張瀚文

(北京控制工程研究所，北京 100190)

正交試驗法在空間自由漂浮機械臂控制參數(shù)尋優(yōu)中的應(yīng)用*

張瀚文

(北京控制工程研究所，北京 100190)

針對空間自由漂浮機器人自適應(yīng)控制參數(shù)的尋優(yōu)問題，引入正交試驗設(shè)計方法.綜合考慮了各因素對試驗結(jié)果的影響，通過較少的試驗仿真次數(shù)即可快速獲得較為理想的控制器參數(shù)，因此該方法對復雜系統(tǒng)控制器參數(shù)尋優(yōu)具有較為實用的借鑒意義.實例證明，采用L81(340)正交表能較好地完成兩自由度自由漂浮空間機械臂的14個控制參數(shù)尋優(yōu).

正交試驗設(shè)計；空間自由漂浮機械臂；參數(shù)尋優(yōu)

0 引 言

空間機器人控制系統(tǒng)的地面試驗，如同人造衛(wèi)星、導彈及反坦克導彈制導系統(tǒng)等的彈道試驗一樣，不宜多次實施實物試驗或者不具備空間環(huán)境實物試驗的條件，另外空間機器人控制系統(tǒng)進行大量的地面數(shù)學仿真耗費巨大的人力、物力，如何最快獲取控制系統(tǒng)參數(shù)，同時保證較高的控制精度，就需要進行現(xiàn)代試驗設(shè)計研究.正交試驗設(shè)計方法就是一種廣泛應(yīng)用的，尋求最優(yōu)水平組合，并且被證明是十分有效的不需要全面試驗的高效率試驗設(shè)計方法.正交試驗設(shè)計是根據(jù)正交性從全面試驗中挑選出部分有代表性的點進行試驗，這些有代表性的點具備了“均勻分散，整齊可比”的特點，統(tǒng)計學家將正交設(shè)計通過一系列的表格來實現(xiàn)，這些表叫做正交表.

與現(xiàn)代試驗設(shè)計相比，傳統(tǒng)的仿真方法一次改變一個參數(shù)，計算量大，并且每個參數(shù)最優(yōu)也不能保證所有因素組合起來是最優(yōu)組合，更不能分析各因素對結(jié)果的影響程度.目前空間機器人的研究正在如火如荼的進行，對空間機器人控制系統(tǒng)進行現(xiàn)代試驗設(shè)計，將最優(yōu)化思想和要求貫穿于試驗的全過程非常必要.本文要做的工作是通過合理高效的試驗設(shè)計，減少試驗次數(shù)，以較低的試驗成本快速獲得最優(yōu)的自由漂浮空間機械臂控制系統(tǒng)模型控制器參數(shù)，縮短項目研制周期.

1 正交試驗法

試驗設(shè)計方法是一種用于安排試驗和分析試驗數(shù)據(jù)的數(shù)理統(tǒng)計方法.試驗設(shè)計的目的就是通過一系列試驗，使得能夠觀察和識別出引起輸出響應(yīng)變化的緣由.應(yīng)用試驗工具，可以對試驗進行合理安排，對試驗結(jié)果進行科學分析，以較小的試驗規(guī)模(試驗次數(shù))，較短的試驗周期和較低的試驗成本，獲得理想的試驗結(jié)果和合理的結(jié)論.

對所有試驗因素不同水平的自由組合都進行試驗稱為全局試驗.從全部因素和水平的自由組合中選擇部分組合進行試驗稱為部分試驗.試驗設(shè)計追求的目標之一就是要用盡量小的部分試驗來實現(xiàn)全局試驗所要達到的目的.

正交表A是n×k矩陣，它的第j列元素由數(shù)字1,2,3,…,mj所構(gòu)成，矩陣A的任意兩列都搭配均衡.在正交表Ln(m1×m2×…×mk)中，若m1=m2=…=mk=m,則為m水平正交表，或稱為水平數(shù)相同的正交表，并簡記為Ln(mk).下面以L9(34)正交表(表1)為例分析說明正交試驗設(shè)計原理.

