什么是科學(xué)的方法？如果用一句話回答，那么它應(yīng)該是“猜想與驗證”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011年版）》（以下稱為“修訂版”）特別強調(diào)，要通過多樣化的活動來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。第一學(xué)段，要求“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想”；第二學(xué)段，要求“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力”。在小學(xué)階段，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，應(yīng)當(dāng)建立在觀察、實驗的基礎(chǔ)之上；教師在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗的過程后，要適時啟發(fā)學(xué)生提出猜想或得到初步結(jié)論；由于這些結(jié)論很可能帶有一定的或然性，因此，還得進行必要的驗證。盡管驗證不同于演繹推理的嚴格的證明，但是基于歸納的猜想，未曾被驗證推翻，這樣的推理也就“合情”了；缺少了這一步，合情推理能力也難以真正得到發(fā)展。與獲得結(jié)果相比，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“觀察、實驗、猜想、驗證”的過程是最重要的?？梢?，學(xué)會“猜想與驗證”應(yīng)成為學(xué)生的自覺意識和基本能力。

一、厘清“猜想與驗證”的基本內(nèi)涵

數(shù)學(xué)方法理論的創(chuàng)導(dǎo)者波利亞對于猜想做了深入研究，著有《數(shù)學(xué)與猜想》一書。波利亞曾說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的、值得尊重的，是負責(zé)任的態(tài)度；在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位；教學(xué)必須為發(fā)明作準備，或至少給一點發(fā)明的嘗試；無論如何，教學(xué)不應(yīng)該壓制學(xué)生中間的發(fā)明萌芽。波利亞認為，在有些情況下，教猜想比教證明更重要。牛頓先生也曾說：“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

數(shù)學(xué)猜想實際上是一種數(shù)學(xué)想象，是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)時的一種策略。它是建立在已有的事實和經(jīng)驗上，運用非邏輯手段而得到的一種假定，是一種合理推理。數(shù)學(xué)猜想能縮短解決問題的時間；能獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機會；能鍛煉數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)猜想并不是胡思亂想，基本思維模式是：問題→反復(fù)思索→聯(lián)想、頓悟→提出假說→驗證結(jié)論。歷史上許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)都是經(jīng)過“猜想”這一非邏輯手段而得到的。例如著名的“哥德巴赫猜想”等。

二、審視“猜想與驗證”的價值意義

（一）有利于滲透“模型思想”

史寧中教授認為，數(shù)學(xué)思想可歸納為三個方面的內(nèi)容，可以用六個字表達：抽象、推理和模型?！澳Ｐ退枷搿笔且环N基本的數(shù)學(xué)思想。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型的建立，雖然過程簡化，但基本上也要經(jīng)歷“猜想與驗證”的過程。這就是說，小學(xué)數(shù)學(xué)中模型的建立與大學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)建模，雖然在知識層次、目標(biāo)定位、方法運用上千差萬別，但其“作出合理假設(shè)（提出猜想）—驗證結(jié)果（驗證猜想）”的內(nèi)核是一致的。所以，在小學(xué)階段滲透模型思想最有效、最直接的辦法就是大力培養(yǎng)學(xué)生“提出猜想—驗證猜想”的科學(xué)精神。對于小學(xué)生提出的猜想，無論正確與否，只要是基于他們的經(jīng)驗，FfUz3nCoxJUdHGW3xBb3M2oYH4qTcFnyFDUwKfMeNq4=經(jīng)過認真的思考，而不是胡猜亂說，教師都應(yīng)該給予積極的正面回應(yīng)。因為，真正的數(shù)學(xué)建模和科學(xué)研究一樣，沒有一猜就對、一猜就準的，往往要經(jīng)歷多次失敗。而成功的秘訣之一，就是不畏懼失敗，敢于再次提出猜想。因此，培養(yǎng)小學(xué)生猜想與驗證的精神，重點不在于他們猜得有多準，而在于使他們“敢于猜想、樂于猜想”的意識，并養(yǎng)成“主動驗證、自覺驗證”的習(xí)慣，這是體會和形成模型思想所必需的。

（二）有利于訓(xùn)練發(fā)散思維

所謂發(fā)散思維，就是想法多、點子多，不易受局限，不易拘泥于某個狹窄的范圍。所謂思維的發(fā)散力強，就是常有異想天開的主意想出來，能夠想到常規(guī)所難以達到的方面去，能夠提出別人意想不到的見解，不僅點子多，而且新穎獨到。小學(xué)生的思維方式大多是比喻的、聯(lián)想的、歸納的、形象的、直觀的。顯然，他們的歸納是不完全的，卻又是大量的。因此，在進行嚴格的收斂性思維訓(xùn)練的同時要繼續(xù)保持和發(fā)展思維發(fā)散的特點，從而使學(xué)生既會收斂、論證，又會猜測、發(fā)現(xiàn)。學(xué)生不斷學(xué)習(xí)猜想，嘗試進行猜想，有意地促使自己去猜想，做猜想的訓(xùn)練，這十分有利于培養(yǎng)和改善學(xué)生良好的思維品質(zhì)。“猜想與驗證”就好比是一座金色的大橋，它讓學(xué)生更暢快地通往前方，讓學(xué)生更聰明，讓學(xué)生有更多的機會走向發(fā)明創(chuàng)造。

