張鵬飛，付瑋，蘇華昌，吳家駒

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基于隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的結(jié)構(gòu)非線性參數(shù)識(shí)別

張鵬飛，付瑋，蘇華昌，吳家駒

（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所，北京 100076）

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出典型的量級(jí)非線性特征，非線性剛度的研究是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析的基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)使用環(huán)境多數(shù)存在隨機(jī)振動(dòng)載荷，在更接近真實(shí)使用環(huán)境下對(duì)非線性參數(shù)的識(shí)別結(jié)果更加適用。文章提出了基于隨機(jī)減量法和連續(xù)小波變換的非線性參數(shù)識(shí)別方法，設(shè)計(jì)了基于隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的非線性剛度識(shí)別程序；通過(guò)立方剛度單自由度非線性系統(tǒng)算例，驗(yàn)證了識(shí)別方法和程序；并通過(guò)試驗(yàn)研究了典型復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的量級(jí)非線性特征。結(jié)果表明，基于隨機(jī)減量法和連續(xù)小波變換的非線性參數(shù)識(shí)別方法具有較好的識(shí)別精度，多自由度系統(tǒng)不同諧振階次的非線性特性存在差別。研究結(jié)論對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)非線性參數(shù)識(shí)別和建模具有一定的參考價(jià)值。

非線性剛度；隨機(jī)減量法；連續(xù)小波變換；計(jì)算分析；試驗(yàn)驗(yàn)證

0 引言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析與試驗(yàn)相關(guān)性研究的目的是要通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果修正數(shù)學(xué)模型，然后用修正后的數(shù)學(xué)模型計(jì)算復(fù)雜振動(dòng)載荷下的響應(yīng)。這對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)困難不大。然而，航天器結(jié)構(gòu)實(shí)際上呈現(xiàn)出某種程度的非線性品質(zhì)[1-2]。非線性可能起因于結(jié)構(gòu)（連接處的松動(dòng)和摩擦）、材料性質(zhì)（阻尼、剛度）及某些部件（減振器、飛船支撐機(jī)構(gòu)）等[3]。但目前可用的多數(shù)分析過(guò)程都是基于線性理論的，如將其直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的分析，則可能引入較大的誤差。因此，通過(guò)試驗(yàn)識(shí)別結(jié)構(gòu)非線性特征是一個(gè)需要解決的問(wèn)題。

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，可以通過(guò)觀測(cè)不同激勵(lì)水平作用下系統(tǒng)的共振頻率及峰值的變化來(lái)判斷系統(tǒng)是否具有非線性因素。圖1是某結(jié)構(gòu)件振動(dòng)傳遞特性隨振動(dòng)量級(jí)變化的實(shí)測(cè)曲線，其振動(dòng)傳遞率隨激勵(lì)量級(jí)的變化很大，系統(tǒng)的增益和諧振頻率隨激勵(lì)量級(jí)下降，這表明系統(tǒng)呈現(xiàn)出含有漸軟剛度的非線性特征。對(duì)于剛度非線性系統(tǒng)，剛度將隨振動(dòng)頻率和幅值變化，線性系統(tǒng)對(duì)剛度的識(shí)別方法不再適用。

圖1 振動(dòng)傳遞率量級(jí)非線性

目前對(duì)于結(jié)構(gòu)非線性剛度的識(shí)別，多是基于靜剛度或正弦定頻試驗(yàn)的剛度曲線，使用最小二乘法進(jìn)行擬合[4-5]；或者基于沖擊響應(yīng)，使用瞬態(tài)信號(hào)分析方法進(jìn)行識(shí)別[6]。然而結(jié)構(gòu)使用環(huán)境多數(shù)存在隨機(jī)振動(dòng)載荷，因此在更接近真實(shí)環(huán)境下的非線性參數(shù)識(shí)別結(jié)果更加適用，而且可以將隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果直接應(yīng)用于結(jié)構(gòu)非線性參數(shù)識(shí)別。

