吳青

摘 要：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)該要從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，將數(shù)學(xué)知識與生活實際緊密結(jié)合起來，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的完整過程，初步理解數(shù)學(xué)證明的過程，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與邏輯性，不斷培養(yǎng)學(xué)生探究數(shù)學(xué)奧秘的能力。

關(guān)鍵詞：內(nèi)角和；應(yīng)用價值；推理證明

三角形的內(nèi)角和是蘇教版四年級下冊安排的教學(xué)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生通過觀察、猜想、操作、歸納等探究活動，發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和是180°這個重要性質(zhì)，這是學(xué)生認(rèn)識和理解三角形角的特征的重要方面，也是以后進一步學(xué)習(xí)和探索三角形其他知識的必備基礎(chǔ)。

“三角形的內(nèi)角和是180°”這個性質(zhì)，許多孩子在課前已經(jīng)都知道了，而且也能夠根據(jù)三角形的內(nèi)角和來計算某個未知角的度數(shù)。那么，在這樣的情況下，這節(jié)課的教學(xué)該如何展開呢？怎樣才能既考慮到孩子已有的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，又能夠讓他們深入理解知識，更好的發(fā)展思維能力，真正發(fā)揮這節(jié)課應(yīng)有的價值呢？

一、追根溯源，凸顯數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值

我們知道，數(shù)學(xué)知識來源于生活，又運用于生活，解決生活中的實際問題。每一個數(shù)學(xué)知識，都可以在生活中找到它的應(yīng)用價值，比如學(xué)會了三角形面積的計算，就可以去計算三角形田地或者三角形鋼板的面積；學(xué)會了三角形的三邊關(guān)系，就可以選擇三根小棒或者三根繩子來圍成一個三角形。

所以我們在教學(xué)一個新知識的時候，要有意識地呈現(xiàn)新知識在生活中的實際應(yīng)用，讓孩子認(rèn)識到所學(xué)的知識與生活緊密相連，從生活中來，又回到生活中去，并能夠運用新知識靈活解決生活中的實際問題，達到學(xué)以致用的目的。

那么，生活中哪些地方需要用到三角形內(nèi)角和的知識呢？知道了三角形的內(nèi)角和是180°，可以解決生活中的哪些實際問題呢？

教材中給出的練習(xí)題，基本上都是根據(jù)三角形中兩個角的度數(shù)來求第三個角，網(wǎng)上搜索到的也都是這種類型的題目，這種題目顯然是人為編造的，脫離了生活實際。我們也經(jīng)常會見到這樣的題目：“有一塊三角形的玻璃，被小明不小心摔壞了一個角，剩下來的兩個角分別是60°和70°，你能知道摔壞的那個角是多少度嗎？”說實話，三角形的玻璃被摔壞之后，有必要知道摔壞的那個角的大小嗎？這種題目人為編造的痕跡太重，沒有現(xiàn)實意義。

其實，人們在進行遠(yuǎn)距離測量計算的時候，就需要用到三角形內(nèi)角和的知識。比如，根據(jù)遠(yuǎn)處高山的仰角來計算它的高度、利用三角測量法來測算地面距離、用三角視差法來測量恒星的距離等等，這些都離不開三角形內(nèi)角和的知識。此外，當(dāng)我們想要知道某個角的大小，卻又無法直接測量的時候，也可以根據(jù)三角形內(nèi)角和的知識，來間接得到。

由此看來，三角形內(nèi)角和的知識在生產(chǎn)生活中確實大有用武之地。在這節(jié)課上，我們就需要讓孩子認(rèn)識到三角形內(nèi)角和在生活中的實際應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)知識與實際生活之間的密切聯(lián)系，拉近孩子與數(shù)學(xué)知識之間的心理距離，更好地激發(fā)孩子探究數(shù)學(xué)知識的興趣。

