張松山　張崇耀

摘 要：負遷移是影響學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一個阻因，而三角函數(shù)的知識又是高中數(shù)學(xué)的難點之一.因此，有必要對兩者的結(jié)合點進行研究.由遷移、負遷移的概念和分類，闡述了負遷移在任意角三角函數(shù)的教學(xué)中的影響及對策.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；負遷移；數(shù)學(xué)思維；教學(xué)對策

隨著教育改革的深入，從專家學(xué)者到教學(xué)一線的教師，都從教學(xué)理論和教學(xué)實踐等不同層面上加大了對遷移在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，以及遷移規(guī)律在教學(xué)中的應(yīng)用等方面的研究.特別地，在高考數(shù)學(xué)試題中，有相當(dāng)一部分是考察學(xué)生對遷移的運用能力.因此，教師是否具備利用遷移的教學(xué)理念，在教學(xué)過程中能否運用遷移規(guī)律促進學(xué)生的學(xué)習(xí)顯得尤為重要.

1 遷移的概念和分類

遷移是指已獲得的知識、技能甚至方法和態(tài)度對學(xué)習(xí)新知識、新技能的影響.遷移又分正遷移和負遷移.如果影響是具有積極或者促進作用的，稱之為正遷移.如果影響是具有消極或者阻礙作用的，稱之為負遷移.本文主要研究負遷移在三角函數(shù)方面的影響及相對應(yīng)的措施.

2 任意角的三角函數(shù)定義的負遷移

2.1 銳角三角函數(shù)定義的負遷移

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù).銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)是從直角三角形出發(fā)，根據(jù)比值得到三角函數(shù)值.它是解三角形的工具，更加側(cè)重于幾何量的關(guān)系.它強調(diào)的是“從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系.任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實生活中具有周期現(xiàn)象的一類函數(shù).它的對應(yīng)關(guān)系是“數(shù)集到數(shù)集”，應(yīng)用于天文學(xué)和物理學(xué).因此，銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)研究對象有很大的不同，其突出的性質(zhì)也不同.不能單純地認為銳角三角函數(shù)一般化就變成了任意角三角函數(shù)，同樣，也不能簡單的認為任意角三角函數(shù)的角度限定銳角就是銳角三角函數(shù) [1 ].

鑒于銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的差異，在教學(xué)上，把銳角三角函數(shù)的知識遷移到任意角三角函數(shù)必然會產(chǎn)生負遷移.而在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的定義時，如果借由函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，先由數(shù)集（弧度數(shù)）對應(yīng)到坐標(biāo)上點的坐標(biāo)，再由數(shù)集（弧度數(shù)）對應(yīng)到實數(shù)（橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)），這必然會給學(xué)生的理解造成一定的困擾.因此，在任意角三角函數(shù)的定義的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該充分考慮知識間的過渡的合理性和自然性，把不利的因素降到最低.

2.1.1 任意角三角函數(shù)的引入

人教A版 [2 ]以及相應(yīng)的教參給出的引入方式如下：

首先讓學(xué)生“思考”，用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù).其目的是讓學(xué)生回憶銳角函數(shù)的定義，并與象限角有機的結(jié)合得到銳角三角函數(shù)，可以用角的終邊上的點坐標(biāo)比來表示.教師可以作如下鋪墊：

（銳角三角函數(shù)）直角三角形為載體→（銳角三角函數(shù)）象限角為載體→（銳角三角函數(shù)）單位圓上點的坐標(biāo)表示.

這樣引入的好處是能從學(xué)生熟悉的銳角三角函數(shù)來學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)，又可以讓學(xué)生初步體會到用單位圓上的點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)的方便和簡潔，為下一步“單位圓定義法”作好鋪墊。但是，教師要注意到不能認為銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)之間的關(guān)系并非簡單的特殊與一般的關(guān)系。

2.1.2 兩個對應(yīng)關(guān)系

設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），給出兩組對應(yīng)關(guān)系：

正弦：實數(shù)α （弧度）與點P的縱坐標(biāo)對應(yīng)；

余弦：實數(shù)α （弧度）與點P的橫坐標(biāo)對應(yīng)。

清楚地認識這兩組對應(yīng)關(guān)系是理解任意角三角函數(shù)的關(guān)鍵.

