王小婷

摘 要：對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，教師不僅要重視學(xué)生“應(yīng)學(xué)什么”，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生是“怎樣學(xué)”的。只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷，才能打開學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)世界。在“經(jīng)歷教學(xué)”中，應(yīng)當(dāng)突出“學(xué)趣”、引導(dǎo)“學(xué)理”、發(fā)展“學(xué)力”。只有讓學(xué)生經(jīng)歷“趣”“理”“力”三重境界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)真正發(fā)生。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；經(jīng)歷教學(xué)；深度探尋

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)活動(dòng)過程性目標(biāo)用“經(jīng)歷、體驗(yàn)、體會(huì)”等動(dòng)詞進(jìn)行刻畫。建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于自身經(jīng)驗(yàn)知覺學(xué)習(xí)內(nèi)容，并在同化與順應(yīng)過程中建構(gòu)知識(shí)。知識(shí)建構(gòu)離不開自身經(jīng)歷，沒有經(jīng)歷外爍化灌輸是低效、無效甚至是負(fù)效的。真正的教學(xué)改革必然是學(xué)習(xí)改革。在“經(jīng)歷教學(xué)”中，應(yīng)當(dāng)突出“學(xué)趣”、引導(dǎo)“學(xué)理”、發(fā)展“學(xué)力”。只有讓學(xué)生經(jīng)歷“趣”、“理”、“力”三重境界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)真正發(fā)生。

一、學(xué)趣，數(shù)學(xué)“經(jīng)歷教學(xué)”的心理起點(diǎn)

趣，包括興趣、樂趣、情趣和智趣等。有了“趣”，一個(gè)人就會(huì)樂此不疲，就愿意傾情付出，這是學(xué)習(xí)原動(dòng)力。在“經(jīng)歷教學(xué)”中，教師要激發(fā)學(xué)生“學(xué)趣”，讓學(xué)生主動(dòng)求知、探究、實(shí)踐。在求知、探究和實(shí)踐中產(chǎn)生愉悅學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

1. 知識(shí)趣，驅(qū)動(dòng)學(xué)生經(jīng)歷

數(shù)學(xué)是一門趣味性極強(qiáng)的學(xué)科。激發(fā)學(xué)生“學(xué)趣”，首要的是用數(shù)學(xué)本身之“趣”來引發(fā)學(xué)生探究、創(chuàng)造。教學(xué)《小數(shù)的除法》，在處理“無限小數(shù)”中“循環(huán)小數(shù)”時(shí)，筆者讓學(xué)生計(jì)算1÷7、2÷7、3÷7……6÷7，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，所得的商的循環(huán)節(jié)都是由1、4、2、8、5、7這幾個(gè)數(shù)組成的，而且都是按照1、4、2、8、5、7前后順序排列的，這就是“走馬燈數(shù)”。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)后，一方面深深感到數(shù)學(xué)之神奇、曼妙，另一方面給學(xué)生計(jì)算以獨(dú)特啟示，即只要計(jì)算出小數(shù)部分第1位數(shù)字是幾，就能寫出循環(huán)節(jié)。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)“走馬燈數(shù)”表現(xiàn)出極高的學(xué)習(xí)興趣，那么，有沒有其他的“走馬燈數(shù)”呢？通過檢索互聯(lián)網(wǎng)，學(xué)生對(duì)循環(huán)小數(shù)展開深度研究，有學(xué)生竟然理解了其中的規(guī)律，即“循環(huán)節(jié)位數(shù)比分?jǐn)?shù)分母（質(zhì)數(shù)）少一個(gè)”，找出了諸如1/17、1/19、1/23、1/29等“走馬燈數(shù)”。

2. 學(xué)習(xí)趣，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷

教師對(duì)學(xué)生非認(rèn)知引導(dǎo)、激發(fā)，主要就是激“趣”。學(xué)生喜歡學(xué)習(xí)富有趣味性、挑戰(zhàn)性的內(nèi)容，更喜歡趣味性活動(dòng)。作為教師，不僅要發(fā)掘數(shù)學(xué)本身的趣味，更要讓學(xué)習(xí)成為一種游戲。比如動(dòng)手操作、觀察實(shí)踐、互動(dòng)分享、體驗(yàn)探索等。一位教師教學(xué)《最小公倍數(shù)》，制作了一個(gè)“結(jié)尾巴”的學(xué)具：一個(gè)正三角形和一個(gè)正五邊形，共同組成一個(gè)完整的帶有尾巴的圖案，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)圖形（如三角形）時(shí)，尾巴就斷了。為了重新續(xù)上尾巴，三角形一共要轉(zhuǎn)動(dòng)幾次呢？在一次次地“玩”中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，也就是3和5的公倍數(shù)。在游戲中，學(xué)生無意注意和有意注意被充分調(diào)動(dòng)，他們不會(huì)有任何壓力、負(fù)擔(dān)。而在這種高投入“玩”中，學(xué)生感悟到“倍數(shù)”“公倍數(shù)”和“最小公倍數(shù)”的深刻內(nèi)涵?！叭ぁ保茕伨蛯W(xué)生“經(jīng)歷學(xué)習(xí)”的底色。當(dāng)然，這里的“趣”，不能僅僅停留在有意思的層面，還必須有鮮明的數(shù)學(xué)價(jià)值追求。只有充滿價(jià)值追求的“趣”，才能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