表1 正交表L9(34)Tab.1 Orthogonal array table L9(34)

如果做全面試驗，需做L=33=27次，如圖1所示的立方體包含了27個節(jié)點，可分別用來表示全面試驗的這27種水平組合.若選用1、2、3列安排A、B、C3個因素，則總共只需安排9次試驗，這9種水平組合即為從全面試驗27種水平組合中挑選出來的.

比較圖1和圖2可以看出，圖2中的圓點有3個特點：在立方體中的每一個面上，圓點數(shù)相同，都是3個；在立方體中的每一條線上，圓點數(shù)相同，都是1個；這兩點能充分說明正交表所安排的試驗方案，各因素水平的搭配是“均衡的”；通過正交表可以發(fā)現(xiàn)任意其他兩個因素對第3個因素同一水平試驗結(jié)果的影響大體相同，它們之間的差異是由于第3個因素取了不同水平所引起的，這使得第3個因素不同水平間有了可比性，它是選取各因素優(yōu)秀水平的依據(jù)，這叫做“綜合可比性”.因為正交表安排試驗具有“均衡搭配性”和“綜合可比性”這兩大特點，因此才能取得減少試驗次數(shù)的良好效果[1].

由此可見，正交試驗設(shè)計主要優(yōu)點表現(xiàn)在如下幾個方面：

1)能在所有試驗方案中均勻地挑選出代表性強的少數(shù)試驗方案.

2)通過對這些少數(shù)試驗方案的試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析，可以推出較優(yōu)的方案，而且所得到的較優(yōu)方案往往不包含在這些少數(shù)試驗方案中.

3)對試驗結(jié)果作進一步的分析，可以得到試驗結(jié)果之外的更多信息，如各試驗因素對試驗結(jié)果影響的重要程度、各因素對試驗結(jié)果的影響趨勢等.

對給定的因素和水平數(shù)，要得到相應(yīng)的正交表(如果存在)是不容易的.目前流行的各種正交表是許多數(shù)學家長期努力的結(jié)果.構(gòu)造正交設(shè)計的方法主要有：Hadamard矩陣構(gòu)造，正交拉丁方構(gòu)造，有限域構(gòu)造、MI構(gòu)造、編碼構(gòu)造、有限幾何構(gòu)造法[2-4]等，這里不做詳細分析，只列出目前數(shù)學家們已經(jīng)給出的很多常用的正交表[5]，如表2所示.

表2 目前常用的正交表Tab.2 Current orthogonal array table

2 空間自由漂浮機械臂控制參數(shù)尋優(yōu)

2.1 空間機械臂動力學模型

用向量q描述自由飛行空間機械臂的位置，用力矩向量τ表示執(zhí)行器輸入，其動力學方程可以寫成如下形式[6-7]：

(1)

當航天器處于自由漂浮狀態(tài)時，式(1)可寫成如下形式：

(2)

(3)

式中：M(q)為慣量矩陣，

Mbb為航天器慣量矩陣，Mbb∈R3×3；

Mbm為航天器和機械臂的耦合慣量矩陣,Mbm∈R3×n；

Mmm為機械臂的慣量矩陣，Μmm∈Rn×n；

Cbb為航天器的離心力和科氏力矩陣，Cbb∈R3×3；

Cbm為航天器和機械臂的耦合離心力、科氏力矩陣，Cbm∈R3×n；

Cmb為機械臂和航天器的耦合離心力、科氏力矩陣，Cmb∈Rn×3；

Cmm為機械臂的離心力和科氏力矩陣，Cmm∈Rn×3；

τm為機械臂的關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，τm∈Rn.

2.2 空間自由漂浮機械臂自適應(yīng)控制

自由漂浮控制模式下，姿態(tài)軌道控制系統(tǒng)處于關(guān)閉狀態(tài)，能節(jié)省不可再生燃料的消耗，延長系統(tǒng)的使用壽命.本文采用的自適應(yīng)控制方法依據(jù)參考文獻[7].

