曹有亮

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引言

最近幾十年新型制導(dǎo)炸彈層出不窮，而新型制導(dǎo)炸彈的現(xiàn)代化程度越來越多地體現(xiàn)在制導(dǎo)方面。

要想提高炸彈的侵徹深度和殺傷效果，就需要炸彈以大落角擊中目標(biāo)，最好能夠達(dá)到垂直攻擊[1]。因此，適用于制導(dǎo)炸彈的帶落角約束的制導(dǎo)律研究成為近年來的一個研究熱點。 一部分學(xué)者以變結(jié)構(gòu)理論為基礎(chǔ)，通過滑模面中加入落角約束項來設(shè)計帶落角約束制導(dǎo)律，這種制導(dǎo)律能夠很好的滿足設(shè)計要求，但是存在控制量抖動問題[2]；還有一部分學(xué)者以落地速度傾角作為終端約束，以脫靶量、最小能量消耗為性能指標(biāo)，給出了一種適用于攻擊地面目標(biāo)的最優(yōu)制導(dǎo)律，同時滿足了精度和角度的要求[3]。但是，以上這些的制導(dǎo)律設(shè)計中的目標(biāo)模型都是固定的目標(biāo)，或者是二維運(yùn)動的，都不適合模擬未來將會出現(xiàn)的很多地面高速目標(biāo)的運(yùn)動。

基于此，本文首先建立一個三維彈目運(yùn)動模型，然后利用反步控制方法[4]，研究了一種適用于攻擊運(yùn)動目標(biāo)的三維帶落角約束制導(dǎo)律。

1 三維彈目運(yùn)動方程

制導(dǎo)律的研究時，可對彈目動力學(xué)特性進(jìn)行簡化，然后基于彈目三維運(yùn)動學(xué)特性進(jìn)行設(shè)計。因此在建立彈目運(yùn)動學(xué)方程前，可首先做如下假設(shè)：①導(dǎo)彈和目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系中，均可認(rèn)為是質(zhì)點；②導(dǎo)彈穩(wěn)定回路和制導(dǎo)信息獲取過程的動態(tài)特性足夠快，與制導(dǎo)回路相比可以忽略；③導(dǎo)彈和目標(biāo)的攻角很小，可以認(rèn)為彈道坐標(biāo)系和彈體坐標(biāo)是重合的；④導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度是常值，這樣導(dǎo)彈和目標(biāo)的機(jī)動加速度就可以通過彈目的法向加速度來表示[5]。

導(dǎo)彈目標(biāo)的相對運(yùn)動如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動關(guān)系Fig.1 Kinematic relation between missile and target

圖1中，x,y,z為慣性靜坐標(biāo)系；xL,yL,zL為視線動坐標(biāo)系；T代表目標(biāo)；M代表導(dǎo)彈；qε,qβ分別代表視線的俯仰角和方位角；R為彈目距離；vt，vm分別為目標(biāo)和導(dǎo)彈的速度；aMr,aMε,aMβ為導(dǎo)彈加速度在視線坐標(biāo)系3個軸上的分量；aTr,aTε,aTβ為目標(biāo)加速度在視線坐標(biāo)系3個軸上的分量。

彈目相對速度矢量在視線坐標(biāo)系3個軸上的分量為

(1)

根據(jù)速度矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)(由動靜坐標(biāo)系中質(zhì)點的牽連運(yùn)動引起)之間的關(guān)系有

(2)

則

(3)

下面先給出慣性坐標(biāo)系到視線坐標(biāo)系的變換矩陣：

(4)

(5)

將式(5)與速度向量相乘，有

(6)

將式(6)代入式(2)，可得

(7)

從式(7)中可以看到，視線的俯仰和偏航通道存在嚴(yán)重的交叉耦合。因此就需要研究一種新型制導(dǎo)律來處理這種耦合情形，且不需要太多的觀測信息，同時要結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實現(xiàn)。

2 基于反步控制法的帶落角約束制導(dǎo)律研究

在實際的對地攻擊過程中，導(dǎo)彈的速度大小一般是不可知的，只通過法向過載控制導(dǎo)彈的速度方向。導(dǎo)彈和目標(biāo)相對距離變化率小于0，只要控制視線角速率為0，就能確保命中。因此在制導(dǎo)律的推導(dǎo)過程中以0化視線角速率為目標(biāo)，可以不考慮式(7)中的第1項[6]。

