施 強(qiáng)，袁長(zhǎng)清，孫云龍，于海莉

(空軍航空大學(xué)飛行器與動(dòng)力系，吉林 130022)

共線三星庫(kù)侖編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與自適應(yīng)控制研究*

施 強(qiáng)，袁長(zhǎng)清，孫云龍，于海莉

(空軍航空大學(xué)飛行器與動(dòng)力系，吉林 130022)

針對(duì)地球同步軌道處共線三星庫(kù)侖編隊(duì)隊(duì)形保持的自適應(yīng)控制問(wèn)題進(jìn)行研究,建立共線三星庫(kù)侖編隊(duì)在地球同步軌道的非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，研究?jī)H使用庫(kù)侖力作為控制力，實(shí)現(xiàn)共線三星庫(kù)侖編隊(duì)徑向靜態(tài)穩(wěn)定的控制方案，并在庫(kù)侖力建模中考慮德拜效應(yīng)的影響.基于建立的非線性化動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)考慮到外部擾動(dòng)力的影響，設(shè)計(jì)三星共線庫(kù)侖編隊(duì)在地球同步軌道的構(gòu)型保持自適應(yīng)控制律，并利用Lyapnuov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，進(jìn)行數(shù)值仿真.

庫(kù)侖編隊(duì)；地球同步軌道；構(gòu)型保持；自適應(yīng)控制

0 引 言

近年來(lái)，庫(kù)侖力衛(wèi)星編隊(duì)作為一種新興的近距離編隊(duì)技術(shù)受到越來(lái)越多的關(guān)注[1-2].庫(kù)侖力編隊(duì)利用衛(wèi)星間的靜電引力或斥力作為控制力，通過(guò)設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂坡蓙?lái)控制編隊(duì)的構(gòu)型、姿態(tài)以及編隊(duì)中衛(wèi)星間的距離[3].庫(kù)侖力作為一種非接觸作用力，它源于帶電衛(wèi)星間靜電力的相互作用，其比沖高達(dá)1013s[4]，因此它是一種十分高效的控制力.在給衛(wèi)星充電時(shí)只需消耗幾瓦特的功率，且它可以利用太陽(yáng)帆板提供的電能不需要消耗燃料，不會(huì)對(duì)鄰近衛(wèi)星產(chǎn)生羽化污染，因此庫(kù)侖力編隊(duì)技術(shù)能夠被用于執(zhí)行高軌道或深空長(zhǎng)任務(wù)周期的近距離或極近距離衛(wèi)星編隊(duì)任務(wù).

三星及多星庫(kù)侖力編隊(duì)動(dòng)力學(xué)模型的強(qiáng)耦合性和非線性特點(diǎn)，給其穩(wěn)定性分析及控制律的設(shè)計(jì)帶來(lái)了諸多難題.國(guó)內(nèi)外學(xué)者多對(duì)二星庫(kù)侖力編隊(duì)進(jìn)行研究，Inampudi等[5-6]人運(yùn)用拉格朗日函數(shù)建立兩星庫(kù)侖編隊(duì)在地-月平動(dòng)點(diǎn)處的動(dòng)力學(xué)模型，并分別討論在地-月系平動(dòng)點(diǎn)處兩星庫(kù)侖編隊(duì)在徑向方向、軌道切線方向和軌道面法線方向的穩(wěn)定性問(wèn)題.Wang等[7]研究了地球同步軌道兩衛(wèi)星自旋庫(kù)侖虛擬結(jié)構(gòu)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)全狀態(tài)反饋電荷控制器，并應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.黃靜[8]針對(duì)于平動(dòng)點(diǎn)附近處二星虛擬繩系庫(kù)侖力系統(tǒng)姿軌耦合控制問(wèn)題，首先采用歐拉-拉格朗日方程對(duì)二體衛(wèi)星建模，設(shè)計(jì)了非線性二次型最優(yōu)控制器實(shí)現(xiàn)了對(duì)二體繩系系統(tǒng)的長(zhǎng)周期穩(wěn)定控制.張皓等[9]提出了一種使用航天器間庫(kù)侖力實(shí)現(xiàn)懸停軌道的方法，并通過(guò)對(duì)開環(huán)控制和閉環(huán)控制的分析，給出了利用庫(kù)侖力技術(shù)實(shí)現(xiàn)懸停軌道的實(shí)施方案.