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

設(shè)關(guān)節(jié)空間自適應(yīng)控制律為

(12)

(13)

其中，ad為自由漂浮機械臂的未知動力學參數(shù)矢量.

動力學參數(shù)自適應(yīng)律選擇為

(14)

其中，

2.3 空間自由漂浮機械臂自適應(yīng)控制參數(shù)尋優(yōu)

(1)兩自由度自由漂浮空間機械臂的動力學模型

為便于Matlab編程仿真，將兩自由度空間機械臂的動力學方程寫成如下形式：

(15)

其中，空間機械臂的動力學參數(shù)ad=[a1a2a3a4a5a6a7a8]T.其中，qb=q0為航天器姿態(tài)角，qm=[q1q2]為機械臂的關(guān)節(jié)角矢量.

空間兩自由度自由漂浮機械臂物理參數(shù)如表3所示.

表3 兩自由度自由漂浮機械臂的物理參數(shù)Tab.3 Physical parameters of two-DOF free-floating space manipulator

取控制器參數(shù)β0=10I，Km=20I，Kb=20I，Γd=25I，計算指標IITAE=[1.934 1 1.689 9]T，仿真結(jié)果如圖4～6所示.

(2)兩自由度自由漂浮空間機械臂控制參數(shù)尋優(yōu)

選用正交試驗設(shè)計的方法優(yōu)化自由漂浮機械臂空間自適應(yīng)控制參數(shù).其中，共計14個控制參數(shù)，給定這些參數(shù)初始的范圍如表4～6.

表4 兩自由度自由漂浮機械臂控制器參數(shù)初始值Tab.4 Initial values of β01…Kb2

表5 兩自由度自由漂浮機械臂控制器參數(shù)初始值Tab.5 Initial values of Γd1…Γd6

表6 兩自由度自由漂浮機械臂控制器參數(shù)初始值Tab.6 Initial values of Γd7and Γd8

為確保試驗精度，每個參數(shù)在正交試驗設(shè)計時選取3個水平，即參數(shù)范圍兩端點和中間點.每次尋優(yōu)后各參數(shù)優(yōu)化后區(qū)間是原區(qū)間的一半，如區(qū)間是(5～15)的范圍時，3個水平點分別是5、10和15，單次優(yōu)化后參數(shù)區(qū)間會縮小為(5～10)或者(10～15)，如此循環(huán).

下面給出正交設(shè)計優(yōu)化空間機械臂控制算法參數(shù)的流程框圖如圖7所示.

為保證試驗設(shè)計優(yōu)化精度，這里選擇L81(340)正交表，下面利用機械臂實際行走路徑和目標路徑間的累計誤差I(lǐng)ITAE值最小為目標開展優(yōu)化，經(jīng)過Matlab編程仿真，參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表7所示.

表7 正交設(shè)計優(yōu)化結(jié)果Tab.7 Optimized results with orthogonal array design

與全局優(yōu)化相比，正交試驗設(shè)計優(yōu)化結(jié)果不如全面試驗設(shè)計優(yōu)化結(jié)果最佳，但是以調(diào)用IITAE函數(shù)為例，正交試驗設(shè)計優(yōu)化法仿真調(diào)用IITAE函數(shù)的次數(shù)比傳統(tǒng)的全局優(yōu)化法大大減少.從表8可以看出，將控制器參數(shù)區(qū)間范圍優(yōu)化到0.1以內(nèi)，需要做7次循環(huán)，正交試驗設(shè)計優(yōu)化方法調(diào)用IITAE函數(shù)567次，而全局優(yōu)化需要33 480 783次，如表8所示.