(8)

對于以上非線性反饋控制系統(tǒng)，運(yùn)用反步控制方法，選取第1步李亞普諾夫函數(shù)V1[8]為

(9)

式中:P>0；tgo為剩余時間;x1為落角誤差，此函數(shù)收斂，就可以保證實際落角與期望落角之間的誤差收斂為0。

式(9)對時間求導(dǎo)，且知dtgo/dt=-1，可得

(10)

(11)

式中：q>1。

對于整個系統(tǒng)來說，可以考慮如下的李亞普諾夫函數(shù)[9]：

(12)

式中:第1項是保證實際落角與期望落角之間的誤差收斂到零;第2項是保證第1項收斂的條件，同時也保證了俯仰通道視線角速率的收斂;第3項是保證偏航通道視線角速率收斂為0。

對式(13)相對時間求導(dǎo)，可得

(13)

將式(8)代入式(13)，有

(14)

(15)

式中:g>0，整理得導(dǎo)彈加速度指令：

(16)

將式(16)代入式(13)，有

此時，李亞普諾夫函數(shù)為負(fù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定收斂到平衡狀態(tài)[11]。

(17)

式中：制導(dǎo)律aMε的第1項和第2項是來控制導(dǎo)彈俯仰通道的視線穩(wěn)定；第3項是約束導(dǎo)彈的落地角與期望落地角之間的誤差；aMβ則是控制導(dǎo)彈偏航通道的視線穩(wěn)定。由推導(dǎo)過程可知，p>0，q>1，k>0，制導(dǎo)律中參數(shù)q，k可根據(jù)此條件選擇，但是參數(shù)也不能選擇的過大，因為制導(dǎo)參數(shù)過大會放大制導(dǎo)信息中的誤差。

3 仿真結(jié)果及分析

首先通過數(shù)字仿真來進(jìn)行制導(dǎo)參數(shù)的拉偏，并對不同制導(dǎo)參數(shù)的制導(dǎo)特性進(jìn)行對比分析，得到合適的制導(dǎo)參數(shù)，然后，再對末制導(dǎo)段進(jìn)行仿真分析，驗證本文制導(dǎo)律效果[12]。

3.1 制導(dǎo)參數(shù)對制導(dǎo)效果的影響

下面對落角誤差系數(shù)和制導(dǎo)參數(shù)進(jìn)行仿真分析，以得到最優(yōu)的制導(dǎo)參數(shù)。

(1) 落角誤差系數(shù)q

落角誤差系數(shù)決定了落角誤差約束項的大小，其取值對制導(dǎo)指令的大小有很大影響[14]。選取制導(dǎo)參數(shù)k=1，落角誤差系數(shù)q分別取值1.1，1.3，1.5，1.7，2.0進(jìn)行仿真。

圖2 俯仰通道彈道曲線Fig.2 Trajectory curve of pitch channel

圖3 俯仰通道法向加速度Fig.3 Normal acceleration of pitch channel

從圖2、圖3的仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)落角誤差系數(shù)較大時，導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的初始段要求的法向過載較大，這樣造成加速度指令曲線彎曲程度大，不夠平滑。隨著落角誤差系數(shù)的較小，導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的初始段要求的法向過載逐漸變小，加速度指令曲線越來越平滑。所以，在保證落角約束能力和視線穩(wěn)定要求的同時，需要對落角誤差系數(shù)q的取值進(jìn)行折衷，在下面的仿真中取值q=1.1。

(2) 制導(dǎo)參數(shù)k

制導(dǎo)參數(shù)k對制導(dǎo)律中的視線約束項有較大影響，同時對落角誤差項也有一定的影響。選取制導(dǎo)參數(shù)q=1.1，落角誤差系數(shù)k分別取值0.5，1.0，1.5，2.0，2.5進(jìn)行仿真。

從圖4和圖5的仿真結(jié)果可以看出，制導(dǎo)參數(shù)k的取值過大時，導(dǎo)彈末制導(dǎo)段的初始段要求的法向過載較大，加速度曲線不夠平滑，雖然此時能夠保證落角約束能力和脫靶量，但同時也會放大導(dǎo)航誤差和系統(tǒng)噪聲。制導(dǎo)參數(shù)k的取值過小時，彈道末端需要的法向過載較大，同時落角約束能力也受到限制。所以，需要對制導(dǎo)參數(shù)k的取值進(jìn)行折衷，在下面的仿真中取值k=1。

