陳偉 宋漢文

摘要： 非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)主要存在于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)、自激顫振和反饋控制中，伴隨著系數(shù)矩陣的對稱性破壞而出現(xiàn)。非自伴隨系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特征信息的辨識(shí)在顫振的預(yù)測、控制律的識(shí)別、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)化等方面尤為重要。然而工程中的非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，如受穩(wěn)流風(fēng)載的大跨度橋梁、高速飛行的飛行器、轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、汽車的制動(dòng)系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的激勵(lì)信息未知，只能依靠系統(tǒng)的響應(yīng)信號對系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)。該研究圍繞非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的工況模態(tài)分析展開，首先推導(dǎo)了非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)在白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)自由衰減響應(yīng)之間的等價(jià)關(guān)系；繼而將迭代整體最小二乘算法引入到相關(guān)函數(shù)的辨識(shí)中；最后通過兩自由度橋梁節(jié)段模型和多自由度系統(tǒng)的算例驗(yàn)證了方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)； 系統(tǒng)辨識(shí)； 工況模態(tài)分析； 非對稱

中圖分類號： O321； O327 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2018）05-0772-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.05.006

引 言

系統(tǒng)受到與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的作用力時(shí)，該作用力會(huì)改變原系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度特性，使原本系統(tǒng)變?yōu)榉亲园殡S系統(tǒng)[1]。典型的例子有大跨度橋梁由于風(fēng)與其的相互作用而產(chǎn)生的顫振現(xiàn)象[2]，飛機(jī)在高速飛行時(shí)機(jī)翼的顫振[3]，以及廣泛應(yīng)用的主動(dòng)控制[4]。而這種反饋力的引入使得系統(tǒng)往往具有非對稱的系數(shù)矩陣，考慮到非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)系數(shù)矩陣不對稱的特性，非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的辨識(shí)更具挑戰(zhàn)性。在過去30年的發(fā)展中，模態(tài)分析已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性分析的關(guān)鍵技術(shù)，并且廣泛地應(yīng)用于航空、航天、汽車、橋梁等領(lǐng)域[5-6]。隨著環(huán)境振動(dòng)測試的發(fā)展，面對研究對象無法施加人工激勵(lì)，如在軌飛行器；或者人工激勵(lì)代價(jià)昂貴具有破壞性，如橋梁、高塔、海洋平臺(tái)等；或者結(jié)構(gòu)在工況下自身承受的環(huán)境激勵(lì)不可測量，如機(jī)翼顫振、橋梁顫振、地震等，工況模態(tài)分析（OMA）實(shí)現(xiàn)了在復(fù)雜工況條件下識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)特征[7-8]。工況模態(tài)分析具有操作便捷、經(jīng)濟(jì)適用、反映真實(shí)邊界條件等特點(diǎn)，引起了人們的廣泛關(guān)注[9]。

針對這類非自伴隨系統(tǒng)，本文將工況模態(tài)分析應(yīng)用于該類系統(tǒng)的辨識(shí)中。首先從理論上證明了非自伴隨系統(tǒng)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)之間的等價(jià)性，并通過算例加以證明。然后在二者等價(jià)的基礎(chǔ)上，將迭代整體最小二乘算法引入相關(guān)函數(shù)的辨識(shí)中，通過橋梁節(jié)段模型的算例和機(jī)翼的有限元模型證明了該方法的有效性。

1 非自伴隨系統(tǒng)的工況模態(tài)分析

本章從非自伴隨動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的微分方程出發(fā)，通過復(fù)模態(tài)參數(shù)表示系統(tǒng)的響應(yīng)?；谙到y(tǒng)在白噪聲下的響應(yīng)，推導(dǎo)了響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)，并且證明了非自伴隨系統(tǒng)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與給定初始條件下自由衰減響應(yīng)的等價(jià)性。在系統(tǒng)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)等價(jià)的前提下，將最小二乘迭代算法引入對相關(guān)函數(shù)的辨識(shí)中，得到了更為精確的模態(tài)參數(shù)。

1.1 系統(tǒng)響應(yīng)

假設(shè)該橋梁節(jié)段模型在風(fēng)洞中所受紊流作用為白噪聲。采樣頻率為100 Hz，采樣時(shí)長為3600 s。該結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)如圖1所示。

該結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)之間的對比如圖2所示。

圖2中相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)的曲線相吻合，驗(yàn)證了以某確定點(diǎn)響應(yīng)為參考信號的相關(guān)函數(shù)與給定初始條件下的自由衰減響應(yīng)一致。

下面使用特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（ERA）對相關(guān)函數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，得到系統(tǒng)的特征值信息。選取穩(wěn)定的極點(diǎn)作為初始值進(jìn)行迭代，迭代過程中誤差函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化如圖3所示。

由圖3可見，迭代算法具有收斂性，誤差逐步減少并趨于穩(wěn)定。迭代算法可以對原本ERA辨識(shí)的結(jié)果進(jìn)行更為精細(xì)的參數(shù)估計(jì)。

使用ERA辨識(shí)結(jié)果和使用IULS辨識(shí)結(jié)果如表1所示。

由表1可見，IULS算法較ERA在辨識(shí)精度上有著較為顯著的提高。結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型可以根據(jù)式（39）得到。