（三）有利于激發(fā)創(chuàng)造力

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，是數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（實驗版）》（以下稱為“實驗版”）明確指出：“學(xué)生初步邏輯思維能力的形成，需要有一個長期的培養(yǎng)和訓(xùn)練過程，要有意識地結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進行?！薄靶抻啺妗睂ⅰ皩嶒灠妗薄敖虒W(xué)目的”中培養(yǎng)學(xué)生“初步的邏輯思維能力”修改為“初步的思維能力”。表明我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生全面的思維能力，包括邏輯思維、形象思維和直覺思維。綜觀歷年來的教學(xué)大綱與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準，對于“數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)”的認識在提高、觀念在更新，說明小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)只重視邏輯思維能力的培養(yǎng)是不夠的，還需要發(fā)展學(xué)生的形象思維和直覺思維。數(shù)學(xué)猜想實際上是一種創(chuàng)造性思維，“猜想與驗證”有利于鼓勵學(xué)生用多種思維形式思考問題，有利于學(xué)生解決問題策略的多樣化，從而可以更好地培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力。

三、探尋“猜想與驗證”的教學(xué)運用

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)，就是要選擇合適的題材，把握好教育與訓(xùn)練的時機，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例提出猜想的過程，教會學(xué)生猜想，進行合情推理，使學(xué)生獲得探究、發(fā)現(xiàn)和驗證的體驗，從而訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力。那么，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中合理運用與有機滲透呢？下面試通過具體的案例來談?wù)勛约旱慕虒W(xué)策略。

（一）歸納性“猜想與驗證”的教學(xué)運用

數(shù)學(xué)家高斯說過：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納法發(fā)現(xiàn)的，證明只是補行的手續(xù)而已?！睔w納猜想是從個別或特殊的事物的判斷，擴大為同類一般事物的判斷，這種思維過程稱為歸納猜想。教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的形成和法則的概括以及解題就應(yīng)體現(xiàn)出歸納思想，要盡量通過直觀圖形的觀察，或讓學(xué)生自己動手借助于實物的討論，在有了豐富感性認識的基礎(chǔ)上提出猜想，進而歸納出相應(yīng)的法則、性質(zhì)和公式。在新知教學(xué)中要充分展示“發(fā)現(xiàn)新知的探究過程”，充分展現(xiàn)“獲取新知的思維過程”，給學(xué)生充分的探索、歸納、發(fā)現(xiàn)的機會，培養(yǎng)學(xué)生初步的推理能力。如在教學(xué)“除數(shù)是整數(shù)的分數(shù)除法”時，有如下的教學(xué)片斷。

師：教材的圖中是一個長方形，把它涂色的部分平均分成2份，每份是這個長方形的幾分之幾？

（二）類比性“猜想與驗證”的教學(xué)運用

類比猜想是根據(jù)兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，從而猜測它們在其他方面也可能相似或相同的一種猜想。教學(xué)中，我們既要讓學(xué)生敢于自己去進行類比猜想，不怕失?。煌瑫r還要正確地指導(dǎo)學(xué)生進行合理的類比，講清原則和作用。引導(dǎo)學(xué)生用類比推理作出合理猜想，再用嚴格的邏輯推理加以驗證，這是我們數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和解決問題的基本而重要的思想方法。

在新知教學(xué)過程中，對于新舊知識緊密聯(lián)系的內(nèi)容，要抓住連接點，創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，充分調(diào)動原有知識和經(jīng)驗，使學(xué)生能借助舊知產(chǎn)生“正遷移”，憑借“猜想—驗證”的途徑，先建立“類比猜想”， 然后從不同角度來驗證猜想，利用類比猜想來“創(chuàng)造”新知。要從學(xué)生的思維實際出發(fā)，順應(yīng)學(xué)生思路而又高于學(xué)生思路，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來探索問題，充分經(jīng)歷“類比猜想”的過程，從數(shù)學(xué)猜想走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，體現(xiàn)知識的“再創(chuàng)造”過程。

