李太平，翁海寬，江浩，洪巖，齊曉軍

?

預(yù)緊力對系統(tǒng)頻率漂移的影響

李太平1,2，翁海寬1,2，江浩1,2，洪巖1，齊曉軍1,2

（1. 上海衛(wèi)星裝備研究所；2. 上海裕達(dá)實業(yè)有限公司：上海 200240）

文章采用Harmonic的譜估計方法，研究了系統(tǒng)不同構(gòu)件之間通過螺釘連接時，預(yù)緊力對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。在預(yù)緊力相同的情況下，不同量級的外界激勵，會造成系統(tǒng)表現(xiàn)出不同的頻率響應(yīng)特性，呈現(xiàn)非線性時不變特性；大量級的外界激勵會造成系統(tǒng)預(yù)緊力“失效”，剛度降低，導(dǎo)致系統(tǒng)的固有頻率降低，產(chǎn)生頻率漂移，在共振處放大倍數(shù)降低。

預(yù)緊力；頻率漂移；共振；非線性；Harmonic譜估計方法；仿真分析；試驗驗證

0 引言

結(jié)構(gòu)的固有頻率設(shè)計對結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的可靠性具有重要意義。實際工作環(huán)境中，外界環(huán)境的變化會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的固有頻率發(fā)生漂移，從而使系統(tǒng)的傳遞特性發(fā)生變化。如力學(xué)試驗中，滿量級振動試驗的結(jié)構(gòu)固有頻率往往低于預(yù)振試驗中的固有頻率。這就導(dǎo)致了滿量級控制出現(xiàn)超差以及傳遞函數(shù)改變等。國內(nèi)外對此開展了大量的研究，Woon等人[1]對結(jié)構(gòu)的頻率漂移情況進(jìn)行了大量的研究，但主要研究對象為工作溫度對系統(tǒng)頻漂的影響。Michel等[2]在實驗中檢測到了非常小的頻率漂移，并且演示了這種頻率漂移可能是由于激勵的變化引起的，同時，他們認(rèn)為這種頻率漂移不可能是由于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生了變化。薛宏偉等[3]對大量的頻率漂移現(xiàn)象和可能的原因進(jìn)行了綜合分析。衛(wèi)洪濤等人[4-6]也在此方面做了大量的研究，采用了帶間隙連接結(jié)構(gòu)模型和螺栓連接結(jié)構(gòu)的Iwan模型。Chowdhury等[7]研究了材料不同的結(jié)構(gòu)阻尼比造成系統(tǒng)的頻率漂移。

以上的研究雖然在一定程度上解釋了系統(tǒng)的頻漂，但是也存在一定的不足：Woon等的研究無法解釋常溫下力學(xué)試驗中存在的頻率漂移，而Michel以及Chowdhury的理論都無法解釋實際力學(xué)試驗中存在的較大幅度的頻漂以及半功率帶寬不變的現(xiàn)象。衛(wèi)洪濤的方法并沒有研究預(yù)緊力對系統(tǒng)傳函的影響，且由于其采用多點定頻取最大值的方法，獲得的為幅值譜而不是相位譜，與工程實際存在一定的偏差。

為了研究預(yù)緊力對系統(tǒng)頻率特性的影響，本文通過對數(shù)掃頻[8-9]獲得了一定量級激勵下系統(tǒng)的時域響應(yīng)，進(jìn)而通過Harmonic譜估計方法，估計系統(tǒng)的傳函。以帶間隙的兩自由度振動系統(tǒng)為例，對比小量級和滿量級掃頻實驗下傳遞函數(shù)的差異，以及加速度傳遞函數(shù)與位移傳遞函數(shù)的關(guān)系。最后通過某衛(wèi)星力學(xué)試驗進(jìn)行驗證。

1 對數(shù)掃頻

力學(xué)試驗中，一般采用掃頻的方法，獲得系統(tǒng)在特定激勵下的時域響應(yīng)，進(jìn)而通過特定的譜估計方法得到系統(tǒng)的傳函。本文采用常用的對數(shù)掃頻方法獲得系統(tǒng)的時域響應(yīng)，系統(tǒng)在每個頻點處掃過的弧度一致，與頻率無關(guān)。對數(shù)掃頻過程中頻率隨時間改變，