在三星庫(kù)侖編隊(duì)方面，Schaub等[10-11]針對(duì)3個(gè)航天器對(duì)稱編隊(duì)構(gòu)形，應(yīng)用線性控制理論，設(shè)計(jì)反饋控制律，并討論閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性.Hussein等[12]于2007年首次研究庫(kù)侖虛擬結(jié)構(gòu)的反饋控制問(wèn)題，考慮三結(jié)點(diǎn)共線虛擬結(jié)構(gòu)，應(yīng)用線性化相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)了電荷反饋控制律.Hogan等[13]研究了在深空環(huán)境下的旋轉(zhuǎn)三星庫(kù)侖編隊(duì)在二維平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，并以等質(zhì)量共線三星編隊(duì)為例進(jìn)行分析.Jones[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上，基于非線性平面外解耦模型對(duì)深空環(huán)境下共線三星庫(kù)侖編隊(duì)的面外運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并設(shè)計(jì)了非線性控制律.文獻(xiàn)[15]對(duì)六星庫(kù)侖-繩系編隊(duì)的雙四面體對(duì)頂雙錐型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，運(yùn)用拉格朗日方程建立了其相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)其開環(huán)控制進(jìn)行分析.王婷等[16]研究了等質(zhì)量五星庫(kù)侖編隊(duì)的靜態(tài)構(gòu)型問(wèn)題.

上述研究在建立庫(kù)侖力三星相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，既沒(méi)有考慮地球等天體間引力對(duì)三星編隊(duì)的影響，也沒(méi)有考慮外界環(huán)境對(duì)于編隊(duì)的干擾影響.本文選取地球同步軌道環(huán)境為研究背景.考慮地球引力、外界干擾、以及德拜效應(yīng)的影響，以庫(kù)侖衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)為研究對(duì)象，運(yùn)用拉格朗日方程，建立了共線三星庫(kù)侖力編隊(duì)的非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型.本文利用庫(kù)侖力作為控制力，設(shè)計(jì)了共線三星庫(kù)侖編隊(duì)自適應(yīng)控制律，同時(shí)考慮到未建模的擾動(dòng)力的影響，并進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證.

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

假設(shè)地球的質(zhì)量為M，為了描述衛(wèi)星之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，建立Hill軌道坐標(biāo)系H：{Or,Oθ,Oh}，Or沿地球半徑指向背離地心方向，Oθ指向衛(wèi)星編隊(duì)質(zhì)心的速度方向，Oh指向衛(wèi)星軌道角速度方向，Oh與Or,Oθ構(gòu)成右手系(如圖1所示).用ri表示庫(kù)侖力編隊(duì)中第i顆衛(wèi)星在地心慣性坐標(biāo)系中的位置，rc為編隊(duì)質(zhì)心在慣性坐標(biāo)中的位置矢量，第i顆衛(wèi)星相對(duì)編隊(duì)質(zhì)心的位置矢量ρi=ri-rc，則第i顆衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)系中的位置矢量為：

(1)

這里左上角標(biāo)“H”表示矢量在Hill坐標(biāo)系中的投影.

下面以整個(gè)庫(kù)侖衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立多顆庫(kù)侖力衛(wèi)星編隊(duì)飛行的非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型.該模型也可以用來(lái)描述其他類型的非接觸力衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)運(yùn)動(dòng).

1.1 系統(tǒng)動(dòng)能

設(shè)第i顆衛(wèi)星的質(zhì)量為mi，第i顆衛(wèi)星在慣性坐標(biāo)系下的位置矢量可以表示為

(2)

式中，rc為庫(kù)侖力衛(wèi)星編隊(duì)質(zhì)心在慣性坐標(biāo)中的位置矢量.

第i顆衛(wèi)星的絕對(duì)速度可表示為

vi=vρ+vo

(3)

(4)

則第i顆衛(wèi)星的動(dòng)能為

(5)

從而我們可以得到由N顆衛(wèi)星組成的庫(kù)侖力衛(wèi)星編隊(duì)的系統(tǒng)動(dòng)能為

(6)

1.2 系統(tǒng)勢(shì)能

對(duì)于地球同步軌道處的多星庫(kù)侖力衛(wèi)星編隊(duì)系統(tǒng)，其系統(tǒng)勢(shì)能包括由地球引力產(chǎn)生的重力勢(shì)能和衛(wèi)星間的庫(kù)侖力勢(shì)能.

對(duì)于N星庫(kù)侖力編隊(duì)系統(tǒng)，其重力勢(shì)能可以表示為

(7)

(8)

式中，ti為ρi的單位向量，u是rc的單位向量.

