鄒國(guó)平

摘要：數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中居于指導(dǎo)地位，本文通過(guò)闡述一些常見數(shù)學(xué)思想方法的特點(diǎn)，并通過(guò)一些典型例題來(lái)加深對(duì)思想方法的理解。從而培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：思想方法；數(shù)形結(jié)合；分類討論；特殊到一般；轉(zhuǎn)換與化歸

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)解題的靈魂，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占據(jù)核心地位?，F(xiàn)在的高考題目，都注重考查數(shù)學(xué)的基本思想方法。要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須要掌握一些必要的思想方法。如此，才能從理論的高度去把握數(shù)學(xué)題目，才能使我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)做到得心應(yīng)手。高中數(shù)學(xué)的思想方法還是比較多的，下面就簡(jiǎn)要論述以下四種思想方法。

一、 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的方法是非常重要的?；旧?，數(shù)學(xué)的每一個(gè)模塊的學(xué)習(xí)都離不開它。它貫穿了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它的作用顯得尤為突出。比如在集合中，我們常借助于“韋恩圖”來(lái)描述集合中的各種包含關(guān)系，非常的直觀、易懂，這就是圖形的一大優(yōu)點(diǎn)。又比如在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，我們常利用函數(shù)的圖像來(lái)研究函數(shù)的各種性質(zhì)。例如：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性等一些重要的性質(zhì)，在圖像上是一目了然的。通過(guò)圖像，我們?cè)诮忸}時(shí)就有了很好的參照，不容易出錯(cuò)。離開了圖像，宛如是無(wú)源之水。反之，我們?cè)谘芯繄D像時(shí)，有時(shí)也利用代數(shù)的方法。解析幾何的創(chuàng)立即是用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。利用代數(shù)，可以加深我們對(duì)于圖形的理解。有的幾何題目，可以利用代數(shù)來(lái)解答。反之，一些代數(shù)題，也可以給出一個(gè)巧妙的幾何證明。比如，在數(shù)學(xué)史上享有盛譽(yù)的勾股定理，即畢達(dá)哥拉斯定理的證明。又如在蘇教版必修5中基本不等式的證明均是如此。由此可見，數(shù)與形是相輔相成的，它們之間是互相促進(jìn)的。在研究問(wèn)題時(shí)切不可將二者孤立開來(lái)。

在利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決問(wèn)題時(shí)，有時(shí)用起來(lái)是比較自然的，關(guān)鍵是圖形的位置關(guān)系要刻畫準(zhǔn)確。例如考察方程sinx=lgx根的個(gè)數(shù)時(shí)，直接解方程比較困難，則自然想到，可以轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sinx與對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。緊接著在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像，并且在畫圖的時(shí)候要注意到y(tǒng)=sinx是周期函數(shù)，其最大值是1。而y=lgx在定義域上是單調(diào)遞增的，且過(guò)點(diǎn)（10，1），這樣可以得到它們的圖像有3個(gè)交點(diǎn)。而有的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合的思想在題目中隱藏地比較深，此時(shí)需要具備敏銳的觀察力。

例1求函數(shù)y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值。

該題學(xué)生很難入手，用代數(shù)方法較難解決。此時(shí)由該式的特點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察該式的幾何意義。為此，x2-2x+2=（x-1）2+1=（x-1）2+（1-0）2，聯(lián)想到平面上兩點(diǎn)間的距離公式，它表示點(diǎn)（x，1）到點(diǎn)（1，0）的距離。同理，后面一個(gè)式子可表示為（x，1）到（3，3）的距離。所以，原式可表示（x，1）到（1，0），（3，3）的距離之和。再結(jié)合圖形，易得ymin=13。

當(dāng)然，對(duì)此類題目要熟練運(yùn)用，需要我們對(duì)一些公式的結(jié)構(gòu)要熟練掌握。如點(diǎn)到直線的距離、平面上兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式，正余弦定理等。