在這節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我創(chuàng)設(shè)了參觀三角形王國的故事情境。在三角形王國里有一座高聳入云的智慧山，山的旁邊修了兩條小路。大家都很想知道這兩條路是否相互垂直，可是這兩條小路延長之后都鉆到山里面去了，測量不到這個角度，怎樣才能知道這個角是不是直角呢？于是有孩子想到，可以在旁邊再修一條路，和剛才的兩條小路都相交，這時就出現(xiàn)了一個三角形，不過有一個角是藏在山里面的，還有兩個角在外面。我們可以先測量出外面兩個角的度數(shù)，然后用180°減去這兩個角的度數(shù)，就可以得到藏在山里面的那個角的度數(shù)，這樣就能夠判斷原來的兩條小路是否垂直了。

此時，我緊接著進行追問：為什么要用180°去減？這里的180°是什么？由此引出三角形的內(nèi)角和。

在這個導(dǎo)入部分，要想知道小路是否垂直，可以根據(jù)夾角的度數(shù)來判斷，但是又無法直接測量這個角，這時通過構(gòu)造一個三角形，利用三角形內(nèi)角和的知識來計算出小路夾角的度數(shù)，從而順利地解決問題?？紤]到許多孩子對三角形的內(nèi)角和都有了一定的認(rèn)識，知道三角形的內(nèi)角和是180°，所以我就在導(dǎo)入環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)這樣的問題情境，讓學(xué)生體會到三角形內(nèi)角和在生活中的應(yīng)用價值，認(rèn)識到研究三角形的內(nèi)角和是有必要的，從而更加積極主動地投入接下來的探究之中。

作為呼應(yīng)，在新課結(jié)束的時候，我再讓孩子們分析導(dǎo)入情境的這個問題，確認(rèn)解決方法是否正確，進一步強化鞏固三角形內(nèi)角和在生活中的應(yīng)用。隨后向?qū)W生簡要介紹根據(jù)遠(yuǎn)處高山的仰角來計算它的高度、利用三角測量法來測算地面距離、用三角視差法來測量恒星的距離，拓寬孩子的知識面，幫助孩子更好地認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識在生活中的廣泛應(yīng)用，從而拉近孩子與數(shù)學(xué)知識之間的心理距離。

二、深入分析，厘清數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性

在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，當(dāng)構(gòu)造出一個三角形，并且測量出露在外面的兩個角的度數(shù)之后，幾乎所有的孩子都舉手，能夠說出是用180°減去這兩個角的度數(shù)，就能得到兩條小路夾角的度數(shù)。這表明，他們幾乎都已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°，而這正是本課所要探究的內(nèi)容。

那么，接下來的這節(jié)課該怎么教學(xué)呢？是完全不考慮學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)，按照教材安排的流程，從頭開始來探究三角形的內(nèi)角和嗎？還是認(rèn)可學(xué)生已經(jīng)掌握的知識，接下來便把重點放在運用三角形內(nèi)角和的知識來解決問題？

其實，這兩種做法都不可取。當(dāng)教學(xué)中遇到這種情況時，我們首先必須了解清楚，孩子們是不是真的懂了，他們有沒有真正理解并掌握三角形內(nèi)角和的本質(zhì)特征，或者只是知道三角形的內(nèi)角和是180°這個知識點，浮于知識的表面理解和直接運用，而沒有深入領(lǐng)會其內(nèi)在的屬性。

因此，當(dāng)孩子都知道三角形的內(nèi)角和是180°時，我安排了一個環(huán)節(jié)，讓他們分析三角形分與合過程中內(nèi)角和的變化情況，并說出理由。一個大三角形的內(nèi)角和是180°，分成兩個小三角形之后，每個小三角形的內(nèi)角和各是多少度？為什么還是180°，而不是它的一半，即90°？多出來的角在哪兒？把兩個小三角形拼成一個大三角形之后，大三角形的內(nèi)角和是多少度？為什么不是360°，而是180°，少掉的角在哪兒？

這兩個問題的核心，直指三角形內(nèi)角和性質(zhì)中最重要、最關(guān)鍵的概念——內(nèi)角，正是由于在三角形分與合的過程中，內(nèi)角發(fā)生了變化，增加了或者減少了，所以不管三角形怎么變化，內(nèi)角和始終保持180°不變。