2.2 學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時，除了要理解銳角三角函數(shù)的知識外，還必須熟悉函數(shù)的定義和準(zhǔn)確地理解弧度制.梁志芳 [3 ]在《學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的調(diào)查研究》提到“學(xué)生對三角函數(shù)的“函數(shù)性質(zhì)”理解不夠，不知道三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值是什么，經(jīng)常將函數(shù)值和自變量弄錯”.王冬巖 [4 ]在《高中生對三角函數(shù)概念的理解》中認為：學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時的確存在困難，如果不能理解弧度制，則在三角函數(shù)的定義域、值域、圖像等方面都會出現(xiàn)很多問題.

由上面的分析，學(xué)生在學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)時應(yīng)注意以下三個問題：一是學(xué)生的基礎(chǔ)（任意角的弧度制、函數(shù)的概念）；二是注意概念的生成過程；三是體現(xiàn)三角函數(shù)的性質(zhì)（比如周期性）.

3 三角函數(shù)的負遷移實例

3.1 認知和技能方面的負遷移

學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí)都是建立在舊的知識（認知或技能）的基礎(chǔ)上的，往往是對舊知識的補充（或擴充）。比如：學(xué)生先學(xué)自然數(shù)，再學(xué)整數(shù)，接著學(xué)習(xí)了有理數(shù)，然后是實數(shù)，最后是復(fù)數(shù).可以說，舊知識往往對新知識的學(xué)習(xí)起了促進的作用，具有積極的一面，然而事情總是有兩面性的.在一些數(shù)學(xué)的知識體系中，舊知識也能干擾或誤導(dǎo)學(xué)生對新知識的學(xué)習(xí).比如：學(xué)生學(xué)了乘法分配率（a（b+c）=ab+ac），會導(dǎo)致學(xué)生犯這樣的錯誤，sin（A+B）=sinA+sinB.這是學(xué)生在新舊知識點的結(jié)合處比較容易犯的錯誤.

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在求解函數(shù)y=（4-cosx）（1+cosx）的最大值時，有的學(xué)生是這樣做的，先將函數(shù)化簡為y=-cos2x+3cosx+4，再令t=cosx，從而得到y(tǒng)=-t2+3t+4.利用二次函數(shù)的性質(zhì)，在t=時，函數(shù)取到最大值.顯然，學(xué)生的認知水平還停留在二次函數(shù)的性質(zhì)上，沒有考慮到余弦函數(shù)的有界性，從而導(dǎo)致錯誤的產(chǎn)生.

3.2 思維定勢的負遷移

思維定勢，又稱“慣性思維”，是指人們在處理問題時，習(xí)慣地按照固有的模式或方法對問題進行分析和思考.它具有二重性.它積極的一面：人們在處理類似的而且變化不大的問題時，能夠較快的解決。它消極的一面：當(dāng)面對看起來類似但本質(zhì)上有所不同的問題時，思維定勢會束縛一個人的思維，從而導(dǎo)致問題的復(fù)雜化甚至可能得到錯誤的答案.

負遷移的因素和分類多種多樣，很多學(xué)者和教師進行了大量的研究.那么如何克服學(xué)生的負遷移呢？教師應(yīng)該如何做？教師可以運用教育學(xué)的普遍性，根據(jù)學(xué)生的認知階段、認知規(guī)律，采用符合學(xué)生的思維特點的教學(xué)策略.教師在教學(xué)的過程可以注意以下幾點：第一、教師應(yīng)該加強對比教學(xué)；第二、教師應(yīng)該加強探究教學(xué)；第三、教師應(yīng)該加強習(xí)題教學(xué) [5 ].當(dāng)然，在平時的教學(xué)中，教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生為主體，給學(xué)生充分動手、動腦的時間，在探究中學(xué)習(xí).

參考文獻：

[1]章建躍.為什么用單位圓上的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報，2007（1）： 15-18.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[3]梁志芳.學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的調(diào)查研究[D].石家莊：河北師范大學(xué)，2011.

[4]王冬巖.高中生對三角函數(shù)概念的理解[D].上海：華東師范大學(xué)，2010：15-16.

[5]洪秀滿，祝敏芝.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中負遷移現(xiàn)象研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（6）：6-11.