問題——解決問題——再發(fā)現(xiàn)問題的不斷往復(fù)循環(huán)的過程中發(fā)展和前進，而學(xué)生的數(shù)學(xué)知識體系、認(rèn)知結(jié)構(gòu)在不斷地發(fā)現(xiàn)矛盾和解決問題，尋找缺陷和補證不足中逐步完善。所以，問題鏈方法是一種以適應(yīng)客觀世界的運動變化和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性之需要為目的的辯證的動態(tài)思維方法，是全面系統(tǒng)展示知識生成的過程，有益于促進學(xué)生數(shù)學(xué)理解。endprint