通過對這兩個問題的回答，可以看出孩子有沒有真正理解三角形內(nèi)角和的本質(zhì)屬性。盡管許多學(xué)生都知道現(xiàn)在三角形的內(nèi)角和還是180°，內(nèi)角和不變，但是卻無法說出其中的緣由，這說明他們對內(nèi)角的概念還是模糊不清的，只是浮于表面，沒有真正理解。

因為沒有真正理解內(nèi)角的含義，所以對三角形內(nèi)角和的認(rèn)識就會片面、膚淺，在接下來對四邊形、五邊形等多邊形內(nèi)角和的操作探究中，會遇到許多困難。比如在探究四邊形的內(nèi)角和時，有孩子進行如下劃分（如圖1），而得出四邊形內(nèi)角和為180°的3倍，這種錯誤就是因為他們對“內(nèi)角”這個概念沒有認(rèn)識清楚。

基于上面的分析，我覺得本課的教學(xué)是非常有必要的，而且首先必須幫助孩子厘清內(nèi)角概念，這樣才能更加深刻地理解三角形的內(nèi)角和。在課堂上，通過對具體三角形內(nèi)角的分析，幫助孩子認(rèn)識到內(nèi)角的特征，進而概括出內(nèi)角的內(nèi)涵，即“三角形相鄰兩條邊所組成的角”，從而為接下來進一步研究三角形的內(nèi)角和打好基礎(chǔ)。

在課堂的結(jié)束部分，我再一次讓孩子分析三角形分與合的過程。由于已經(jīng)明確了內(nèi)角的概念，這時他們就能很準(zhǔn)確地指出，在分與合的過程中，內(nèi)角發(fā)生了怎樣的變化，哪些內(nèi)角消失了，又新增加了哪些內(nèi)角，這表明孩子們對內(nèi)角的含義已經(jīng)真正理解掌握了。在這樣的基礎(chǔ)上，接下來再探究多邊形的內(nèi)角和，就不會再出現(xiàn)上面的那種錯誤情況了。

所以，當(dāng)發(fā)現(xiàn)孩子已經(jīng)知道了課堂上將要探究學(xué)習(xí)的新知識的時候，我們不能被他們外在的表現(xiàn)所迷惑，而要能夠抓住新知識的關(guān)鍵概念進行分析，來判斷孩子們到底有沒有真正理解掌握，還是只停留于知識的表面，沒有深入理解。在此基礎(chǔ)上再有的放矢地進行教學(xué)，這樣的教學(xué)才更有針對性，才能更好地利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，將學(xué)生對知識的理解由表層逐步向著縱深發(fā)展。

三、循序漸進，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的科學(xué)歷程

1. 轉(zhuǎn)變研究思路

在厘清了內(nèi)角的概念之后，接下來就是課堂探究環(huán)節(jié)。教材中安排的探究過程，是先計算兩把三角尺上三個內(nèi)角的和，然后去測量其他三角形3個內(nèi)角的度數(shù)并相加，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后讓學(xué)生思考，能不能想辦法把每個三角形的3個內(nèi)角拼在一起，教材中隨后給出了兩種拼的方法，一種是把3個角撕（剪）下來拼在一起（即“剪拼”），另一種是把3個角折到一起拼成一個平角（即“折拼”）。

由于學(xué)生已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和是180°，所以我們就沒有必要再像教材中那樣按部就班地進行探究，而是把探究的自主權(quán)交還給學(xué)生，讓他們來掌控探究活動。于是在明確了內(nèi)角概念之后，我問孩子，“你們剛才都知道了三角形的內(nèi)角和是180°，你們能不能想辦法來驗證一下？”就這樣，我就巧妙地把“探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律”變?yōu)椤膀炞C確認(rèn)規(guī)律”。雖然接下來的操作活動是驗證而不是探究，但是所采用的方法其實和探究規(guī)律時的方法是相同的，所以驗證的過程其實也就是探究的過程。只不過，在探究規(guī)律時，我們事先并不知道會有怎樣的規(guī)律，所以探究的過程可能會有些盲目，帶有一些不確定性；而在驗證時，由于規(guī)律已經(jīng)知道了，所以目的性和方向性非常明確。