圖4 俯仰通道彈道曲線Fig.4 Trajectory curve of pitch channel

圖5 俯仰通道法向加速度Fig.5 Normal acceleration og pitch channel

3.2 三自由度彈道仿真和結(jié)果分析

為了驗證本文所研究的制導(dǎo)律的有效性，更清楚的說明基于反步控制法的落角約束制導(dǎo)律的性能優(yōu)劣，在同一條件下引入如下帶落角約束的最優(yōu)制導(dǎo)律[15]進(jìn)行仿真比較。

(18)

選取地面移動目標(biāo)為攻擊目標(biāo)，對導(dǎo)彈末制導(dǎo)段進(jìn)行仿真驗證。仿真初始條件設(shè)為：導(dǎo)彈坐標(biāo)為(6，12，6)km，目標(biāo)的坐標(biāo)為(12，0，12)km，導(dǎo)彈速度vM=600 m/s，目標(biāo)速度vT=20 m/s，導(dǎo)彈最大機(jī)動能力為aMmax=10g。

對于本文所得的制導(dǎo)律，令參數(shù)q=1.1，k=1，期望落角qεf=89°，qβf=0°。令式(17)為制導(dǎo)律A，式(18)為制導(dǎo)律B，仿真結(jié)果如圖6～13所示。圖6為縮放圖，坐標(biāo)x，y，z的單位均為m。

對于側(cè)向機(jī)動目標(biāo)，目標(biāo)側(cè)向機(jī)動加速度aT=0.3g,如圖6～9所示。

圖6 攻擊側(cè)向機(jī)動目標(biāo)的三維彈目運(yùn)動軌跡Fig.6 Three-dimensional missile and target movement trajectory when attacking side-direction maneuvering target

圖7 俯仰通道加速度指令Fig.7 Acceleration instruction of pitch channel

圖8 偏航通道加速度指令Fig.8 Acceleration instruction of jaw channel

圖9 落地角變化曲線Fig.9 Changing curve of landing angle

對于蛇形機(jī)動目標(biāo)，目標(biāo)側(cè)向機(jī)動加速度aT=-0.5gsin(0.2 πt),如圖10～13所示。圖10為縮放圖，坐標(biāo)x，y，z的單位均為m。

圖10 攻擊蛇形機(jī)動目標(biāo)的三維運(yùn)動軌跡Fig.10 Three-dimensional movement trajectory when attacking snake maneuvering taget

圖11 俯仰通道加速度指令Fig.11 Acceleration instruction of pitch channel

圖12 偏航通道加速度指令Fig.12 Acceleration instruction of jaw channel

圖13 落地角變化曲線Fig.13 Changing curve of landing angle

仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計的帶落角約束制導(dǎo)律和制導(dǎo)律B在目標(biāo)機(jī)動的情況下能準(zhǔn)確的命中目標(biāo)。從脫靶量方面看，在2種目標(biāo)機(jī)動情況下，制導(dǎo)律A的脫靶量分別是0.19 m和0.17 m，制導(dǎo)律B的脫靶量分別是0.34 m和1.44 m，雖均滿足要求，但是本文所設(shè)計的制導(dǎo)律明顯對目標(biāo)機(jī)動的魯棒性更強(qiáng)。兩種制導(dǎo)律基本上都能在制導(dǎo)末端使得落地角收斂到約束值附近，彈道也能夠接近垂直擊頂。從加速度指令曲線上看，制導(dǎo)律A的指令輸出曲線平滑，略好于制導(dǎo)律B。

