胡加敏

摘 要：隨著新課標理念的貫徹，高中數(shù)學教育改革勢在必行。筆者在本本中將就高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想方法的應用進行淺析。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學；數(shù)形轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學具有極強的邏輯性和應用性，在教學活動中，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)問題轉(zhuǎn)換為具體的幾何問題，同時還能夠?qū)碗s的幾何問題轉(zhuǎn)化為單純的代數(shù)問題，實現(xiàn)復雜問題的簡單化、抽象問題的具體化，方便學生的理解和掌握，是實現(xiàn)高中數(shù)學高質(zhì)量教學的有效思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合的概念

數(shù)形結(jié)合思想簡而言之就是把數(shù)學中“數(shù)”和數(shù)學中“形”結(jié)合起來解決數(shù)學問題的一種數(shù)學思想。數(shù)形結(jié)合具體地說就是將抽象數(shù)學語言與直觀圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學問題。在中學數(shù)學的解題中，主要有三種類型：以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”和“數(shù)”“形”結(jié)合。

二、數(shù)形結(jié)合在集合中的應用

集合是高中數(shù)學學習過程中的一個重要單元和知識點，在很多版本的數(shù)學教材中，集合是必修教材的第一個章節(jié)，是后續(xù)學習的一次方程、高次方程和多元方程的基礎(chǔ)知識支撐。通常這一章節(jié)的課程會在高中剛開學時展開，學生正處于從初中過渡到高中的階段，一方面需要轉(zhuǎn)變初中時期的學習思路，另一方面也需要為高中數(shù)學學習打下良好基礎(chǔ)。這也是學生接觸數(shù)形結(jié)合思想方法的開端，且很多集合問題通過數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法均能有效解決。

韋恩圖是集合問題中數(shù)形結(jié)合思想方法具體體現(xiàn)之一。這里以一個抽屜問題為例，三個抽屜中有小球若干，其中A抽屜中有紅球和黑球共計40個，B抽屜中有黑球和白球共計40個，C抽屜中有白球和紅球共計40個，其中紅球有30個，白球50個，黑球40個。已知條件有兩個：1.A抽屜中有紅球10個。2.B抽屜中有白球30個。問：每個抽屜中各色球有幾個。這是一個很簡單的數(shù)學集合問題，單純地使用代數(shù)方法可以解決，但是需要進行相應的計算，而將題干進行數(shù)形轉(zhuǎn)化后使用韋恩圖進行解題，則可以在讀完題干后就得到相應的答案：A抽屜中有紅球10個，黑球30個；B抽屜中有黑球10個，白球30個；C抽屜中有白球20個，紅球20個。上面通過一個很簡單的例子證明了數(shù)形結(jié)合的思想方法在集合問題中應用效果，從而達到快捷有效的解題目的。

三、數(shù)形結(jié)合在方程中的應用

高中數(shù)學會涉及高次方程和多元方程，還有包含方程在內(nèi)的不等式計算的相關(guān)問題。而方程是很多數(shù)學問題、實際問題的解決過程中重要的代數(shù)方法，然而有些時候方程的運算則較為困難，尤其是在底數(shù)方程、冪指數(shù)方程中，龐大的運算量往往會得到含有根號甚至更加復雜的答案，為了驗證答案的正確性有時需要重新解題，而這會占用大量的時間。但是如果將方程問題實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化后則很容易被理解和掌握。

四、數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應用

立體幾何一直以來是高中數(shù)學教學中的一個難點，主要是由于立體幾何完全不同于以往的幾何類型，以往的幾何題目是二維平面的，而立體幾何則是建立在三維空間的基礎(chǔ)之上，如正方形上的一個點轉(zhuǎn)化在坐標系中為（X，Y）的形式，而立體幾何中的一個點轉(zhuǎn)化在坐標系中則是（X，Y，Z）的形式，從坐標上來說變化不大，但整體的解題思路和解題方法則完全不同。立體幾何的學習不僅僅需要學生的認知能力和理解能力，還需要學生具備較強的空間想象能力，對于很多高中學生來說，立體幾何就是數(shù)學學習中的噩夢。

如果能夠掌握數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法則能夠輕松解決立體幾何問題，如要證明空間中兩條線是否垂直，如果沒有明顯適用的公理或定理可以使用，則可以將幾何問題向代數(shù)問題進行轉(zhuǎn)化，空間中的點和線時可以用三維坐標表示，如果兩線坐標乘積為0，則說明其垂直，這時復雜的幾何證明問題就被轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)問題。

五、數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線中的應用

圓錐曲線是高中數(shù)學教學中的另一大難點，如果以高考為標準，其一般與導數(shù)結(jié)合作為主觀題的最后一道壓軸題出現(xiàn)，可見其在高中數(shù)學中的分量和學習難度。很多學生覺得圓錐曲線難以理解，這是由于其無法熟練使用數(shù)形結(jié)合的思想方法導致的結(jié)果。就筆者的經(jīng)驗來說，圓錐曲線是高中數(shù)學中必須使用數(shù)形結(jié)合的方法才能夠掌握的內(nèi)容。

對數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線問題中的應用，大體上可以總結(jié)為三點：1）將代數(shù)問題圖形化，即將題干中描述的轉(zhuǎn)化為圖形，圖形能夠?qū)㈩}干所示圓錐曲線的函數(shù)特性顯示出來，如焦點、長軸、短軸等特性，方便學生理解題干。2）結(jié)合圖形將函數(shù)進行化簡處理，并解題。3）利用圖形驗證函數(shù)解的正確性，保證結(jié)果的準確性。

六、數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應用

幾乎所有三角函數(shù)問題都可以通過數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決，如三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的確定或比較三角函數(shù)值的大小等問題，通常借助于單位圓或三角函數(shù)圖象來處理。

結(jié)語：

數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種數(shù)學方法，更重要的是一種數(shù)學學習和數(shù)學問題解決的思路，因此高中數(shù)學教學中不能僅將數(shù)形結(jié)合的方法教給學生，更重要的是要使學生形成數(shù)形結(jié)合的思想。即學生在遇到數(shù)學問題時能夠第一時間想到數(shù)形結(jié)合的方法，將能夠數(shù)形轉(zhuǎn)化的問題進行轉(zhuǎn)化操作。

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（作者單位：安徽省望江中學）endprint