對(duì)于N星庫(kù)侖力編隊(duì)系統(tǒng)，其庫(kù)侖力勢(shì)能為

(9)

1.3 共線三星庫(kù)侖編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)徑向共線三星庫(kù)侖編隊(duì)進(jìn)行分析，假設(shè)該三星庫(kù)侖編隊(duì)為徑向方向相連的剛體結(jié)構(gòu)，建立坐標(biāo)系B:{b1,b2,b3}如圖2所示，其中b1始終沿ρ13方向，若衛(wèi)星編隊(duì)無(wú)位置和速度偏差，b2沿軌道切線方向，b3與b2、b1構(gòu)成右手系，則坐標(biāo)系B與Hill軌道坐標(biāo)系H完全重合.將繞b1軸的轉(zhuǎn)角定義為偏航角φ，假定零姿態(tài)角情形b2標(biāo)稱方位指向飛行方向，則繞該軸的轉(zhuǎn)角定義為滾轉(zhuǎn)角θ，繞b3軸的轉(zhuǎn)角定義為俯仰角ψ.

設(shè)3顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m1、m2、m3，根據(jù)質(zhì)心條件可以得到

m1ρ1+m2ρ2+m3ρ3=0

(10)

由圖3知

(11)

式中：ρ1b1、ρ2b1、ρ3b1分別為星1、星2、星3在B坐標(biāo)系下b1軸上的坐標(biāo)；l1為衛(wèi)星1與衛(wèi)星2之間的距離，l2為衛(wèi)星2與衛(wèi)星3之間的距離.

聯(lián)立式(10)～(11)可求得，在圖2構(gòu)型中，在坐標(biāo)系B下，ρ1、ρ2、ρ3為

(12)

本文采用3-2-1(ψ-θ-φ)的歐拉角旋轉(zhuǎn)，由于假設(shè)衛(wèi)星視為質(zhì)點(diǎn)，該共線三星編隊(duì)為剛體結(jié)構(gòu).因此，繞b1方向轉(zhuǎn)動(dòng)的偏航角φ可以忽略，即φ=0，則坐標(biāo)系B與希爾坐標(biāo)系H之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(13)

在希爾坐標(biāo)系H中，衛(wèi)星i的位置向量為

(14)

將式(12)～(13)代入式(14)我們可知在希爾坐標(biāo)系H中3顆衛(wèi)星的位置矢量為

(15)

求導(dǎo)得速度矢量分別為

(16)

式中：

將式(4)、(15)、(16)分別代入式(6)、(8)、(9)可以得到徑向共線三星庫(kù)侖編隊(duì)的系統(tǒng)動(dòng)能T為

(17)

重力勢(shì)能為

(18)

庫(kù)侖力勢(shì)能Ve為

(19)

共線三星庫(kù)侖力編隊(duì)的系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為[5]:

L=T-(Vg+Ve)

(20)

拉格朗日方程為：

(21)

其中Qi為第i顆星所受到的廣義力(不包括地球重力項(xiàng)和庫(kù)侖力項(xiàng)).

將式(17)～(19)代入式(21)得共線三星庫(kù)侖編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(22)

式中，L1=m4l1+m5l2，L2=m5l1+m6l2，

這里Q12、Q13、Q23為衛(wèi)星間電荷乘積 ，即Q12=q1q2，Q13=q1q3，Q23=q2q3.本文均選取地球高軌道附近，上述式(22)為徑向共線三星庫(kù)侖編隊(duì)在地球同步軌道處耦合的非線性常微分動(dòng)力學(xué)方程.式(22)中衛(wèi)星1與衛(wèi)星2之間的距離l1、衛(wèi)星2與衛(wèi)星3之間的距離l2與滾轉(zhuǎn)角θ和俯仰角ψ高度耦合，這使得可以通過(guò)控制衛(wèi)星的電荷量來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星間距的直接控制和姿態(tài)角的間接控制，從而使系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.

2 共線三星庫(kù)侖編隊(duì)隊(duì)形保持自適應(yīng)控制

考慮到外界干擾力(如地球擾動(dòng)力、太陽(yáng)光壓等)和庫(kù)侖力靜電場(chǎng)近似模型的不確定性，針對(duì)共線三星庫(kù)侖編隊(duì)構(gòu)型保持設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制律.

式(22)可簡(jiǎn)化為

(23)

考慮到在地球同步軌道處衛(wèi)星會(huì)受到未知擾動(dòng)力的影響，則式(23)可表示為

(24)

式中d為干擾項(xiàng).