本文基于非線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，研究非線性剛度識(shí)別方法。首先研究隨機(jī)減量法在非線性系統(tǒng)中的適用性，在此基礎(chǔ)上提出基于隨機(jī)減量法和連續(xù)小波變換的非線性剛度識(shí)別方法；然后設(shè)計(jì)單自由度算例對(duì)該方法進(jìn)行驗(yàn)證；最后用典型復(fù)合材料板試件的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行多自由度系統(tǒng)的非線性參數(shù)識(shí)別，討論不同階諧振頻率對(duì)應(yīng)的非線性特性之間的差別。

1 基于隨機(jī)減量法和連續(xù)小波變換的結(jié)構(gòu)非線性特性識(shí)別方法

1.1 隨機(jī)減量法

隨機(jī)減量法是在結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)中提取出該結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)響應(yīng)的一種處理方法。該方法主要是利用平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中振動(dòng)信號(hào)均值為0的性質(zhì)，辨別其中的確定性振動(dòng)信號(hào)和隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)，將確定性振動(dòng)信號(hào)中從中分離出來(lái)[7-8]。

在任意激勵(lì)作用下，單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng)響應(yīng)表示為

取一固定的振幅去截?cái)嚯S機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，得到一系列不同的交點(diǎn)時(shí)刻，對(duì)于從t時(shí)刻開(kāi)始的響應(yīng)(-t)可以看作3部分響應(yīng)的線性疊加：第一部分為t時(shí)刻初始位移引起的自由振動(dòng)響應(yīng)；第二部分為t時(shí)刻初始速度引起的自由振動(dòng)響應(yīng)；第三部分為從t時(shí)刻開(kāi)始的外部激勵(lì)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。即：

將各子樣的起始時(shí)刻移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即t=0，可以得到

對(duì)()取數(shù)學(xué)期望得到

[()]=()。 (5)

上式表明，子樣x()的期望是初始位移為、初始速度為0的自由振動(dòng)響應(yīng)。實(shí)際測(cè)量時(shí)，因樣本長(zhǎng)度有限，數(shù)學(xué)期望以隨機(jī)減量特征函數(shù)()代替，

上述分析表明，一個(gè)受平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的系統(tǒng)，它的響應(yīng)經(jīng)過(guò)多段平均，隨機(jī)響應(yīng)的平均結(jié)果為0，剩下確定性響應(yīng)。最后得到的隨機(jī)減量特征便是與外載荷無(wú)關(guān)的自由衰減響應(yīng)。

1.2 隨機(jī)減量法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用

隨機(jī)減量法在線性系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用，但缺少在非線性系統(tǒng)中應(yīng)用的研究和案例。下面設(shè)計(jì)典型的剛度非線性模型，用數(shù)值計(jì)算的方法驗(yàn)證隨機(jī)減量法在非線性系統(tǒng)中的適用性。

考慮三次剛度（立方剛度）的非線性，這種情況下，力-位移關(guān)系具有以下形式：

s()=+33。 (7)

其中：s為減振器的彈性力；為減振器位移；、3為減振器自身特性確定的常數(shù)。對(duì)于一般機(jī)械結(jié)構(gòu)，3＜0，剛度隨位移的增加而逐漸減小，也稱為具有軟特性。具有立方剛度的單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為

其中，和分別為單自由度系統(tǒng)的質(zhì)量和阻尼。使用龍格-庫(kù)塔數(shù)字積分方法求解上述運(yùn)動(dòng)微分方程的數(shù)值解。在MATLAB中生成3組不同大小方均根值的高斯隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)作為力輸入，求解對(duì)應(yīng)的響應(yīng)。對(duì)于每一組隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，分別使用隨機(jī)減量法求解自由衰減曲線，其中參考值選為隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)的方均根值。同時(shí)，按照隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)的方均根值作為微分方程的初值，計(jì)算非線性系統(tǒng)在階躍信號(hào)下的自由衰減曲線。將兩種方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖2所示是3種不同的初始量級(jí)下，隨機(jī)減量法和直接積分計(jì)算得到的單自由度非線性系統(tǒng)自由衰減響應(yīng)。對(duì)比可見(jiàn)，隨機(jī)減量法計(jì)算結(jié)果在開(kāi)始的幾個(gè)周期內(nèi)和直接積分的結(jié)果一致性很好，但隨著時(shí)間增加，隨機(jī)減量法的偏差逐漸增大。表1給出了初始位移0.0170m情況下，前5個(gè)周期內(nèi)幅值和頻率的計(jì)算對(duì)比結(jié)果，相對(duì)偏差均在5%之內(nèi)。

