尹麗杰，王燕華，李勝軍

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 海南 ?？?570228)

具大角動(dòng)量的奇異徑向?qū)ΨQ(chēng)擾動(dòng)系統(tǒng)的周期軌道

尹麗杰，王燕華，李勝軍

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院, 海南 海口 570228)

應(yīng)用拓?fù)涠壤碚?，首先研究了Hill方程奇異徑向?qū)ΨQ(chēng)擾動(dòng)系統(tǒng)周期軌道的存在性及軌道的運(yùn)動(dòng)特征，最后得到了在排斥奇異情形下大的角動(dòng)量及大的向徑旋轉(zhuǎn).

周期軌； 奇異徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)； 拓?fù)涠壤碚?/p>

考慮徑向?qū)ΨQ(chēng)系統(tǒng)

(1)

(2)

的非線(xiàn)性奇異徑向?qū)ΨQ(chēng)擾動(dòng). 關(guān)于純量奇異微分方程

正周期解的存在性以及多重性已經(jīng)吸引了諸多學(xué)者的關(guān)注，可以參考文獻(xiàn)[2-5].

由于系統(tǒng)(1)的每個(gè)解x∶I→R2{0}在其最大存在區(qū)間I?R滿(mǎn)足x(t)≠0，把系統(tǒng)(1)的解表示成極坐標(biāo)的形式

x(t)=ρ(t)(cosφ(t),sinφ(t))，

(3)

另一方面，近幾年來(lái)關(guān)于徑向?qū)ΨQ(chēng)開(kāi)普勒型系統(tǒng)

(4)

周期軌道的存在性問(wèn)題，F(xiàn)onda等在文獻(xiàn)[6-11]中進(jìn)行了研究，其中f允許在原點(diǎn)有奇異性. Fonda把系統(tǒng)用向徑和角度來(lái)表示，并把角動(dòng)量作為參數(shù)來(lái)考慮. 如文獻(xiàn)[11]所述，自然界中的許多物理現(xiàn)象可用系統(tǒng)(4)來(lái)描述，例如描述引力場(chǎng)中物體運(yùn)動(dòng)的牛頓方程.

在文獻(xiàn)[6-8]中考慮了如下系統(tǒng)

(5)

其中,c(t),e(t)是T-周期函數(shù)，γ≥1，得到如下定理[8].

定理1假設(shè)γ≥2，c是局部可積的T-周期函數(shù),存在常數(shù)c1，c2使得

則對(duì)任意局部可積的T-周期函數(shù)e, 存在k1≥1,使得任意的正整數(shù)k≥k1, 系統(tǒng)(5)有周期解xk(t), 其最小周期為kT,且在一個(gè)周期里剛好轉(zhuǎn)一圈, 即在極坐標(biāo)意義下滿(mǎn)足φ(t+kT)=φ(t)+2π.

當(dāng)a(t)≡0時(shí),系統(tǒng)(1)即為系統(tǒng)(4), 或者說(shuō), 系統(tǒng)(1)可以寫(xiě)成類(lèi)似于系統(tǒng)(4)的形式

關(guān)于系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(4)的證明有本質(zhì)上的區(qū)別，文獻(xiàn)[6-11]中的結(jié)果不能包含筆者所需結(jié)果，并且既不需要Landesman-Lazer條件，也不需要非共振條件，但在文獻(xiàn)[8-11]中，這些假設(shè)條件是必須的. 另一方面，考慮的是排斥奇異，而文獻(xiàn)[7]處理的是吸引奇異(排斥奇異和吸引奇異有本質(zhì)的不同[1]).

本文結(jié)果敘述如下

定理2假設(shè)Hill方程(2)有正的Green函數(shù)，且滿(mǎn)足以下條件

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)Hill方程滿(mǎn)足以下條件

(6)

的解ρ(t)可以表示為積分形式

當(dāng)假設(shè)條件(G)成立，引入如下記號(hào)

其中，M>m>0，0<σ<1.

相比于系統(tǒng)(4)，系統(tǒng)(1)有一個(gè)優(yōu)勢(shì)，就是可以直接利用等價(jià)系統(tǒng)(3)的Green函數(shù)的性質(zhì)，為了證明本文結(jié)果，需要引理2和引理3，其中引理2是Leray-Schauder全局連續(xù)性原理[12].