δX=X-Xd

(25)

速度誤差為

(26)

不確定參數(shù)的估計(jì)誤差為

(27)

復(fù)合誤差可記為

(28)

對(duì)式(28)求導(dǎo)

(29)

令控制加速度控制律如下：

(30)

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明編隊(duì)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.定義Lyapunov函數(shù)為

(31)

式中Γ為對(duì)角矩陣.

對(duì)式(31)求導(dǎo)：

(32)

取自適應(yīng)控制律為：

(33)

式中M=Kd.

將式(30)和(33)代入式(32)可得到：

(34)

3 數(shù)值仿真

本節(jié)應(yīng)用Matlab/Simulink軟件進(jìn)行仿真校驗(yàn).考慮衛(wèi)星在編隊(duì)飛行過(guò)程中受到的外界干擾力作用和衛(wèi)星間靜電場(chǎng)模型誤差，對(duì)共線三星庫(kù)侖編隊(duì)在地球同步軌道上構(gòu)型保持的自適應(yīng)控制律進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

在地球同步軌道處，外部環(huán)境干擾力主要地球攝動(dòng)和太陽(yáng)光壓產(chǎn)生，其相對(duì)干擾加速度選取為：d=[5.67×10-8sin(ωst) 3.34×10-8sin(ωst) 0 0][17].式中：ωs=Ω-ωB=(7.291×10-5-1.991×10-7) rad/s，ωB為地球繞太陽(yáng)的旋轉(zhuǎn)角速度[6].

自適應(yīng)控制參數(shù)設(shè)計(jì)為：

Λ=diag{10，0.1，0.01}，
Kp=diag{0.1，0.01，0.1}，
Γ=diag{1，0.1，1，0.1，0.01，0.1}.

仿真結(jié)果如圖4～8所示，其中圖4～5為衛(wèi)星編隊(duì)中各衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡，在初始時(shí)刻衛(wèi)星編隊(duì)受到外界擾動(dòng)力影響，其相對(duì)位置出現(xiàn)偏差，在4小時(shí)后衛(wèi)星編隊(duì)恢復(fù)原有構(gòu)型；圖6～7分別給出了在共線三星庫(kù)侖編隊(duì)自適應(yīng)控制律的作用下，衛(wèi)星間距和編隊(duì)姿態(tài)角隨時(shí)間的變化情況.在自適應(yīng)控制律的控制下，約4h后，衛(wèi)星間距離l12和l23分別收斂到40 m和30 m，面外俯仰角θ和面內(nèi)偏航角ψ均收斂到0； 圖8、圖9分別給出了在自適應(yīng)控制律的作用下，衛(wèi)星間電荷乘積和衛(wèi)星間作用力隨時(shí)間的變化情況.在控制器作用過(guò)程中，衛(wèi)星間電荷Q12與Q23為負(fù)值，Q13為正值，其數(shù)值先減小后增大最后分別收斂到-21.13 μC2、-18.72 μC2和33.24 μC2.仿真結(jié)果表明在共線三星庫(kù)侖編隊(duì)自適應(yīng)控制律的作用下，編隊(duì)構(gòu)型能夠達(dá)到期望構(gòu)型，說(shuō)明所設(shè)計(jì)的編隊(duì)構(gòu)型保持控制律是有效的.

4 結(jié) 論

本文研究了共線三星庫(kù)侖衛(wèi)星編隊(duì)在地球同步軌道處相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題.針對(duì)三星庫(kù)侖編隊(duì)模型的復(fù)雜性以及外界干擾和德拜效應(yīng)的影響，提出了運(yùn)用繩系編隊(duì)的建模思想，來(lái)建立了共線三星庫(kù)侖編隊(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型的方法，并利用泰勒級(jí)數(shù)展開式對(duì)其進(jìn)行線性化處理.本文設(shè)計(jì)了共線三星庫(kù)侖編隊(duì)自適應(yīng)控制律，考慮到了未建模的擾動(dòng)力，并通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證了其有效性.該方法也可用于其他類型的非接觸力衛(wèi)星編隊(duì)在高軌的近距離航天任務(wù).

[1] KING L B, PARKER G G, DESHMUKH S, et al.Spacecraft formation flying using inter-vehicle Coulomb force [R]. NASA/NIAC, 2002.

[2] ZHANG J R, YUAN C Q, JIANG D MI, et al.Adaptive terminal sliding mode control of electromagnetic spacecraft formation flying in near-earth orbits[J].Advances in Mechanical Engineering, 2014, 12(3):1-9.

[3] KING L B, PARKER G G, DESHMUKH S, et al.Study of interspacecraft coulomb forces and implications for formation flying[J].AIAA Journal of Propulsion and Power, 2003, 19(3):497-505.