1.培養(yǎng)學(xué)生主動獲取新知的能力

例如，在“平行四邊形的面積”教學(xué)中，重點是理解和掌握平行四邊形面積的推導(dǎo)過程，難點是啟發(fā)學(xué)生想到“新舊”知識的轉(zhuǎn)化。

師：先出示一個長方形（如圖1），它的面積怎樣求？

生1：長方形的面積=長×寬：6×4=24（平方厘米）

師：又出示一個平行四邊形（如圖2），它的面積怎樣求？

此時，有些學(xué)生開始認為是鄰邊相乘：6×5=30（平方厘米）。

師：你是怎樣想到的？

生2：因為長方形的面積等于長乘以寬，我猜想平行四邊形的面積也可能是鄰邊相乘。

師：剛才，同學(xué)們能借助原有的知識進行大膽猜想，這種學(xué)習(xí)精神很值得提倡。那么，這種猜想是否正確呢？下面我們一起來驗證這個猜想。

師：請同學(xué)們觀察一下，上面的長方形和平行四邊形，究竟誰的面積大？

生3：我們可以用數(shù)方格的方法來比較它們的大小。（利用多媒體覆蓋上小方格）長方形共有小方格6×4=24（個）；平行四邊形中整格的有18個，不滿一個的可以拼一拼，如圖3，一共又可以拼出6個，18+6=24（個）。

師：對于平行四邊形，怎樣數(shù)小方格可以更快些？

生4：在數(shù)平行四邊形的小方格時，我們可以沿著它的一條高剪下來（如圖4），將它移到右邊，拼成一個長方形，就能很快數(shù)出它有24個小方格。

生5：還可以沿著另一條高剪下來，也拼成一個長方形。

師：通過數(shù)方格，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：我發(fā)現(xiàn)長方形的面積和平行四邊形面積相等。

生7：我發(fā)現(xiàn)剛才的猜想是錯誤的，如果用鄰邊相乘來求平行四邊形的面積比它的實際面積偏大了。

生8：我發(fā)現(xiàn)將平行四邊形變成長方形后，它的形狀變了，但它的面積沒有變。

師：那么，究竟怎樣計算平行四邊形的面積呢？

師：（放手讓學(xué)生去探索）請同學(xué)們進行小組討論。

生9：從剛才數(shù)方格的過程中，我發(fā)現(xiàn)可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化長方形。

上述教學(xué)，我從學(xué)生的思維實際出發(fā)，順應(yīng)學(xué)生思路大膽建立猜想，進而驗證猜想，讓不同層次的學(xué)生都有發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的機會。這樣，一方面驗證了猜想是否正確；另一方面滲透了平移和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生下面獨立獲取新知（將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形）創(chuàng)造了非常重要的條件。

在鞏固練習(xí)或解題教學(xué)中，先對問題作初步的邏輯分析，然后再依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生作出逼近結(jié)論的類比猜想。最后，再加以檢驗、修改和驗證，真正做到“大膽猜想、仔細驗證”。

2.“猜想與驗證”相結(jié)合

在學(xué)習(xí)圓柱的表面積和體積之后，我出示了以下這道題。

把一個底面積為24平方厘米的正方體木塊。削成一個最大的圓柱體，然后在圓柱體的表面涂上油漆。油漆的面積是多少？

學(xué)生們議論紛紛。大家都認為要求圓柱的表面積，需要知道底面直徑（或半徑）以及圓柱的高。可這道題只告訴我們正方體的底面積是24平方厘米，底面（正方形）的邊長求不出來，怎么辦呢？

一些善于思考的學(xué)生聯(lián)想到以前做過的與今天的題目有點相似的一道題。

已知正方形的面積是10平方厘米，求正方形內(nèi)最大圓的面積。（如圖5）

當(dāng)時，我們也無法求出正方形的邊長。就設(shè)圓的半徑為r，找到了圓與正方形面積之間的關(guān)系：

S圓÷S正方形=（πr2）÷（2r）2 =πr2 ÷4r2=78.5%

上面這道題中圓柱的表面積與正方體表面積會不會也存在類似這樣的規(guī)律呢？即圓柱的表面積是不是占正方體表面積的78.5%呢？

我們就列式計算，進行驗算。設(shè)圓柱底面半徑為r，正方體的棱長為2r。

S圓柱體÷S正方體=（2πr2+2πr×2r）÷（2r×2r×6）=6πr2 ÷24r2=78.5%

說明剛才的猜想是正確的。于是，我們可以很快求出油漆的面積（圓柱的表面積）為：24×6×78.5%=113.04（平方厘米）。

此時，愛思考的學(xué)生還可以大膽猜想：題中的圓柱體的側(cè)面積占正方體側(cè)面積的百分率、圓柱體的體積占正方體體積的百分率，會不會也是78.5%呢？經(jīng)過驗證，猜想是正確的。