(7)

在[μ1,μ2]×?G上無(wú)解，則方程(7)的解包含一條連接{μ1}×G與{μ2}×G的連通分支.

在敘述引理3之前，先介紹相關(guān)的符號(hào)和概念.

給定Banach空間X,Z分別為

degLS(L-M0,Ω)=(-1)mdegB(F,Ω∩Rm,0),

其中，degLS，degB分別表示Leray-Schauder度和Brouwer度.

2 定理2的證明

2.1引理的證明定義截?cái)嗪瘮?shù)fn∶R×R→R，

同時(shí)考慮一族方程

(8)

注意到ρ是方程(8)的T-周期解當(dāng)且僅當(dāng)ρ滿(mǎn)足積分方程

其次，證明μ足夠大時(shí)，方程(8)有T-周期解. 為此，考慮同倫方程

(9)

和

(10)

證明如果ρ是方程(9)的周期解，則ρ滿(mǎn)足

因此，

證畢.

證明用反證法. 設(shè)ρn是方程

(11)

因此，

與μn→+∞矛盾.

證畢.

成立.

證明首先可以選取足夠大的R>0，使得

ρ(t)≥σ‖ρ‖≥σR.

另一方面，由于

即與上面的假設(shè)相矛盾，因此‖ρ‖

其次又由條件(H), 得到

下面將證明，存在常數(shù)L>0，使得

于是，

證畢.

(12)

的解.

證明定義如下算子

L∶dom(L)?C1[0,T]→L1(0,T)，

和

N∶[A,B]×C1[0,T]→L1(0,T)，

容易知道式(12)的第一個(gè)方程等價(jià)于以下算子方程

Lρ=N(μ,ρ)，

由于Hill方程滿(mǎn)足條件(G),L可逆，因此

ρ-L-1N(μ,ρ)=0.

(13)

定義

為了計(jì)算拓?fù)涠?，考慮同倫方程(9)，由引理6和同倫不變性，考慮方程(9)λ=0時(shí)的情況，即方程

等價(jià)于以下系統(tǒng)

其中，Y=(ρ,μ)，以及F(Y)定義為

由a(t)的正性和

可知F有唯一零點(diǎn)，設(shè)為(ρ0,μ0)，且其Jacobian行列式|JF(ρ0,u0)|>0，由引理3，I-L-1N(μ,·)的Leray-Schauder度等于F的Brouwer度，即

結(jié)論得證.

證畢.

將定義函數(shù)Φ:→R為

顯然，Φ是連續(xù)函數(shù)，下面證明Φ的像是一個(gè)區(qū)間.

成立.

證明令(μ,ρ)是的元素且則

將上式兩邊積分，得

另一方面，

于是，

得到

證畢.

Φ(μ,ρ)=θ，

顯然，ρ是T周期的，且式(3)的第一個(gè)方程成立. 定義

則φ(t)滿(mǎn)足式(3)的第二個(gè)方程，且

即結(jié)論成立.

證畢.

因此，(ρ,μ)是系統(tǒng)(3)的解.

x(t+T)=x(t)exp(iθ)，

(14)

綜上可知，定理2得證.

證畢.

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PeriodicOrbitsofSingularRadiallySymmetricSystemswithALargeAngularMomentum

Yin Lijie, Wang Yanhua, Li Shengjun

(College of Information Sciences and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

In the report, the theory of topological degree was used to study the existence of periodic orbits of radically symmetric systems with a repulsive singularity. The periodic orbits rotate around the origin with both large angular and large amplitude was obtained.

periodic orbits; singular radically symmetric systems; topological degree theory

2017-10-10

國(guó)家自然科學(xué)基金(11461016)；海南省自然科學(xué)基金(117005)；海南省高等學(xué)校教育教學(xué)改革研究(Hnjg2017-6)；海南大學(xué)青年基金(hdkyxj201718)

尹麗杰(1993-), 女, 山東德州人,海南大學(xué)2016級(jí)碩士研究生, 研究方向:變分與拓?fù)浞椒?E-mail:18315913978@163.com.

李勝軍(1976-), 男, 湖南婁底人,副教授,博士,研究方向：泛函算子理論研究, E-mail: shjli626@126.com

1004-1729(2017)04-0295-08

O 177

ADOl10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0046