襲春曉，孫建強(qiáng)，閆靜葉

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228)

強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的多辛整體保能量方法

襲春曉，孫建強(qiáng)，閆靜葉

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 海口 570228)

首先基于二階平均向量場(chǎng)方法和擬譜方法構(gòu)造了強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的多辛整體保能量格式，然后利用多辛整體保能量格式數(shù)值模擬系統(tǒng)孤立波的演化行為，最后數(shù)值結(jié)果表明多辛整體保能量格式可以較好地模擬強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)孤立波的演化行為，還可以精確保持系統(tǒng)的整體能量守恒特性.

多辛整體保能量方法； 平均向量場(chǎng)方法； 強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)

強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)在非線性光學(xué)和等離子體物理學(xué)中具有重要的意義,分析和求解強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)已成為數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中非線性問(wèn)題的研究熱點(diǎn).考慮如下強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)[1-3]

(1)

近年來(lái),一些能夠保持多辛守恒的多辛算法被陸續(xù)提出,如多辛Runge-Kutta方法,多辛Preissman格式,多辛Euler box格式和多辛譜方法等[4-9],在求解非線性孤立子偏微分方程中發(fā)揮重要作用,并已利用相應(yīng)的多辛算法對(duì)強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)進(jìn)行求解.但是這些多辛算法只能近似保持強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的整體能量.王雨順[9]等人利用二階平均向量場(chǎng)方法[10-11]的思想提出了多辛整體保能量方法，該方法不僅能夠很好地模擬多辛結(jié)構(gòu)的薛定諤方程和KdV方程,而且還能夠精確地保持方程的整體能量守恒特性,同時(shí)已應(yīng)用平均向量場(chǎng)方法于辛結(jié)構(gòu)的哈密爾頓系統(tǒng)的計(jì)算[12-13].筆者利用多辛整體保能量方法求解具有多辛結(jié)構(gòu)的強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng).

1 強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的多辛整體保能量格式

設(shè)u=p(x,t)+iq(x,t),v=c(x,t)+id(x,t),引入變量a,b,e,f，并且滿(mǎn)足px=a,qx=b,cx=e,dx=f,則式(1)可表示為如下多辛結(jié)構(gòu)

(2)

其中,

z=(p,q,a,b,c,d,e,f)T,

其中，0和I分別為二階零矩陣和單位矩陣,M和K為反對(duì)稱(chēng)矩陣,S∶R8→R是一個(gè)光滑函數(shù).式(2)滿(mǎn)足如下的多辛守恒律

(3)

(4)

(5)

插值算子IN在配置點(diǎn)xj滿(mǎn)足

(6)

設(shè)u=(u0,u1,…，uN-1)T,定義

(7)

稱(chēng)Dk為階微分矩陣.通過(guò)計(jì)算可以得到

(8)

D1是如下的一階反對(duì)稱(chēng)譜矩陣

(9)

式(2)在空間方向用譜方法離散后,可轉(zhuǎn)化為如下方程

(10)

其中，z=(PT,QT,AT,BT,CT,DT,ET,FT)T,P=(p0,…，pj,…，pN-1)T，j=0,1,…，N-1.

(11)

離散格式(11)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后,等價(jià)于如下格式

(12)

(13)

(14)

(15)

其中,j=0,1,2,…，N-1. 用(RE)n表示tn時(shí)刻的局部能量剩余誤差,格式(11)的局部能量剩余誤差為

(16)

15個(gè)肺結(jié)核病例CT檢查均使用日本原裝東芝Aquilion16排32層螺旋CT，患者取仰臥位，頭先進(jìn)的方式進(jìn)入，讓患者雙臂上舉抱頭，掃描參數(shù)常規(guī)平掃為容積掃描，然后5mm肺窗、縱隔窗重建，掃描條件：120KV，自動(dòng)毫安秒技術(shù)，盡量減少輻身劑量。

系統(tǒng)(1)在tn時(shí)刻的離散的整體能量

εn=hEn.