2. 完善研究方法

許多老師認(rèn)為，教材中給出的三種方法是并列的，沒有優(yōu)劣之分，沒有先后之分，所以應(yīng)該讓學(xué)生在自主探究的過程中全都能夠獨立想到，然后進行匯報交流。但事實上，這三種方法顯然是有區(qū)別的，對所有人（不僅僅是孩子）來說，要想知道某個三角形的內(nèi)角和是多少度，首先想到的方法肯定是測量出三個內(nèi)角的度數(shù)然后相加，而不會先想到要把這三個角拼在一起。此外，測量的方法誤差比較大，而剪拼和折拼的誤差相對比較小，尤其是折拼的方法，過程簡潔明了。所以這三種方法顯然不是同一個層次的。

因此當(dāng)孩子們在進行驗證時，他們無一例外都采用了測量的方法。在匯報交流時，我發(fā)現(xiàn)有幾個孩子計算得到的三角形內(nèi)角和不是180°，于是就抓住這個契機和大家一起分析可能存在的原因。在明確是由于存在“誤差”而導(dǎo)致得到的內(nèi)角和不是180°時，我順勢進行引導(dǎo)：“同學(xué)們，數(shù)學(xué)追求的是嚴(yán)格準(zhǔn)確，而不能含糊。測量的過程中存在著誤差，不夠準(zhǔn)確，那么有沒有更好的辦法，能夠盡可能減小誤差，從而說明三角形的內(nèi)角和確實等于180°呢？如果不測量三個角的度數(shù)，想要知道三個角的總和，我們可以想辦法把這三個角拼在一起嗎？”在啟發(fā)下再進行思考討論，最終發(fā)現(xiàn)了剪拼和折拼的方法。

教材中介紹的探究方法就這三種，但是我們的研究卻不能就此止步。在拼的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，由于需要把三角形剪下來然后才能拼，所以拼的方法還是存在誤差，而有些三角形（比如畫在黑板上的三角形）是無法剪下來的，那么怎樣才能進一步消除誤差，從而準(zhǔn)確得到三角形的內(nèi)角和呢？

于是我向孩子們介紹了用鉛筆旋轉(zhuǎn)的方法。（如圖2所示）一支鉛筆，開始時筆尖朝左，當(dāng)鉛筆依次轉(zhuǎn)過三個角之后，筆尖朝右，正好旋轉(zhuǎn)了180°，這就說明這個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之和是180°。這種旋轉(zhuǎn)的方法有別于其他形式的數(shù)學(xué)探究方法，也許會讓人感覺沒有數(shù)學(xué)味兒，懷疑這種探究方式是否嚴(yán)密，但是這種獨特的動態(tài)直觀操作的探究方式讓人耳目一新，拓寬了孩子的視野，豐富了數(shù)學(xué)感知，也極大地調(diào)動了孩子的學(xué)習(xí)積極性和探究欲望，所以在課堂上孩子們都感覺非常驚訝，興趣盎然。

上面的這幾種探究方法，誤差逐漸減小，方法也越來越簡便，由一開始的需要量、需要剪，而逐漸變?yōu)榧炔恍枰恳膊恍枰簟＿@個過程，正體現(xiàn)了人們在進行數(shù)學(xué)研究過程中所經(jīng)歷的一般過程，逐步減小誤差，逐漸優(yōu)化方法，按照這樣的順序進行課堂探究，就是要讓孩子體會到數(shù)學(xué)探究的一般歷程，從而為以后獨立研究其他數(shù)學(xué)問題打下基礎(chǔ)。

3. 嘗試推理證明

小學(xué)階段的許多數(shù)學(xué)探究活動，都是先通過對幾個具體對象的研究分析，概括出一個規(guī)律，然后再列舉幾個具體的對象進行驗證，接下來就運用這個規(guī)律去解決實際問題。這種“列舉—觀察—歸納—猜想—驗證—結(jié)論”的探究方法，其實就是不完全歸納法，嚴(yán)格意義上來說，這時候得到的規(guī)律只能說是一種猜想，還需要經(jīng)過數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明，然后才能運用。但是由于小學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)知識和方法有限，所以我們一般都不進行嚴(yán)格的證明。