[4] HARSH A.V. Four-craft virtual coulomb structure analysis for 1 to 3 dimensional geometries[D]. Virginia: Polytechnic Institute and State University, 2007.

[5] INAMPUDI R, SCHAUB H.Orbit radial dynamic analysis of two-craft coulomb formation at libration points[C]//AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference. Washington D C: AIAA, 2010-7965.

[6] INAMPUDI R.Two-craft coulomb formation study about circular orbits and libration points[J].Ph.D. Thesis, University of Colorado, 2010, 16(7):37-42.

[7] WANG S,SCHAUB H.Nonlinear coulomb feedback control of a spinning two spacecraft virtual structure[C]//American Control Conference. Minneapolis, USA, 2006.

[8] HUANG J, MA G F.Nonlinear dynamics and reconfiguration control of two-satellite coulomb tether formation at libration points[J].Aerospace Science and Technology, 2014, 39(8):501-512.

[9] 張皓，師鵬，李保軍，等.利用庫(kù)侖力實(shí)現(xiàn)懸停軌道的新方法研究[J].宇航學(xué)報(bào), 2011, 33(1):68-75.

ZHANG H, SHI P, LI B J, et.al. Hover orbit using inter-spacecraft coulomb forces[J]. Journal of Astronautics，2011, 33(1)：68-75.

[10] HUSSEIN I, SCHAUB H. Stability and control of relative equilibria for the three-spacecraft coulomb tether problem[J]. Acta Astronautica , 2009, 65(5-6):738-754.

[11] HUSSEIN I, HANSPETER S. Stability and control of relative equilibria for the three-spacecraft coulomb tether problem [C]//AAS/AIAA Astrodynamics Specialists Conference. Washington D C: AIAA , 2007, 64(4):19-23.

[12] ERIK A. HSCHAUB H..Collinear invariant shapes for three-craft coulomb formations.[J].Acta Astronautica, 2012, 72(10):78-89.

[13] HOGAN E, SCHAUB H. Linear stability and shape analysis of spinning three-craft coulomb formations. [C]//AAS Spaceflight Mechanics Meeting, 2011, 13(17):211-225.

[14] PETER D J, SCHAUB H. Out-of-plane stability of collinear spinning three-craft coulomb formations.[J].Acta Astronautica, 2009, 67(12):89-97.

[15] RUI Q K. MISRA A K. Dynamics of double-pyramid satellite formations interconnected by tethers and coulomb forces. [J].Acta Astronautica, 2016, 24(11):1265-1277.

[16] 王婷，張羽飛.等質(zhì)量立體五星庫(kù)侖編隊(duì)飛行的分析與控制[J].宇航學(xué)報(bào), 2015, 36(11):1279-1288.

WANG T, ZHANG Y F. Analysis and control for three dimensional five-satellite coulomb formation flight in geostationary earth orbit[J]. Journal of Astronautics，2015,36(11)：1279-1288.

[17] 徐增文,師鵬,趙育善.雙電磁航天器編隊(duì)構(gòu)型保持自適應(yīng)控制 [J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，12(41):2302-2308.

XU Z W, SHI P, ZHAO Y S. Adaptive control for two-spacecraft electromagnetic formation keeping [J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics, 2015, 12(41): 2302-2308.

AdaptiveControlResearchofTwo-CraftCoulombFormationinTrackRadial

SHI Qiang, YUAN Changqing, SUN Yunlong， YU Haili

(AviationUniversityofAirForce,Changchun130022，China)

In this paper, the adaptive control problem of the collinear three-craft coulomb formation configuration keeping at geostationary orbit is investigated. The non-linear relative kinetic model of the collinear three-craft Coulomb formation in geosynchronous orbit is established, and the control strategy of only using the Coulomb force as the control force is studied to keep the radial static stability of the collinear three-craft Coulomb formation. Based on the non-linear dynamic model, considering the unmodeled disturbance force at space environment, the adaptive control law is designed. Finally, the numerical simulation is carried out.

coulomb formation； geostationary orbit； configuration keeping； adaptive control

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372353).

2017-09-17

V448.2

A

1674-1579(2017)06-0013-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.06.003

施強(qiáng)(1993—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星庫(kù)侖力編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與控制;袁長(zhǎng)清(1974—)，男，教授，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制;孫云龍(1993—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)樾l(wèi)星庫(kù)侖力編隊(duì)動(dòng)力學(xué)與控制;于海莉(1973—)，女，副研究館員，研究方向?yàn)閳D書情報(bào)學(xué).