二、 分類討論

分類討論的思想在我們高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用也是相當(dāng)廣泛的，屬于高考中必考的思想方法。每年高考中都會(huì)涉及有關(guān)分類討論方面的題目。然而許多同學(xué)在解答過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)漏解、討論不完整的現(xiàn)象。當(dāng)我們?cè)谂龅侥硞€(gè)問(wèn)題時(shí)，若是發(fā)現(xiàn)題目中包含的情況比較多，解決起來(lái)不能夠一蹴而就時(shí)，此時(shí)不能束手無(wú)策，而應(yīng)該想到去分類討論。當(dāng)然，我們?cè)诰唧w操作時(shí)關(guān)鍵應(yīng)該思考分類的原因是什么，即為什么要去分類。還有就是按什么去分類。通俗地講，就是要解決為什么分，怎么分的問(wèn)題。從哲學(xué)的角度來(lái)講，分類討論思想也體現(xiàn)了哲學(xué)上看問(wèn)題全面性的思想。當(dāng)然，具體操作起來(lái)有時(shí)是蠻困難的，需要同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)逐漸去培養(yǎng)這種思想，提高周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)修養(yǎng)，以防止做題時(shí)片面化的操作。

例2在△ABC中，設(shè)AB=（2，3），AC=（1.k）。且△ABC是直角三角形，求k的值。

該題學(xué)生若是疏忽大意的話，就會(huì)誤以為角A是直角，其實(shí)題目中未明確哪個(gè)角是直角，情況并不唯一，這就是分類的原因。具體分類時(shí)則應(yīng)根據(jù)A，B，C分別為直角時(shí)，分三類將直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積相乘等于零來(lái)解決即可。

此外對(duì)于一些常見的討論問(wèn)題，我們應(yīng)該了然于胸，以幫助我們熟練、快速、準(zhǔn)確地解決問(wèn)題。比如說(shuō)在解決含有字母的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題時(shí)，要按照對(duì)稱軸與區(qū)間的位置來(lái)討論；求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，在題目上未明確公比不是1時(shí)，則要分公比是否為1來(lái)討論；求橢圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，往往要分其焦點(diǎn)在x軸還是在y軸上來(lái)討論；過(guò)點(diǎn)設(shè)直線時(shí)候也應(yīng)該先考慮斜率是否存在。這方面的例子是不勝枚舉的，需要平時(shí)多去總結(jié)積累。當(dāng)然，我們?cè)诜诸愑懻摃r(shí)應(yīng)做到不重復(fù)，不遺漏。有時(shí)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是多角度的，應(yīng)該選擇合適的角度去分析解決問(wèn)題?？傊?，我們要求學(xué)生在平時(shí)遇到討論問(wèn)題時(shí)，一定要思考：為什么要分？分類的標(biāo)準(zhǔn)又是什么？這樣，才能提高他們思維的嚴(yán)密性和深刻性。

三、 特殊到一般

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，還有一種重要的思想方法，即從特殊到一般的方法。用華羅庚教授的話來(lái)說(shuō)，學(xué)好數(shù)學(xué)的訣竅是：善于退，大膽地退，足夠地退，一直退到最原始而又不失原本的地方。這里面蘊(yùn)含著非常深刻的哲理，因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)題目，我們是不可能一下子就能夠找到思路，給出解答的。此時(shí)就應(yīng)采取以退為進(jìn)的方法，先把基本的，特殊的問(wèn)題搞清楚了，再去深入往往會(huì)收到意想不到的效果。比如讓我們證明：任何面積等于1的凸四邊形的周長(zhǎng)與兩條對(duì)角線長(zhǎng)之和都不小于4+8，那我們應(yīng)該先去研究最特殊的正方形，把正方形搞清楚了，我們就會(huì)意識(shí)到，將面積和對(duì)角線分開來(lái)看。這樣一步一步逐漸地去深入，問(wèn)題便能夠迎刃而解。

例3已知a，t為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2-2x+a，且對(duì)任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]。若對(duì)每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，記t的最大值為g（a），則函數(shù)g（a）的值域?yàn)?。endprint