因此，系統(tǒng)在時刻的頻率為

定頻試驗（即=0）時，式(1)變?yōu)?/p>

2 譜估計方法

通過對數(shù)掃頻的方法得到系統(tǒng)的時域響應(yīng)后，需要通過一定的譜估計方法獲得系統(tǒng)的傳函。常用的譜估計方法有Harmonic、Peak、RMS和Average等4種。其中，Harmonic譜估計方法也被稱為Filter譜估計方法。

一般來說，這4種估計方法中，Harmonic譜估計方法的抗干擾能力最強(qiáng)，RMS和Average次之，Peak較弱；同時，Harmonic在估計出幅值譜的情況下，也能夠估計出相位譜，而其他3種方法均不能估計出相位譜。因此，本文選擇使用Harmonic譜估計方法。

在時間序列=0,1, …,t內(nèi)，在激勵的作用下，采集到的時域響應(yīng)序列為=[(1),(2), …,(n)]。該時間段內(nèi)，任意時刻的時域響應(yīng)都可以寫為y=sin(ωt+)，展開為y=sincos(ωt)+cos× sin(ωt)，對所有時間序列展開后，可得：

式(5)可寫成矩陣的形式

=cs。

由于微服務(wù)很難切得干凈,除了向外部提供以外，微服務(wù)之間難免會出現(xiàn)少量的調(diào)用關(guān)系，可將每次調(diào)用產(chǎn)生的相關(guān)信息寫入追蹤中心，通過追蹤中心提供的圖形化界面查看服務(wù)之間的調(diào)用軌跡和產(chǎn)生的調(diào)用延時，從而分析出服務(wù)調(diào)用產(chǎn)生的性能瓶頸。

的值最小化。這需滿足

因此，cs的最小二乘估計為

獲得cs的最小二乘估計后，將()寫成()=sin(+)的形式，則相位為

該相位即對應(yīng)于傳遞函數(shù)中的相位譜。

3 帶間隙的兩自由度振動系統(tǒng)

為了研究預(yù)緊力對系統(tǒng)頻率漂移的影響，本文以通過螺釘連接的兩自由度振動系統(tǒng)（如圖1所示）為例進(jìn)行了仿真研究。

1、2分別為m1、m2的位移，g為基座m0連接面的位移；2、2分別為m1、m2之間的彈簧阻尼系數(shù)；m1和m0之間通過螺釘J1、J2連接，在預(yù)緊力的作用下，m0產(chǎn)生了靜變形。因此，m1與m0之間的剛度為

其中：1c表示m1與m0之間的螺釘?shù)倪B接剛度；1v表示基座在預(yù)緊力作用下產(chǎn)生靜變形對系統(tǒng)產(chǎn)生的附加剛度。

同時，在m1與m0之間存在一個固定的阻尼系數(shù)1。m0對m1存在一個位移擾動g，因此，整個系統(tǒng)的動力學(xué)方程可寫為

按照傳統(tǒng)的線性理論，若、、均為常值，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為(2++)-1。但是由式(10)可得：系統(tǒng)的剛度矩陣會隨著m0和m1之間的位移發(fā)生變化，同時不顯含時間，因此該系統(tǒng)為非線性時不變系統(tǒng)，不存在確定的傳遞函數(shù)。

4 仿真分析

對整個系統(tǒng)進(jìn)行掃頻試驗，起始頻率為5Hz，終止頻率為100Hz，掃頻速率為2oct/min，譜線數(shù)400。對系統(tǒng)作正則化處理：1c=2.45×104；1v=1× 104；2=8883；2=9.4248；1=15.708；=-3。取值為負(fù)，表示系統(tǒng)有預(yù)緊力存在，間隙為負(fù)值。采用MATLAB/SimuLink仿真，如圖2所示。其中，SubSytem即代表整個非線性時不變系統(tǒng)，k1即為式(10)中的1。通過Fcn模塊產(chǎn)生一個激勵施加在g上。當(dāng)Fcn模塊輸出位移激勵時，直接作用在g上；當(dāng)Fcn模塊輸出加速度激勵時，通過2次積分轉(zhuǎn)換為位移后，再作用在g上。

4.1 預(yù)試驗

進(jìn)行預(yù)試驗時，由于試驗量級較低，式(10)中的1始終為1c+1v，系統(tǒng)表現(xiàn)為線性，整個系統(tǒng)存在傳遞函數(shù)。此時，通過小量級掃頻或者寬頻帶的隨機(jī)振動試驗獲得的傳遞函數(shù)是一致的。預(yù)試驗時式(1)中的Amp取值為0.1。圖3為預(yù)試驗過程中g(shù)、1、2的時域響應(yīng)，從圖中可以明顯看出：小量級振動試驗過程中，相鄰周期的幅值連續(xù)可導(dǎo)。