此外，也對固定目標(biāo)和運(yùn)動目標(biāo)進(jìn)行了仿真，本文所設(shè)計制導(dǎo)律的脫靶量和期望落角均都能很好的滿足要求。

4 結(jié)束語

導(dǎo)彈以期望落角命中目標(biāo)，制導(dǎo)律中則必須有2個控制量，一個控制落角誤差，一個控制脫靶量。然而，2個控制量之間又存在矛盾，所以要協(xié)調(diào)好2個量之間的關(guān)系。常用的方法是最優(yōu)控制理論，通過在性能指標(biāo)中加入落角約束條件和視線穩(wěn)定條件，然后求解逆里卡提(Riccati)微分方程得到最優(yōu)控制律。本文使用反步控制法和李亞普諾夫原理，對落角誤差和脫靶量分成兩步控制，求解出了新型帶落角約束的三維制導(dǎo)律，滿足了大落角約束制導(dǎo)律的設(shè)計要求，并且在對攻擊機(jī)動目標(biāo)的方面要略優(yōu)于落角約束最優(yōu)制導(dǎo)律，同時結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實現(xiàn)。

[1] 劉永善，賈慶忠，劉藻珍.電視制導(dǎo)侵徹炸彈落角約束變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律[J].彈道學(xué)報，2006，18(2)：9-14.

LIU Yong-shan，JIA Qing-zhong，LIU Zao-zhen.Variable-Structure Guiadance Law with Terminal Angular Constr aint of Video-Guided Penetrating Bomb[J].Journal of Ballist ics，2006，18(2)：9-14.

[2] SHNEYDOR N A.Missile Guidance and Pursuit[M].Sawston:Woodhead,UK,1998.

[3] Chang-Kyung Ryoo，Hangju Cho，Min-Jea Tahk.Optimal Guidance Laws with Terminal Impact Angle Constraint[J].Journal of Guidance Control & Dynamics,2005，28(4)：724-732.

[4] 賈慶忠，劉永善，劉藻珍.電視制導(dǎo)侵徹炸彈落角約束變結(jié)構(gòu)反演制導(dǎo)律設(shè)計[J].宇航學(xué)報，2008，29(1)：208-214.

JIA Qing-zhong，LIU Yong-shan，LIU Zao-zhen.Variable-Structure Backstepping Guidance Law with Terminal Angular Constraint for Video-Guided Penetrating Bomb[J].Journal of Astronautics，2008，29(1)：208-214.

[5] Gyorgy Hexner，Tal Shima.Stochastic Optimal Control Guidance Law with Bounded Acceleration[J].IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems，2007，43(1)：71-78.

[6] ZARCHAN P.Tactical and Strategic Missile Guidance[M].Virginia:AIAA，Reston,2012.

[7] Katsuhiko Ogata.Modern Control Engineering[M].Englewood Cliffs: Prentice-Hall,1970.

[8] BRYSON A E，HO Y C.Applied Optimal Control[M].Waltham:Blaisdell，1969.

[9] Gregory F Bock.Augmented Proportional Navigation Guidance Law Using Angular Acceleration MeasuremeNts[P].United State Patent,2008.

[10] Rafael T Yanushevsky.Methods and Systems for Guiding an Object to a Target Using an Improved Guidance Law[P].United State Patent,2007.

[11] Ronen Atir，Gyorgy Hexner，Haim Weiss.Target Maneuver Adaptive Guidance Law For A Bounded Acceleration Missile[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2010,33(3):695-704.

[12] Vitaly Shaferman，Tal Shima.Linear Quadratic Differential Games Guidance Law for Imposing a Terminal Intercept Angle[C]∥Guidance,Navigation,and Control,2008 AIAA Conference and Exhibit,Honolulu,2008.

[13] 孫勝，周荻.考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀動特性的三維非線性導(dǎo)引律[J].宇航學(xué)報，2009，30(3)：1052-1056.

SUN Sheng, ZHOU Di.Three-Dimensional Nonlinear Guidance Law with Consideration of Autopilot Dynamics[J].Journal of Astronautics，2009，30(3)：1052-1056.

[14] 周荻，曲萍萍.考慮導(dǎo)彈自動駕駛儀二階動態(tài)特性的有限時間收斂導(dǎo)引律[J].航空兵器，2013,30(3)：9-12.

ZHOU Di, QU Ping-ping.Finite Time Convergence Guidance Law Accounting for Second-Order Dynamics of Missile Autopilots[J].Aero Weaponry，2013,30(3)：9-12.

[15] KIM K S，JUNG B，KIM Y.Practical Guidance Law Controlling Impact Angle[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers Part G：Journal of Aerospace Engineering，2007，221(1)：29-36.