值得注意的是，目前模態(tài)辨識(shí)依賴于在穩(wěn)態(tài)圖中選擇合適的模態(tài)， 但是選擇的精度有著一定隨機(jī)性。IULS可在原本粗糙的辨識(shí)結(jié)果基礎(chǔ)上使精度有所提高，且辨識(shí)的結(jié)果可靠性強(qiáng)。

3.2 機(jī)翼模型

機(jī)翼的動(dòng)力學(xué)模型可以通過有限元建模得到，這里設(shè)置材料的密度、楊氏彈性模量和泊松比分別為2700 kg/m3，7.0×1010 Pa和0.3。結(jié)構(gòu)被離散為50個(gè)節(jié)點(diǎn)，由于結(jié)構(gòu)受到氣動(dòng)彈性力作用，這里設(shè)置對結(jié)構(gòu)的剛度矩陣做了修改。結(jié)構(gòu)的示意圖和有限元離散圖如圖4所示。

結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比如表2所示，相對應(yīng)的有限元模態(tài)振型如圖5所示。

記錄數(shù)據(jù)的采樣頻率fs=600 Hz，兩個(gè)激勵(lì)服從正態(tài)分布N（0，106）施加在節(jié)點(diǎn)6和50。仿真時(shí)間ts和相關(guān)函數(shù)信號長度tcor分別為7200 s和4 s。不失一般性，設(shè)置節(jié)點(diǎn)1的位移響應(yīng)信號為參考信號，計(jì)算位移相關(guān)函數(shù)R1（T）。

首先驗(yàn)證了相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)的等效性，不失一般性，圖6展示第10點(diǎn)與第20點(diǎn)對應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)。

圖6中相關(guān)函數(shù)和自由衰減響應(yīng)完全吻合，進(jìn)一步證明了相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)的等效性。

下面根據(jù)節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)響應(yīng)進(jìn)行辨識(shí)，首先使用所有節(jié)點(diǎn)響應(yīng)對節(jié)點(diǎn)1做相關(guān)函數(shù)，得到位移相關(guān)函數(shù)向量，接著使用ERA辨識(shí)算法對采集的位移響應(yīng)進(jìn)行初步辨識(shí)，最后使用本文提出的IULS算法對響應(yīng)信號進(jìn)行辨識(shí)。ERA穩(wěn)態(tài)圖如圖7所示。

由圖7可見，對于較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定極點(diǎn)的選取仍然依靠人工判斷。通過圖7的穩(wěn)態(tài)圖選取迭代的初值，利用IULS算法估計(jì)模態(tài)參數(shù)。含有能量貢獻(xiàn)的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型可以根據(jù)式（37）得到。估計(jì)的頻率和阻尼比如表3所示。

由表3可見IULS對初值的精度有一定的提高，可以實(shí)現(xiàn)更為精準(zhǔn)的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。重要的是，該方法在穩(wěn)定極點(diǎn)選擇初值不夠理想的前提下仍然可以收斂到滿意的結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文首先基于復(fù)模態(tài)理論推導(dǎo)了非自伴隨系統(tǒng)在寬頻隨機(jī)和自激反饋力作用下的響應(yīng)，并且通過響應(yīng)相關(guān)函數(shù)的理論推導(dǎo)證明了相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)的等價(jià)性。在相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)等價(jià)前提下，推導(dǎo)了針對自由衰減響應(yīng)的IULS辨識(shí)算法。最后通過了橋梁節(jié)段模型和機(jī)翼模型的仿真驗(yàn)證了理論的可靠性。本文的結(jié)論如下：

1.從理論上證明了非自伴隨系統(tǒng)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與給定初始條件下的自由衰減響應(yīng)等價(jià)。

2.針對隨機(jī)響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)引入了IULS算法，實(shí)現(xiàn)了更為精確的模態(tài)參數(shù)辨識(shí)。

3.通過兩自由度橋梁節(jié)段模型和機(jī)翼型板的有限元模型驗(yàn)證了響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)與自由衰減響應(yīng)的等價(jià)性以及辨識(shí)算法的有效性。

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Abstract： Non-self-adjoint dynamical system commonly appears in rotor dynamics， flutter analysis and control synthesis， where the symmetry of the system matrices are destroyed. The asymmetry of the system matrices leads to challenges to system identification when the difference arises between the right and left eigenvectors corresponding to the same eigenvalue. The identification of non-self-adjoint system is of great importance for the prediction of flutter boundary， the identification of control law， the optimal design of structures etc. However， for the non-self-adjoint system in engineering （e.g. bridge flutter， the aerodynamic drag forces acting on airplane wings and fuselages， the forces acting on the rotor in turbines， brake system of a vehicle）， the identification is based on the output data of the system because of the unknown input data. This research concerns the operational modal analysis （OMA） of a typical non-self-adjoint system. Specifically， the equivalence between the correlation functions of random responses and the free decay responses of the original structure is proved for the non-self-adjoint system. The ERA method is applied to reconstruct the non-self-adjoint system. Case examples on the identification of a six-degree-of-freedom system and the flutter derivatives of bridge sections are performed to validate the method.

Key words： non-self-adjoint dynamic system； system identification； operational modal analysis； asymmetry

作者簡介： 陳 偉（1994—），男，博士研究生。電話： 15317058025； E-mail： meshiawei@#edu.cn

通訊作者： 宋漢文（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師。電話： 18019787293； E-mail： hwsong@#edu.cn