二、學(xué)理，數(shù)學(xué)“經(jīng)歷教學(xué)”的必要考量

“學(xué)理”原本是指法則和原理。這里的“學(xué)理”，是指學(xué)生“學(xué)”的規(guī)律、原則。數(shù)學(xué)是一門兼具理性和實(shí)踐性的學(xué)科。數(shù)學(xué)學(xué)科理性決定了數(shù)學(xué)教學(xué)必須引導(dǎo)學(xué)生思考、思想、思辨，實(shí)踐性決定了應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)踐。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)視角對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行理性追問和學(xué)理考量，做到“趣”“理”融合。

1. 把握知識(shí)之“序”，“經(jīng)歷”之前提

每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，無論其誕生之初，還是在教材中位置，都符合知識(shí)生長(zhǎng)邏輯。作為教師，首先要把握知識(shí)之“序”，這是進(jìn)行“經(jīng)歷教學(xué)”之前提。一方面，教師要研讀數(shù)學(xué)史，把握數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)節(jié)點(diǎn)等；另一方面，要研讀教材，而且研究不同版本教材。只有從整體比較中才能洞察知識(shí)精髓，通曉知識(shí)精義。比如對(duì)于《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》，不少教師教學(xué)僅停留在“如果向東表示正，那么向西表示什么”的經(jīng)驗(yàn)層面上。教師既沒有研讀數(shù)學(xué)史，也沒有研讀初中教材。研讀數(shù)學(xué)史會(huì)發(fā)現(xiàn)，中國(guó)對(duì)正負(fù)數(shù)認(rèn)識(shí)要比西方早兩千多年，如《九章算術(shù)》，提出了“兩算得失相反”以及“正算赤，負(fù)算黑，否則以邪正為異”，并總結(jié)出“正負(fù)術(shù)”。但由于始終停留在經(jīng)驗(yàn)層面，因而沒有得到發(fā)展。由此可見，讓學(xué)生理解經(jīng)驗(yàn)意義上的“負(fù)數(shù)”是簡(jiǎn)單的，但要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)意義上的“負(fù)數(shù)”卻不是一件容易的事。研究初中教材會(huì)發(fā)現(xiàn)，只有將正數(shù)、負(fù)數(shù)等納入有理數(shù)范疇，并進(jìn)行計(jì)算，負(fù)數(shù)才得以確立?？梢娫谛W(xué)階段，不僅要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)層面的“相反意義的量”，更要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)意義上“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0”的結(jié)論，并對(duì)正負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置，正負(fù)數(shù)相加減引起數(shù)軸點(diǎn)的變動(dòng)進(jìn)行認(rèn)識(shí)。

2. 解碼心理之“序”，“經(jīng)歷”之條件

數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)、生成順序只是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)前提，只為學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)提供了可能，要將這種可能有效地轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，還需解碼學(xué)生認(rèn)知、思維等心理活動(dòng)之序，這是經(jīng)歷教學(xué)之條件。仍以《認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)》教學(xué)為例，學(xué)生在學(xué)習(xí)中會(huì)遭遇哪些思維障礙、認(rèn)知困惑呢？研讀數(shù)學(xué)史就會(huì)發(fā)現(xiàn)，歷史上很多數(shù)學(xué)家之所以不接受負(fù)數(shù)，是因?yàn)椴荒芡黄圃姓J(rèn)知邊界。如德國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾說，“從零中減去一個(gè)大于零的數(shù)得到的數(shù)‘小于一無所有，是‘荒謬的數(shù)”。顯然，這里的認(rèn)知障礙在于負(fù)數(shù)“小于0”。認(rèn)識(shí)了這一點(diǎn)，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)就要突出“標(biāo)準(zhǔn)量”。只有讓學(xué)生確定標(biāo)準(zhǔn)，才能順利理解正負(fù)數(shù)，認(rèn)識(shí)到“0不僅表示沒有，不僅表示起點(diǎn)，還表示標(biāo)準(zhǔn)”。有了這樣的認(rèn)識(shí)，就能導(dǎo)引學(xué)生從負(fù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)意義走向數(shù)學(xué)意義。有了對(duì)學(xué)生心理解碼，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能像呼吸一樣自然。只有讓學(xué)生充分經(jīng)歷，才能打開學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的世界。