對于三角形的內(nèi)角和來說，我們也是在對幾個三角形進行操作之后，通過不完全歸納法得出三角形內(nèi)角和是180°這個規(guī)律。

三角形內(nèi)角和定理是歐幾里得第五公設(shè)（平行公設(shè)）的推論，法國著名的大數(shù)學(xué)家帕斯卡在12歲的時候，就能夠獨立證明三角形內(nèi)角和定理了。那么，我們是否也可以讓孩子理解這種推理證明的方法呢？

對此，有些老師認(rèn)為證明方法太難，不適合小學(xué)生；也有老師認(rèn)為，本課的重點在于通過探究得出三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，然后運用知識解決實際問題，沒有必要進行推理證明。然而事實上，小學(xué)階段三角形內(nèi)角和性質(zhì)的運用，無非是根據(jù)三角形中兩個角的度數(shù)來求第三個角，思維水平不高，沒有必要過多練習(xí)。而且，嚴(yán)格證明的過程僅僅涉及長方形與直角三角形，四年級的孩子完全能夠理解接受。

在這種情況下，我覺得，應(yīng)該把“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的完整過程，知道科學(xué)探究的一般方法”作為本課的重點之一，在探究操作之后，向?qū)W生介紹嚴(yán)格證明的方法，從而拓寬孩子的思維空間，豐富數(shù)學(xué)感知，完善數(shù)學(xué)知識體系，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與邏輯性，給孩子更加嚴(yán)格的數(shù)學(xué)素養(yǎng)熏陶。

我們可以采用帕斯卡的方法進行證明，帕斯卡是這樣證明的：長方形的四個角都是直角，四個角的和是360°；把長方形沿對角線一分為二，就變成兩個直角三角形，每個直角三角形的內(nèi)角和就是360÷2=180°；任意一個直角三角形都可以看作是長方形剪開得到的，所以任意直角三角形的內(nèi)角和都是180°；任何一個銳角三角形都可以沿高分為兩個直角三角形，兩個直角三角形的內(nèi)角總和為180+180=360°，而其中有兩個直角拼在一起成了一條直線，所以銳角三角形三個內(nèi)角的和是360-90×2=180°；同樣的道理可以說明鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°。

帕斯卡的這個證明過程中利用到了內(nèi)角的變化，所以內(nèi)角的概念是非常關(guān)鍵的。為了讓孩子更容易理解，我把帕斯卡的證明方法進行了修改簡化。

首先研究直角三角形，由于兩個完全相同的直角三角形可以拼成一個長方形（如圖3），長方形的每個角都是直角，所以直角三角形中兩個銳角相加的和（∠1+∠2）就是一個直角，即90°，再加上原有的一個直角，就得到直角三角形的內(nèi)角和，即90+90=180°。

接下來研究非直角三角形（如圖3），它的內(nèi)角和是∠1+∠2+∠3，我們作出一條高，把∠3分成∠4和∠5這兩個小一些的角。作出的這條高就把原來的三角形分成兩個小的直角三角形，根據(jù)剛才分析得出的結(jié)論，直角三角形中兩個銳角的和等于90°，因此有∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，把這兩個式子合并起來得到∠1+∠2+∠4+∠5=180°，再根據(jù)∠4+∠5就是∠3，因此可以得到∠1+∠2+∠3=180°，也就是說三角形的內(nèi)角和是180°。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“數(shù)學(xué)課程不僅要考慮教學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上?！碧K霍姆林斯基也曾說過，“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者。在兒童的精神世界里這種需要特別強烈?！?/p>

因此，在課堂教學(xué)時，我們應(yīng)該從學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，合理剖析學(xué)生所掌握的知識水平，將數(shù)學(xué)知識與生活實際緊密結(jié)合起來，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的完整過程，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與邏輯性，不斷掌握科學(xué)探究的方法，領(lǐng)略成功的喜悅，從而激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生更加積極主動地投入以后的數(shù)學(xué)探究活動之中。