表8 正交試驗設(shè)計優(yōu)化和全局優(yōu)化比較Tab.8 A comparison between optimized results with orthogonal array experimental design and optimized results on the full scale 次

以上說明，經(jīng)過正交試驗設(shè)計優(yōu)化后，參數(shù)區(qū)間范圍都縮小至0.1以內(nèi)，IITAE目標值顯著縮小并且穩(wěn)定性提高，試驗仿真次數(shù)大幅下降，達到優(yōu)化目的.

與傳統(tǒng)的控制參數(shù)尋優(yōu)相比正交設(shè)計法有以下優(yōu)點：

1)正交試驗設(shè)計可以同時考慮多個參數(shù)變化的均勻組合，傳統(tǒng)的仿真計算只能一次考察一個參數(shù)對系統(tǒng)指標的影響；

2)通過正交試驗設(shè)計可以大大減小試驗次數(shù).

3)對于空間機器人控制這種復雜的控制系統(tǒng)，其參數(shù)之間不可避免地存在耦合，利用正交實驗設(shè)計方法進行參數(shù)尋優(yōu)時，可以同時考慮耦合因素對系統(tǒng)的影響，避免了系統(tǒng)解耦；

4)正交試驗設(shè)計可以實現(xiàn)多指標參數(shù)尋優(yōu)，采用綜合平衡法、綜合評分法等找出使每個指標都盡可能好的試驗方案.

當然，正交試驗設(shè)計方法在提高參數(shù)尋優(yōu)速度的過程中，因為沒有進行完全的試驗仿真，尋優(yōu)結(jié)果精度不如全局試驗.雖然沒有傳統(tǒng)的全局仿真試驗精度高，但是在參數(shù)尋優(yōu)精度滿足要求而速度要求很快的情況下更能體現(xiàn)其優(yōu)越性，實用性更高.

3 結(jié) 論

將正交試驗設(shè)計和計算機仿真相結(jié)合，提出了一種新的空間機器人控制參數(shù)尋優(yōu)方法.利用正交試驗設(shè)計，以較少的試驗次數(shù)成功將兩自由度自由漂浮空間機械臂自適應(yīng)控制參數(shù)區(qū)間優(yōu)化至給定范圍，以較低的試驗成本快速獲得較為理想的控制參數(shù)，證明了利用正交試驗設(shè)計方法進行復雜系統(tǒng)參數(shù)尋優(yōu)的可行性.本文也為其他系統(tǒng)參數(shù)尋優(yōu)提供了一種新思路.

目前空間機械臂大多都具有6個甚至6個以上的自由度，其控制模型更復雜，參數(shù)尋優(yōu)更困難.未來可以通過設(shè)計更多因素更多水平的正交表，將正交試驗設(shè)計法應(yīng)用在6自由度以上機械臂控制參數(shù)尋優(yōu)，實現(xiàn)參數(shù)的快速優(yōu)化.這種復雜的多因素試驗，常常會遇到各因素間交互作用的問題，各試驗因素水平數(shù)不等的情況，以及多指標試驗設(shè)計的情況等，需要按照實際需求設(shè)計合理合用的正交表，或?qū)x取的正交表進行適當改造.如何獲取試驗效果最佳的正交表將是今后研究工作的難點.

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TheOrthogonalArrayExperimentalDesignMethodforOptimizingControlParametersofFree-FloatingSpaceRobotManipulator

ZHANG Hanwen

(BeijingInstituteofControlEngineering，Beijing100190,China)

An orthogonal array experimental design method is developed to optimize the control system parameters of a free-floating space robot manipulator. The experiment results show that it is very quick and precise in approaching the appropriate value of every control parameter with the orthogonal array experimental design method. The method is very useful for optimizing control parameters of complex systems. For example, L81(340) orthogonal array can realize the optimization of fourteen adaptive control parameters which are selected randomly.

orthogonal array experimental design method； free-floating space robot manipulator； parameters optimizing

*國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973)資助項目(2013CB733100).

2016-09-17

V44

A

1674-1579(2017)06-0047-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.06.008

張瀚文(1984—)，女，工程師，研究方向為機器人自適應(yīng)控制.