圖4為預(yù)試驗輸入譜，其中上圖為幅值譜，下圖為相位譜。在整個頻帶內(nèi)，輸入譜幅值均為0.1，相位均為0。

4.2 滿量級試驗

進(jìn)行滿量級試驗時，試驗量級較高，剛度為1v的彈簧在大位移時處于自由狀態(tài)，因此系統(tǒng)表現(xiàn)出非線性，整個系統(tǒng)實際上不存在確定的傳遞函數(shù)。此時，通過大量級掃頻或者寬頻帶的隨機(jī)振動試驗獲得的傳遞函數(shù)都是不一致的，甚至可能同一功率譜密度的隨機(jī)振動試驗獲得的傳遞函數(shù)也是不一致的。滿量級振動試驗中，式(1)中的Amp取值為1。

圖5為滿量級振動試驗過程中g(shù)、1、2的時域響應(yīng)。由圖可得：滿量級振動試驗過程中，各點的相鄰周期響應(yīng)的幅值連續(xù)，但并非連續(xù)可導(dǎo)，在40s之后，出現(xiàn)了明顯的尖點。圖6為滿量級振動試驗過程中的輸入譜，全頻段幅值為1。

4.3 傳遞函數(shù)對比

圖7為m1預(yù)試驗和滿量級試驗中傳遞函數(shù)的對比，可以看出，在滿量級振動試驗過程中，系統(tǒng)剛度降低導(dǎo)致頻率前移，共振區(qū)域放大倍數(shù)降低。m2表現(xiàn)出的頻率漂移特性與m1類似（見圖8）。m1位移傳遞函數(shù)頻率漂移的特性如表1所示。

表1 m1位移傳遞函數(shù)頻率漂移

圖9為m2傳遞函數(shù)對比圖一階頻率處的局部放大，在13.47Hz處，預(yù)振試驗中系統(tǒng)的傳遞函數(shù)呈現(xiàn)光滑下降的趨勢；但是，滿量級振動試驗過程中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)呈現(xiàn)向上跳變。這與真實的力學(xué)試驗過程中出現(xiàn)的情況一致。圖10為m2傳遞函數(shù)對比圖二階頻率處的局部放大，可以看出，在二階頻率處，也發(fā)生了明顯的頻率漂移，且漂移幅度遠(yuǎn)大于第一階固有頻率處的漂移量。

4.4 加速度與位移的傳遞函數(shù)

對于線性系統(tǒng)而言，式(11)中的、、均為常數(shù)，對其進(jìn)行Laplace變換可得：

對于線性連續(xù)系統(tǒng)，進(jìn)行Laplace變換可得：

因此，在線性系統(tǒng)內(nèi)，加速度傳遞函數(shù)與位移傳遞函數(shù)等效。但是對于存在間隙的系統(tǒng)，由于其為非線性時不變系統(tǒng)，所以不存在真正意義上的傳遞函數(shù)。通過譜估計的方法獲得的“傳遞函數(shù)”，其加速度和位移的“傳遞函數(shù)”并不等效。圖11、圖12所示為m1、m2的加速度與位移的“傳遞函數(shù)”，可以明顯看出，在共振區(qū)域，加速度和位移的“傳遞函數(shù)”并不等效。而在共振區(qū)域外，由于系統(tǒng)的間隙并沒有起作用，系統(tǒng)呈線性，加速度傳遞函數(shù)與位移傳遞函數(shù)之間關(guān)系滿足式(13)，所以加速度傳遞函數(shù)與位移傳遞函數(shù)等效。

5 試驗驗證

在某衛(wèi)星的力學(xué)試驗過程中，首先進(jìn)行了小量級的掃頻試驗，之后在完成大量級的掃頻試驗后，又進(jìn)行了小量級的掃頻試驗，整個試驗過程的傳遞函數(shù)如圖13所示，在10～20Hz、35～45Hz、52～64Hz處的局部放大分別如圖14～圖16所示。

圖15 傳遞函數(shù)對比在35～45Hz處的局部放大

Fig. 15 Magnification of testing TFs at 35-45Hz

圖16 傳遞函數(shù)對比在52～64Hz處的局部放大

Fig. 16 Magnification of testing TFs at 52-64 Hz

三次試驗的前三階頻率對比如表2所示：小量級的預(yù)振和復(fù)振試驗基本沒有發(fā)生明顯的變化，而大量級振動試驗過程中，頻率和幅值均發(fā)生了明顯的變化，頻率前移，幅值降低，表明了式(10)的正確性。