計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于考慮剛度非線性的單自由度系統(tǒng)，隨機(jī)減量法計(jì)算得到的自由衰減曲線在靠前的幾個(gè)周期內(nèi)具有較高的精度。

表1 隨機(jī)減量法與直接積分結(jié)果對(duì)比

1.3 小波變換在非線性參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用

小波尺度譜可定義為

在某一時(shí)刻小波系數(shù)的最大值滿足

當(dāng)取不同的值，所有的最大值點(diǎn)的集合形成了小波脊線。通過(guò)求出時(shí)頻面上每一時(shí)刻小波系數(shù)模極大值，來(lái)獲得信號(hào)中各分量對(duì)應(yīng)的小波脊線，進(jìn)而獲得不同頻率信號(hào)分量的時(shí)頻特性。

1.4 隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境中結(jié)構(gòu)非線性特性識(shí)別方法

隨機(jī)減量法與小波變換的結(jié)合在結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別中有過(guò)成功的應(yīng)用。Lardies等采用隨機(jī)減量法將一個(gè)多自由度系統(tǒng)的環(huán)境激勵(lì)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為脈沖激勵(lì)響應(yīng)，然后利用小波變換估算了系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比[10]。在非線性系統(tǒng)中，正如1.2節(jié)的討論，隨機(jī)減量法計(jì)算得到的自由衰減曲線只有在靠前的幾個(gè)周期內(nèi)具有較高的精度。利用這一特性，提出了一種細(xì)分隨機(jī)減量參考值的數(shù)據(jù)分析方法。

對(duì)于單自由度系統(tǒng)，非線性特性分析方法如下：1）利用隨機(jī)減量法，在隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中提取出給定幅值下的自由衰減信號(hào)；2）隨機(jī)減量法的參考幅值選為隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)的方均根值，即ref(1)=RMS()，為隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)；3）改變參考幅值，例如選取20個(gè)參考幅值，ref()=ref(1)×(1-× 0.02)，=1,2,…,20；4）對(duì)應(yīng)不同參考幅值下計(jì)算得到的自由衰減曲線，分別進(jìn)行連續(xù)小波變換，使用Motlet連續(xù)小波作為小波基；5）分別選取不同參考幅值下小波脊線的起始部分，將對(duì)應(yīng)的頻率求平均，作為該參考幅值下結(jié)構(gòu)的諧振頻率；6）將不同參考幅值對(duì)應(yīng)的頻率進(jìn)行綜合，得到頻率-幅值曲線，按照該曲線分析結(jié)構(gòu)的非線性特性。

實(shí)際結(jié)構(gòu)一般都是多自由度系統(tǒng)，對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境中的多自由度系統(tǒng)，非線性特性分析方法如下：1）利用隨機(jī)減量法，在隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)中提取出給定幅值下的自由衰減信號(hào)，該信號(hào)包含結(jié)構(gòu)的多個(gè)頻率成分；2）對(duì)自由衰減信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波分析，識(shí)別出結(jié)構(gòu)的主要頻率成分，并提取出不同頻率對(duì)應(yīng)的小波脊線幅值；3）對(duì)應(yīng)某一階頻率，按照前述單自由度的分析方法，改變隨機(jī)減量法的參考幅值，得到該階頻率對(duì)應(yīng)的頻率-幅值曲線。