S圓柱側(cè)÷S正方體側(cè)=（2πr×2r）÷（2r×2r×4）=4πr2 ÷16r2=78.5%

V圓柱體÷V正方體=（πr2×2r）÷（2r×2r×2r）=2πr3 ÷8r3=78.5%

從上面可以看出：“大膽猜想”是探索規(guī)律、解決問題的重要條件。在解題教學(xué)中，我們既要讓學(xué)生大膽猜想，又要引導(dǎo)學(xué)生仔細驗證，并能依據(jù)條件或經(jīng)驗作出合理的“類比猜想”，讓學(xué)生在觀察、討論、交流、猜測的過程中，學(xué)會思考，學(xué)會推理。

（三）探索性“猜想與驗證”的教學(xué)運用

歸納性猜想和類比性猜想都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、猜想、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后再提出猜想的。波利亞曾說：“我想談一個小小的建議，可否在學(xué)生做題之前，讓他們猜想該題的結(jié)果，或者部分結(jié)果。”在解決問題時，如果能先對問題作初步的邏輯分析，然后再依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生作出逼近結(jié)論的猜想。最后，再加以檢驗、修改和驗證。我們把這種帶有探索推理性的猜想稱為探索性猜想。

波利亞曾說：“我想談一個小小的建議，可否在學(xué)生做題之前，讓他們猜想該題的結(jié)果，或者部分結(jié)果?！边@樣解題，使邏輯思維因素和非邏輯思維因素交織在一起，兩者協(xié)同作用，有利于激活思維，開闊思路，把握問題的關(guān)鍵，提高分析問題、解決問題能力。

解題教學(xué)中，既要注重算理，又要合理估計結(jié)果，并能根據(jù)條件合理作出猜想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來探索，在探索過程中經(jīng)歷“先猜想、后驗證”的體驗與經(jīng)歷，將觀察、分析、假設(shè)、驗證交織在一起，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的能力。如在數(shù)學(xué)活動課上，我出示以下一道求解題。

正方形ABCD和正方形CEFG，如圖6排列，且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影（三角形BFD）部分面積為 平方厘米。

讀完題后，學(xué)生們議論紛紛。

生1：這道題缺少條件。因為S△BDF=S正方形ABCD+

S梯形CEFD-S△ABD-S△BEF，由于小正方形CEFG的邊長未知，所以無法求出它的面積。

生2：小正方形CEFG的邊長未知？我們可以設(shè)小正方形邊長為一個具體的數(shù)，比如6，則S△BDF=10×10+（10+6）×6÷2-10×10÷2-（10+6）×6÷2=50（平方厘米）。

師：假設(shè)具體數(shù)進行運算，會懷疑題目是否缺少條件，我們不妨設(shè)一個字母參加運算，看能不能得到同樣的答案。

生3：于是將6換成字母a，列出算式：S△BDF=10×10+（10+a）×a÷2-10×10÷2-（10+a）×a÷2=50（平方厘米），算式中畫“ ”部分可以相互抵消，求得結(jié)果還是50平方厘米。

師：是啊，字母a在計算過程中消失了！

生4：說明答案與小正方形邊長的大小無關(guān)。

生5：50平方厘米正好是大正方形面積的一半。

生6：我猜想陰影部分BDF與BCD的面積相等。

師：那么，這個猜想是否正確呢？（請小組討論）

S△BEF=BE×EF÷2=（BC+CE）×EF÷2

S梯形CEFD=（EF+CD）×CE÷2

BC=CD CE=EF

所以，三角形BEF與梯形CEFD面積相等，兩者同時去掉公共部分梯形CEFH的面積，得到的△BCH與△DFH面積相等。

即S△BDF=S△BCD=10×10÷2=50（平方厘米）。

師：可見，要求陰影部分的面積，實際就是求三角形BCD的面積。

在上面的教學(xué)中，教師給學(xué)生提供了自主探索的機會，讓學(xué)生在觀察、討論、交流、猜測的過程中，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，從中探索規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去分析、解決問題，逐步培養(yǎng)了學(xué)生探索和解決問題的能力。教學(xué)中，既讓學(xué)生說算理，又引導(dǎo)學(xué)生估計結(jié)果，并能依據(jù)條件作出“合理猜想”，從中學(xué)會科學(xué)的思維方法。

綜上所述，讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、猜想和驗證的過程，合理有機地滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生初步的數(shù)學(xué)推理能力，有利于從小培養(yǎng)學(xué)生確立科學(xué)態(tài)度和學(xué)習(xí)科學(xué)的思維方法。

（作者單位：江蘇省丹陽市華南實驗學(xué)校）

（責(zé)任編輯：楊強）