表2 三次試驗傳遞函數(shù)頻率漂移

6 結(jié)束語

系統(tǒng)不同構(gòu)件之間通過螺釘?shù)染o固件連接，連接螺釘上預(yù)緊力的大小會直接影響系統(tǒng)在不同外界激勵作用下的動態(tài)剛度，使系統(tǒng)的動態(tài)特性呈現(xiàn)非線性時不變特性，造成系統(tǒng)在大量級激勵下的動態(tài)剛度降低，固有頻率漂移等；同時，使系統(tǒng)的傳遞函數(shù)呈現(xiàn)不連續(xù)可導(dǎo)的情況，與實際的力學(xué)試驗中掃頻結(jié)果一致。工程實踐中，對于存在預(yù)緊力的系統(tǒng)，在設(shè)計結(jié)構(gòu)固有頻率和研究傳遞特性時，應(yīng)充分考慮系統(tǒng)的實際工作環(huán)境。

[1] WOON C E, MITCHELL L D. Variations in structural dynamic characteristics caused by changes in ambient temperature: I Experimental[J]. Proceedings of SPIE, 1996: 2768

[2] MICHEL C, GUéGUEN P. Time-frequency analysis of small frequency variations in civil engineering structures under weak and strong motions using a reassignment method[J]. Structural Health Monitoring, 2010, 9(2): 159-171

[3] 薛宏偉, 林益明, 劉天雄. 航天器振動試驗的頻率漂移問題綜述[J]. 航天器工程, 2005(4): 58-62

[4] 衛(wèi)洪濤, 孔憲仁, 王本利, 等. 非線性連接結(jié)構(gòu)對一個典型衛(wèi)星頻率漂移的影響[J]. 航天器環(huán)境工程, 2012, 29(3): 297-303

WEI H T, KONG X R, WANG B L, et al. Effect of nonlinearities in the joints on the amplitude-frequency response of a typical satellite structure[J]. Spacecraft Environment Engineering, 2012, 29(3): 297-303

[5] IWAN W D. A distributed-element model for hysteresis and its steady-state dynamic response[J]. Journal of Applied Mechanics, 1966, 33(4): 893

[6] 王本利, 張相盟, 衛(wèi)洪濤. 基于諧波平衡法的含Iwan模型干摩擦振子非線性振動[J]. 航空動力學(xué)報, 2013, 28(1): 1-9

WANG B L, ZHANG X M, WEI H T. Harmonic balance method for nonlinear vibration of dry friction oscillator with Iwan model[J]. Journal of Aerospace Power, 2013, 28(1): 1-9

[7] CHOWDHURY M A, HELALI M. The effect of amplitude of vibration on the coefficient of friction for different materials[J]. Tribology International, 2008, 41(4): 307-314

[8] 張步云, 陳懷海, 賀旭東. 多輸入多輸出正弦掃頻試驗控制新方法[J]. 振動與沖擊, 2015, 34(8): 198-202

ZHANG B Y, CHEN H H, HE X D. New control method for MIMO swept-sine test[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(8): 198-202

[9] 張連朋. 雙水平向振動試驗臺正弦掃頻振動控制技術(shù)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012: 17-20

（編輯：張艷艷）

The influence of preload on system frequency variations

LI Taiping1,2, WENG Haikuan1,2, JIANG Hao1,2, HONG Yan1, QI Xiaojun1,2

(1. Shanghai Institute of Satellite Equipment; 2. Shanghai Yuda Industrial Co., Ltd.: Shanghai 200240, China)

In this paper, the influence of the preload on the dynamic characteristics of a system with screw connections among different components is investigated with the harmonic spectrum estimation method. It is shown that with a preload of the same order of magnitude, the system exhibits different dynamic characteristics or FRFs under excitations of different orders of magnitude, as a non-linear time-invariant system. High level excitation may invalidate the preload, thus lead to reductions of the stiffness, the natural frequency, and the amplification in the resonance region.

preload; frequency variations; resonance; nonlinearity; Harmonic spectrum estimation method; simulation analysis; test validation

V416.2

A

1673-1379(2017)06-0636-06

10.3969/j.issn.1673-1379.2017.06.011

李太平（1989—），男，碩士學(xué)位，研究方向為結(jié)構(gòu)振動測試與抑制。E-mail: litaiping168@126.com。

2017-05-13；

2017-11-30