2 數(shù)值算例

具有立方剛度的單自由度系統(tǒng)自由衰減微分方程為

取阻尼比=0.02，諧振頻率=20Hz，非線性剛度3/=-64。在MATLAB中生成一組高斯隨機(jī)信號(hào)作為輸入信號(hào)，使用龍格-庫(kù)塔方法求解微分方程，得到單自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)()。

以計(jì)算得到的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)()為基礎(chǔ)，利用隨機(jī)減量法，計(jì)算給定幅值下的自由衰減信號(hào)。隨機(jī)減量法的參考幅值ref(1)選為隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)的方均根值，即ref(1)=RMS[()]，共選取20個(gè)參考幅值，ref()=ref(1)×(1-×0.03)，=1,2,…,20。

對(duì)不同參考幅值下計(jì)算得到的自由衰減曲線進(jìn)行連續(xù)小波變換。分別選取不同參考幅值下小波脊線的起始部分，將對(duì)應(yīng)的頻率求平均，作為該參考幅值下結(jié)構(gòu)的諧振頻率。將不同參考幅值對(duì)應(yīng)的頻率進(jìn)行綜合，得到頻率-幅值曲線如圖3所示。

圖3 單自由度系統(tǒng)頻率-幅值曲線

對(duì)于立方剛度非線性系統(tǒng)，頻率和振動(dòng)幅值間存在如下關(guān)系[11]：

根據(jù)式(13)和圖3，擬合求解得到3/=-73。與實(shí)際值-64相比，相對(duì)偏差為14.06%。

3 實(shí)例分析

以某異形復(fù)合材料板為例，進(jìn)一步驗(yàn)證隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境中結(jié)構(gòu)非線性特性分析的方法。

異形板隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)采用多臺(tái)并激的方法施加振動(dòng)。4個(gè)200kg推力振動(dòng)臺(tái)布置在異形板的方向，臺(tái)面向上。振動(dòng)臺(tái)通過(guò)激振桿與激振塊連接，激振塊螺接在振動(dòng)工裝上。振動(dòng)控制點(diǎn)位于激振桿與振動(dòng)工裝連接點(diǎn)附近，每個(gè)振動(dòng)臺(tái)對(duì)應(yīng)1個(gè)控制點(diǎn)。試驗(yàn)采用加速度響應(yīng)控制的方法，對(duì)4個(gè)振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行譜矩陣控制。加載環(huán)境為向平動(dòng)，4個(gè)振動(dòng)臺(tái)相干系數(shù)設(shè)置為1，相位設(shè)置為0。圖4為異形板隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)示意圖。

圖4 梯形復(fù)合材料板x方向振動(dòng)試驗(yàn)示意

以布置在異形板中部的加速度測(cè)點(diǎn)為例進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。圖5是隨機(jī)振動(dòng)加載譜形，在20～300Hz之間基本是平直譜形，加載高斯平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)。圖6是異形板上加速度測(cè)點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)。

對(duì)圖6中的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)減量計(jì)算，用該信號(hào)的方均根值作為起始幅值，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行截取、疊加、平均，疊加的樣本數(shù)約為1000，時(shí)間長(zhǎng)0.2s。疊加后的自由衰減信號(hào)見(jiàn)圖7。對(duì)該段自由衰減信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換，得到的頻譜等高線見(jiàn)圖8。圖8中的2條脊線展示了信號(hào)中2個(gè)主要頻率成分隨時(shí)間的變化，這2個(gè)主要頻率在48Hz附近和146Hz附近。

圖7 隨機(jī)減量計(jì)算后的自由衰減信號(hào)

圖8 自由衰減信號(hào)的功率譜等高線

在自由衰減信號(hào)連續(xù)小波變換的基礎(chǔ)上，提取48Hz和146Hz附近的脊線，畫出頻率-時(shí)間曲線和幅值-時(shí)間曲線，見(jiàn)圖9。

