胡加敏
摘 要:隨著新課標理念的貫徹,高中數(shù)學教育改革勢在必行。筆者在本本中將就高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想方法的應用進行淺析。
關(guān)鍵詞:數(shù)形結(jié)合;高中數(shù)學;數(shù)形轉(zhuǎn)化
高中數(shù)學具有極強的邏輯性和應用性,在教學活動中,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)問題轉(zhuǎn)換為具體的幾何問題,同時還能夠?qū)碗s的幾何問題轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題,實現(xiàn)復雜問題的簡單化、抽象問題的具體化,方便學生的理解和掌握,是實現(xiàn)高中數(shù)學高質(zhì)量教學的有效思想方法。
一、數(shù)形結(jié)合的概念
數(shù)形結(jié)合思想簡而言之就是把數(shù)學中“數(shù)”和數(shù)學中“形”結(jié)合起來解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想。數(shù)形結(jié)合具體地說就是將抽象數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來,使抽象思維與形象思維結(jié)合起來,通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題。在中學數(shù)學的解題中,主要有三種類型:以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”和“數(shù)”“形”結(jié)合。
二、數(shù)形結(jié)合在集合中的應用
集合是高中數(shù)學學習過程中的一個重要單元和知識點,在很多版本的數(shù)學教材中,集合是必修教材的第一個章節(jié),是后續(xù)學習的一次方程、高次方程和多元方程的基礎(chǔ)知識支撐。通常這一章節(jié)的課程會在高中剛開學時展開,學生正處于從初中過渡到高中的階段,一方面需要轉(zhuǎn)變初中時期的學習思路,另一方面也需要為高中數(shù)學學習打下良好基礎(chǔ)。這也是學生接觸數(shù)形結(jié)合思想方法的開端,且很多集合問題通過數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法均能有效解決。
韋恩圖是集合問題中數(shù)形結(jié)合思想方法具體體現(xiàn)之一。這里以一個抽屜問題為例,三個抽屜中有小球若干,其中A抽屜中有紅球和黑球共計40個,B抽屜中有黑球和白球共計40個,C抽屜中有白球和紅球共計40個,其中紅球有30個,白球50個,黑球40個。已知條件有兩個:1.A抽屜中有紅球10個。2.B抽屜中有白球30個。問:每個抽屜中各色球有幾個。這是一個很簡單的數(shù)學集合問題,單純地使用代數(shù)方法可以解決,但是需要進行相應的計算,而將題干進行數(shù)形轉(zhuǎn)化后使用韋恩圖進行解題,則可以在讀完題干后就得到相應的答案:A抽屜中有紅球10個,黑球30個;B抽屜中有黑球10個,白球30個;C抽屜中有白球20個,紅球20個。上面通過一個很簡單的例子證明了數(shù)形結(jié)合的思想方法在集合問題中應用效果,從而達到快捷有效的解題目的。
三、數(shù)形結(jié)合在方程中的應用
高中數(shù)學會涉及高次方程和多元方程,還有包含方程在內(nèi)的不等式計算的相關(guān)問題。而方程是很多數(shù)學問題、實際問題的解決過程中重要的代數(shù)方法,然而有些時候方程的運算則較為困難,尤其是在底數(shù)方程、冪指數(shù)方程中,龐大的運算量往往會得到含有根號甚至更加復雜的答案,為了驗證答案的正確性有時需要重新解題,而這會占用大量的時間。但是如果將方程問題實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化后則很容易被理解和掌握。
四、數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應用
立體幾何一直以來是高中數(shù)學教學中的一個難點,主要是由于立體幾何完全不同于以往的幾何類型,以往的幾何題目是二維平面的,而立體幾何則是建立在三維空間的基礎(chǔ)之上,如正方形上的一個點轉(zhuǎn)化在坐標系中為(X,Y)的形式,而立體幾何中的一個點轉(zhuǎn)化在坐標系中則是(X,Y,Z)的形式,從坐標上來說變化不大,但整體的解題思路和解題方法則完全不同。立體幾何的學習不僅僅需要學生的認知能力和理解能力,還需要學生具備較強的空間想象能力,對于很多高中學生來說,立體幾何就是數(shù)學學習中的噩夢。
如果能夠掌握數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法則能夠輕松解決立體幾何問題,如要證明空間中兩條線是否垂直,如果沒有明顯適用的公理或定理可以使用,則可以將幾何問題向代數(shù)問題進行轉(zhuǎn)化,空間中的點和線時可以用三維坐標表示,如果兩線坐標乘積為0,則說明其垂直,這時復雜的幾何證明問題就被轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題。
五、數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線中的應用
圓錐曲線是高中數(shù)學教學中的另一大難點,如果以高考為標準,其一般與導數(shù)結(jié)合作為主觀題的最后一道壓軸題出現(xiàn),可見其在高中數(shù)學中的分量和學習難度。很多學生覺得圓錐曲線難以理解,這是由于其無法熟練使用數(shù)形結(jié)合的思想方法導致的結(jié)果。就筆者的經(jīng)驗來說,圓錐曲線是高中數(shù)學中必須使用數(shù)形結(jié)合的方法才能夠掌握的內(nèi)容。
對數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線問題中的應用,大體上可以總結(jié)為三點:1)將代數(shù)問題圖形化,即將題干中描述的轉(zhuǎn)化為圖形,圖形能夠?qū)㈩}干所示圓錐曲線的函數(shù)特性顯示出來,如焦點、長軸、短軸等特性,方便學生理解題干。2)結(jié)合圖形將函數(shù)進行化簡處理,并解題。3)利用圖形驗證函數(shù)解的正確性,保證結(jié)果的準確性。
六、數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應用
幾乎所有三角函數(shù)問題都可以通過數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決,如三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題,通常借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理。
結(jié)語:
數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種數(shù)學方法,更重要的是一種數(shù)學學習和數(shù)學問題解決的思路,因此高中數(shù)學教學中不能僅將數(shù)形結(jié)合的方法教給學生,更重要的是要使學生形成數(shù)形結(jié)合的思想。即學生在遇到數(shù)學問題時能夠第一時間想到數(shù)形結(jié)合的方法,將能夠數(shù)形轉(zhuǎn)化的問題進行轉(zhuǎn)化操作。
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(作者單位:安徽省望江中學)endprint