此題的難度較大，有的學(xué)生讀了幾遍之后可能還看不懂。這時(shí)候應(yīng)該根據(jù)題目上的條件，即若對(duì)每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，記t的最大值為g（a）這句話聯(lián)想到特殊化的思想。先將a取特殊值1，即t為正實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2-2x+1，且對(duì)任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-1，1]，記t的最大值為g（1）。則題目中字母得到了減少。再結(jié)合圖像就容易理解題目的意思，接著再思考一般的情形，就會(huì)有明確的思路了。

平時(shí)我們?cè)谧鲱}目中，有些大題目第一問(wèn)是一個(gè)特例，第二問(wèn)是一個(gè)一般性的結(jié)論。我們?cè)谧龊笠粏?wèn)的時(shí)候，若是感到無(wú)從下手，則應(yīng)該再看看前一問(wèn)有沒有幫助，第一問(wèn)的解答過(guò)程有沒有什么啟示。有可能它們所展示的思想方法是一樣的，從而幫助我們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題。

此外，對(duì)于像是否存在某個(gè)字母，使得該數(shù)列成等差或是等比數(shù)列的題目，我們可以通過(guò)它的前三項(xiàng)成等差或是成等比來(lái)求出該字母，并進(jìn)而去嚴(yán)格驗(yàn)證?？梢哉f(shuō)，這方面的例子是非常多的。即先通過(guò)一個(gè)特例將結(jié)果先確定下來(lái)，必要時(shí)再去證明。我們可以在實(shí)踐中去不斷地體會(huì)到它的精妙之處，它足以讓我們慢慢回味。同時(shí)我們?cè)诳紤]數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)還應(yīng)注意到整體性和特殊性兩個(gè)方面，并在具體地審題過(guò)中不能將它們孤立開來(lái)。

四、 轉(zhuǎn)換與化歸

此外，轉(zhuǎn)換與化歸的思想在解題中的應(yīng)用也很廣泛。我們碰到一些陌生的新問(wèn)題時(shí)，若是直接求解比較困難，往往是想方設(shè)法通過(guò)換元、代入、消元等一些具體的操作轉(zhuǎn)換為我們熟悉的問(wèn)題。而有時(shí)是把一些較難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，逐個(gè)解決。解題常用的轉(zhuǎn)化策略有正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化等。

例4集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x，y∈R}求集合M∩N中元素的個(gè)數(shù)。

該題關(guān)鍵是將M∩N中元素的個(gè)數(shù)的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的文字語(yǔ)言：圓與拋物線x2-y=0的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，接著在坐標(biāo)系中作出它們的圖像即可解決問(wèn)題。

例5在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+2k+1上有兩個(gè)不同的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，求k的取值范圍。

此題直接做感覺無(wú)從下手，細(xì)想之后可以從題目上的后半句話著手，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，則該點(diǎn)就在以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上，而這點(diǎn)還在原直線上。最終就轉(zhuǎn)化為了直線和圓存在公共點(diǎn)。問(wèn)題就變?yōu)槲覀兪煜さ念}目，再通過(guò)圓心到直線的距離不大于半徑來(lái)解決。

有時(shí)我們?cè)谧鲱}時(shí)卡殼了，認(rèn)真思考后，經(jīng)過(guò)這么一轉(zhuǎn)化，那么一化歸，往往會(huì)豁然開朗。可謂是山重水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村。當(dāng)然，要想熟練地運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的方法，必須建立在扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上。否則就宛如空中之樓閣，非常地虛無(wú)縹緲，一切都是空談。

以上四種思想方法是高中數(shù)學(xué)常見的思想方法，而有的時(shí)候，我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中，可能會(huì)需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能解決問(wèn)題。需要我們引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)多積累，多鉆研，才能夠切實(shí)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

總之，我們教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該有意識(shí)地去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生做好解題后的反思工作。找到題目中所蘊(yùn)藏的思想方法。進(jìn)而要求他們用數(shù)學(xué)的思想方法來(lái)武裝自己，不斷提高自己分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。這樣，學(xué)生數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)才能得到有效地提高。endprint