肖其珍　劉宏亮　歐陽自根

摘 要：本文主要探討用“心心相印”這個成語的內(nèi)涵并通過圖形來闡述形象教學(xué)法在講解數(shù)列收斂定義時的應(yīng)用。將深奧抽象的內(nèi)容與直觀形象結(jié)合，使得課堂氛圍更加活躍，課堂授課更具趣味性，從而提高教學(xué)的效率。

關(guān)鍵詞：形象教學(xué)法；數(shù)列收斂；心心相印

高等數(shù)學(xué)是高等院校理工科學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)理論課程，對學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)和提高起著舉足輕重的作為。同時，它的相關(guān)內(nèi)容也成為研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)學(xué)科中的必考內(nèi)容。因此，其教學(xué)效果的好壞將直接影響到理工科類專業(yè)的本科教學(xué)質(zhì)量以及創(chuàng)新人才的培養(yǎng)。

數(shù)列的收斂性作為高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。它貫穿于整個高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)。如可以通過學(xué)習(xí)數(shù)列收斂性來理解函數(shù)列的收斂性，進(jìn)而學(xué)習(xí)泰勒公式和泰勒級數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系等等。但是，對于大學(xué)一年級的學(xué)生而言，數(shù)列收斂定義的“ε-N”表達(dá)方式過于抽象，難于真正去理解。下面，我們先給出數(shù)列收斂的定義，其表述如下：

定義1：設(shè){an}為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對任意給定的正數(shù)ε（不論它多么小），總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時，不等式|an-a|<ε都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列{an}的極限，或者稱數(shù)列{an}收斂于a，記limn→∞an=a或an→a（n→∞）。

基于“ε-N”語言這樣的特點(diǎn)，許多任課教師都有一個“良策”，即要求學(xué)生先把定義的內(nèi)容背下來，暫且不用理解其中的含義?；蛟S這樣的做法有一定的道理，但是作者認(rèn)為這并不是一個十分恰當(dāng)?shù)淖龇āＲ驗(yàn)樵谖覀冮L期的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生在沒有真正理解概念內(nèi)涵的情況下是不能夠游刃有余地運(yùn)用好這一知識點(diǎn)的。這一點(diǎn)從學(xué)生的平時作業(yè)里面和考試的試卷里可以體現(xiàn)出來?！罢肇埉嫽ⅰ笔降睦斫馐遣荒苷莆盏街R點(diǎn)的真正涵義，更不能拓展其外延。這也正像學(xué)生所說“看答案就懂，自己做又不會”的“似懂非懂”的局面。那么，對于這一類比較抽象的概念，我們應(yīng)該怎樣去教學(xué)才能讓學(xué)生做到知其形明其義呢？

當(dāng)代著名教育家瓦·阿·蘇霍姆林斯基特別強(qiáng)調(diào)在教學(xué)過程中“把基礎(chǔ)知識保持在學(xué)生記憶里”的重要性。他認(rèn)為學(xué)生出現(xiàn)學(xué)業(yè)落后，成績不良的現(xiàn)象，是由于沒有把那些作為“地基”的基礎(chǔ)知識牢固地保持在記憶里的緣故。因此，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記憶所學(xué)的知識，從而提高學(xué)習(xí)效率是教學(xué)中不可忽視的問題。下面，我們就上述數(shù)列收斂的“ε-N”表達(dá)方式談?wù)勎覀兊慕虒W(xué)心得。

對于上述定義，如果要求學(xué)生死記硬背地把它的內(nèi)容記下來，往往會使學(xué)生產(chǎn)生反感和抵觸情緒，從而完成不了老師下達(dá)的任務(wù)（大多數(shù)學(xué)生不愿意記或記不住）。一個不爭的事實(shí)是現(xiàn)在大多數(shù)大學(xué)生的物質(zhì)生活條件比較優(yōu)越，從小受到了很好的教育，見多識廣，思維活躍。基于上述的事實(shí)，我們在講解定義1之前先提問“如何用數(shù)學(xué)語言來刻畫兩個人談戀愛”這個大學(xué)生感興趣的話題，進(jìn)而引入大家都非常熟悉的“心心相印”這個成語。這時必然會引發(fā)起學(xué)生的興奮點(diǎn)，或者至少讓學(xué)生覺得“有意思”，從而激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。接著我們利用下面的圖形進(jìn)行“看圖說話”。

我們不妨假設(shè)an和a分別代表著熱戀中的男生和女生[用上圖（1）中的心形表示]，n代表時間，單位為天。N代表著到達(dá)“心心相印”的一個時間界限（也就是你認(rèn)為兩個人相處N天以后，他們真正的心心相印了，這樣的一個時間界限）。于是他們要是真正的“心心相印”了就意味著兩顆心基本上融合在一起[圖（3）示]。此時應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是“基本融合”而不是“真正重疊”在一起。進(jìn)而引入“基本融合”的數(shù)學(xué)表示|an-a|<ε。在此過程中需要用圖（2）來強(qiáng)調(diào)必須是時間足夠大之后（即n≥N）才有意義[圖（2）還不能說是“基本融合”]。于是，我們先用文字概括一下剛才的分析過程，也即戀愛中的男女，通過相處N天以后，如果他們兩顆心的距離無限制的小，那么我們就稱他們心心相印了。這時我們就可以過渡到用數(shù)學(xué)語言來表述，對任意小的一個正數(shù)ε，當(dāng)時間足夠長之后（即n≥N）總有|an-a|<ε成立。這樣我們就用數(shù)學(xué)語言完美地描述了成語“心心相印”。從而我們就遷移到數(shù)列收斂的定義1。因此，我們只需要借助剛才的“看圖說話”再重復(fù)一遍就可以讓學(xué)生們記住了數(shù)列收斂的定義。反過來，我們還可以利用數(shù)列收斂的定義解釋一下“心心相印”就是一個收斂的過程。在我們的教學(xué)實(shí)踐中，上述的形象教學(xué)法起到了非常好的教學(xué)效果。

由此，在教學(xué)過程中只要我們能把那些抽象的內(nèi)容與直觀形象相結(jié)合，用物像、圖表等將其展示出來，觸發(fā)學(xué)生的聯(lián)想和形象思維，幫助他們理解，從而提高學(xué)習(xí)的效率。同時，這樣的形象教學(xué)法也使得課堂氛圍更加活躍，吸引學(xué)生的注意力，也能拉近師生之間的距離。所以，在日常的教學(xué)實(shí)踐中，可適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用形象教學(xué)法來幫助理解新的抽象的知識點(diǎn)。但是，我們絕對不能忽視學(xué)生抽象思維和邏輯思維能力的培養(yǎng)。從直觀上升為抽象，再從抽象到直觀，才是教學(xué)的價值和意義所在。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]瓦·阿·蘇霍姆林斯基.給教師的建議[M].北京：教育科學(xué)出版社，1984.

作者簡介：

肖其珍，劉宏亮，歐陽自根，湖南省衡陽市，湖南省南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院。