三、學(xué)力，數(shù)學(xué)“經(jīng)歷教學(xué)”的終極目標(biāo)

學(xué)力，顧名思義也就是學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。無論是“趣”的激發(fā)還是“理”的考量，其根本目的都是為了提升學(xué)生的學(xué)力。學(xué)力，是數(shù)學(xué)“經(jīng)歷教學(xué)”的終極目標(biāo)。學(xué)生只有“會(huì)學(xué)”，才能主動(dòng)“學(xué)會(huì)”。從根本上說，學(xué)力可以分為顯性學(xué)力和隱性學(xué)力。

1. 經(jīng)歷，提升學(xué)生顯性學(xué)力

學(xué)力，猶如一個(gè)冰山模型，浮出水面、露在外面的就是顯性學(xué)力。所謂“顯性學(xué)力”，是指學(xué)生的外顯的、可考察方面的學(xué)力。顯性學(xué)力通常指學(xué)生認(rèn)知方面的能力，即學(xué)生思維力、探究力、判斷力、問題解決力和創(chuàng)造力等。經(jīng)歷，能提升學(xué)生顯性學(xué)力。比如，教學(xué)《折線統(tǒng)計(jì)圖》，不少教師往往直接出示折線統(tǒng)計(jì)圖，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)認(rèn)知就如同“天降神兵”，有點(diǎn)突兀。筆者在教學(xué)中，從學(xué)生的已有認(rèn)知——條形統(tǒng)計(jì)圖出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷折線統(tǒng)計(jì)圖誕生過程。首先，出示兩幅條形統(tǒng)計(jì)圖，一幅條形統(tǒng)計(jì)圖是多個(gè)數(shù)量的比較，另一幅條形統(tǒng)計(jì)圖是一個(gè)數(shù)量不同階段變化。然后將一個(gè)數(shù)量不同階段直條縮成線，繼而縮成點(diǎn)，連點(diǎn)成折線，將條形統(tǒng)計(jì)圖演變?yōu)檎劬€統(tǒng)計(jì)圖。通過演變，學(xué)生深度思考：原來?xiàng)l線統(tǒng)計(jì)圖表示多個(gè)不同主角，而折線統(tǒng)計(jì)圖主要表征同一主角；條形統(tǒng)計(jì)圖主要是為了看清各主角數(shù)量多少，折線統(tǒng)計(jì)圖主要是為了看清某一主角數(shù)量增減變化。據(jù)此，有學(xué)生猜想，如果要表示多個(gè)不同主角數(shù)量變化，可能就需要用復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖。經(jīng)歷，不僅讓學(xué)生“知其然”，更讓學(xué)生“知其所以然”。

2. 經(jīng)歷，發(fā)展學(xué)生的隱性學(xué)力

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大部分教師都非常關(guān)注學(xué)生顯性學(xué)力，因?yàn)轱@性學(xué)力能在短時(shí)間內(nèi)提高學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)。事實(shí)上，隱性學(xué)力更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)可持續(xù)性發(fā)展的動(dòng)力系統(tǒng)。隱性學(xué)力主要涉及學(xué)生情意領(lǐng)域，包括學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)態(tài)度等。比如教學(xué)《三角形的面積》，不少教師都是直接給學(xué)生提供完全相同的三角形。這樣，盡管學(xué)生也能建構(gòu)三角形面積公式，但他們并不理解為什么要用兩個(gè)完全相同的三角形。學(xué)生隱性學(xué)力沒有得到發(fā)掘。筆者在教學(xué)中，給學(xué)生發(fā)了許多個(gè)三角形，學(xué)生借助平行四邊形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，就能想到沿著高剪開。在實(shí)踐中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有等腰三角形能沿高剪開后能將兩個(gè)三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。經(jīng)過交流，學(xué)生很快得出結(jié)論，因?yàn)橹挥械妊切窝馗呒糸_能得到兩個(gè)完全相同的三角形。這樣，蓄積了學(xué)生探究動(dòng)能和勢(shì)能，學(xué)生自覺用兩個(gè)完全相同的三角形組成平行四邊形。

經(jīng)歷學(xué)習(xí)是一種積淀，也是一種感受和體驗(yàn)。只有經(jīng)歷，才能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)本質(zhì)、聯(lián)系，才能觸摸到數(shù)學(xué)的思想、方法，才能把握數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)經(jīng)歷中，要讓學(xué)生慢思考、深體會(huì)、長(zhǎng)探究，讓學(xué)生在經(jīng)歷中探有所得、悟有所得。作為教師，要致力于讓學(xué)生“身行體悟”，在經(jīng)歷中感受、體驗(yàn)、探究，進(jìn)而學(xué)有所得，助推學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“歷”到“力”的歸位。