圖9 振動(dòng)頻率和幅值隨時(shí)間的變化

按照前述研究結(jié)論，時(shí)間初始階段的頻率和幅值識(shí)別具有更高的精度。共選取25個(gè)不同大小的參考幅值去截隨機(jī)響應(yīng)信號(hào)，得到不同幅值下的自由衰減信號(hào)；對(duì)不同的衰減信號(hào)進(jìn)行小波變換，得到相應(yīng)的兩條脊線；提取每條脊線的初始部分進(jìn)行平均，得到頻率-幅值對(duì)應(yīng)關(guān)系；將不同幅值對(duì)應(yīng)的頻率連續(xù)畫出，得到圖10所示的頻率-幅值曲線。

圖10反映了復(fù)合材料板的兩階主要頻率的非線性特性：一階頻率隨振動(dòng)幅值的增加而提高，呈現(xiàn)剛度漸強(qiáng)非線性特性；二階頻率隨振動(dòng)幅值的增加而降低，呈剛度漸弱非線性特性。分別用式(13)擬合計(jì)算兩階頻率對(duì)應(yīng)的非線性剛度系數(shù)，(3/)1=4.21×107，(3/)2=-1.06×108。

圖10 頻率隨振動(dòng)幅值變化

4 結(jié)論

1）本文分析了隨機(jī)減量法在非線性系統(tǒng)中的適用性。計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于考慮剛度非線性的單自由度系統(tǒng)，隨機(jī)減量法計(jì)算得到的自由衰減曲線在靠前的幾個(gè)周期內(nèi)具有較好的精度，算例前5個(gè)周期內(nèi)幅值和頻率計(jì)算誤差在5%之內(nèi)。

2）本文提出了隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)下，基于隨機(jī)減量法和連續(xù)小波變換的結(jié)構(gòu)非線性特性分析方法，并用三次剛度單自由度非線性系統(tǒng)算例進(jìn)行了驗(yàn)證。計(jì)算結(jié)果表明，分析方法具有一定的精度，對(duì)3次剛度3識(shí)別結(jié)果的偏差小于15%。

3）提出了多自由度結(jié)構(gòu)的非線性特性分析方法，并設(shè)計(jì)試驗(yàn)進(jìn)行了典型試驗(yàn)件的非線性特性分析。提取了復(fù)合材料板前2階諧振頻率對(duì)應(yīng)的頻率-幅值關(guān)系，分析了其對(duì)應(yīng)的非線性特性差別。研究結(jié)果展示了隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下剛度非線性導(dǎo)致的多自由度系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)雜性，對(duì)于結(jié)構(gòu)非線性特征識(shí)別和建模具有參考價(jià)值。

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（編輯：許京媛）

Identification of nonlinear parameters of structure based onrandom vibration response

ZHANG Pengfei, FU Wei, SU Huachang, WU Jiaju

(Beijing Institute of Structure and Environment Engineering, Beijing100076, China)

The composite material has typical nonlinear characteristics. Its nonlinear stiffness is very important for the system design and analysis. The random vibration is ubiquitous in the environment, and the identification of nonlinear parameters in the practical environment gives more reasonable results. A method of identification of nonlinear parameters based on the random decrement method and the continuous wavelet transform is presented. And a program of identifying the nonlinear stiffness based on the random vibration response is developed. A numerical example of a single freedom nonlinear system with cube stiffness is given to validate the method and the program. The nonlinear characteristics of the typical composite material structure are studied. It is shown that the method of identification of nonlinear parameters enjoys a high precision, and different resonant order of a multi freedom system has different nonlinear characteristics. The present method is useful for the nonlinear parameter identifying and modeling in a random vibration environment.

nonlinear stiffness; random decrement method; continuous wavelet transformation; simulation analysis; test validation

O235; O324

A

1673-1379(2017)06-0604-07

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.06.006

張鵬飛（1986—），男，碩士學(xué)位，高級(jí)工程師，主要從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)與研究。E-mail: 350937943@qq.com。

2017-06-01；

2017-11-29