(17)

定理1 格式(11)滿(mǎn)足離散整體能量守恒

εn+1=εn.

(18)

(19)

根據(jù)交換律和離散Leibniz定律

δt(z·y)n=δtzn·Atyn+Atzn·δtyn,

則有

(20)

從式(19)和(20)可以得到

證畢.

2 數(shù)值模擬

定義強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)在tn時(shí)刻的整體誤差能量為

RE(tn)=|εn-ε0|.

(21)

設(shè)強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的初始條件為

(22)

2.1數(shù)值模擬1取r1=r2=1,D0=20,V0=1，Γ=0.

圖1 α1=1.5,α2=1時(shí)|u|的數(shù)值解 圖2 α1=1.5,α2=1時(shí)|u|的數(shù)值解

圖3 α1=1.5,α2=1時(shí)|u|數(shù)值解的整體能量誤差變化

從圖1～2可知,整體保能量格式能夠很好地模擬系統(tǒng)(1)的孤立波的演化行為,數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[1]的結(jié)果一致.圖3表示系統(tǒng)(1)的能量誤差隨時(shí)間的變化,能量誤差很小可忽略不計(jì).因此,保能量格式(11)能夠很好地保持系統(tǒng)的能量守恒特性.

2.2 數(shù)值模擬 2 取r1=r0=1,D0=20,V0=1,α1=1.5,α2=1.

圖4 Γ=0.5時(shí)|u|的數(shù)值解 圖5 Γ=0.5時(shí)|u|的數(shù)值解

圖6 Γ=0.5時(shí)|u|的數(shù)值解的整體能量誤差變化

從圖4～5可知,整體保能量格式(11)能夠很好地模擬系統(tǒng)(1)的孤立波的演化行為.圖6表示方程組(1)的能量誤差隨時(shí)間的變化,能量誤差很小可忽略不計(jì).從圖4～6可知,整體保能量格式同樣能夠有效地模擬系統(tǒng)孤立波的行為且保持系統(tǒng)的離散能量守恒特性.

綜上所述，整體保能量格式(11)能在不同的參數(shù)條件下很好地模擬強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)孤立波的演化行為,并精確地保持系統(tǒng)的離散能量守恒特性.

3 小 結(jié)

首先利用二階平均向量場(chǎng)方法和擬譜方法構(gòu)造了強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的多辛整體保能量格式，然后利用多辛整體保能量守恒格式對(duì)強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，最后數(shù)值結(jié)果表明強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)多辛整體保能量格式可以很好地模擬孤立波的演化行為,還可以精確地保持系統(tǒng)離散能量守恒特性.因此在整體保能量守恒方面,相比已有的經(jīng)典的多辛格式,本文所構(gòu)造的強(qiáng)耦合薛定諤系統(tǒng)的多辛整體保能量格式具有一定的優(yōu)越性.

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GlobalEnergy-PreservingMethodforStronglyCoupledSchr?dingerSystem

Xi Chunxiao, Sun Jianqiang, Yan Jingye

(College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

Based on the second order average vector field method and the Fourier pseudo method, the multi-symplectic global energy-preserving scheme for strongly coupled Schr?dinger system was constructed. And the multi-symplectic global energy-preserving scheme data was used to simulate the evolution behaviors of the system. The results showed that the global energy-preserving scheme can simulate the wave evolution behaviors of strongly coupled Schr?dinger system in a long time and preserve the global energy conservation very well.

multi-symplectic global energy-preserving method; average vector field method; strongly coupled Schr?dinger system

2017-05-29

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11561018)

襲春曉(1994-)，女，山東濟(jì)南人，海南大學(xué)2016級(jí)碩士研究生，研究方向：微分方程的數(shù)值解法，E-mail： 864768487@qq.com

孫建強(qiáng)(1971-)，男，湖南雙峰人，教授，研究方向：微分方程的數(shù)值解法，E-mail：sunjq123@qq.com

1004-1729(2017)04-0310-06

O 241.8

ADOl10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0048