田利劍 祝存建

構(gòu)建生態(tài)和諧課堂
——“基本不等式證明”教學(xué)設(shè)計

田利劍1祝存建2

重視概念和公式的生成過程，重視學(xué)生的元認(rèn)知，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)概念課的首要任務(wù)。這就需要在教學(xué)過程中營造一種平等、自由的課堂教學(xué)氛圍，讓學(xué)生在課堂中自由發(fā)揮才能，使得師生在一種輕松、和諧的課堂氛圍中自然成長。

數(shù)學(xué)思維；課堂教學(xué)；高中數(shù)學(xué)

現(xiàn)階段很多教師在教學(xué)中講究“套路”，對概念教學(xué)片面重視概念公式的應(yīng)用、輕視概念和公式的生成過程，忽視學(xué)生的元認(rèn)知，讓學(xué)生將鮮活的數(shù)學(xué)知識變成一個又一個的“套路”儲存在記憶之中，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動單純地成了記憶活動，這是不可取的，需要加以改變。為此，筆者認(rèn)為注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)概念課的重要任務(wù)之一。

“基本不等式證明”一課的教學(xué)重點(diǎn)是在課堂中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不等式，并對所得不等式給出證明和幾何解釋。在實(shí)際教學(xué)過程中筆者決定放棄預(yù)習(xí)案，將課堂教學(xué)分為五個階段：第一個階段的任務(wù)目標(biāo)是引入基本不等式；第二個階段的任務(wù)目標(biāo)是證明基本不等式；第三個階段的任務(wù)目標(biāo)是探索基本不等式的幾何解釋，以此深化學(xué)生對不等式的理解；第四個階段的任務(wù)目標(biāo)是基本不等式的應(yīng)用；第五個階段是對整個課堂的回顧總結(jié)。在每一個活動中讓學(xué)生在自然、開放的氣氛中充分發(fā)揮自己的探究能力，提高思維水平，進(jìn)而提升解決問題的能力。以下是筆者的教學(xué)設(shè)計。

1.創(chuàng)設(shè)問題情境。

有一個聰明的同學(xué)到某金店購買黃金，金店里只有一架制造不夠精確的天平 （只有臂長不等），店主分別把黃金放于左右兩盤各稱一次，分別稱得黃金重量為a克和b克。店主笑著對同學(xué)說：黃金的重量是克。

問題1-1：你同意店主的做法嗎？

問題1-2：如何找出實(shí)際重量？你能把這個問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題嗎？

【師生活動】學(xué)生小組討論，分組發(fā)表觀點(diǎn)。（可以借鑒指數(shù)函數(shù)的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生特殊到一般的研究思想。）

（設(shè)計意圖:從實(shí)際情境入手，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過學(xué)生自主探究與展示，教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題。在實(shí)際上課時，學(xué)生預(yù)習(xí)得比較充分，直接說出教師則追問這兩個量分別代表什么，再利用杠桿原理求出黃金的實(shí)際重量，舍棄了用賦值法比大小、猜大小的預(yù)設(shè)，直接給出一般性的猜想。）

2.發(fā)現(xiàn)新知。

【師生活動】注意引導(dǎo)學(xué)生借鑒函數(shù)單調(diào)性的證明方式，進(jìn)行作差比較。學(xué)生動手實(shí)踐，請學(xué)生代表展示證明過程，挖掘不等式中等號成立的條件。

（設(shè)計意圖：通過具體問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、動手實(shí)踐以及團(tuán)隊協(xié)作的能力。通過小組討論讓學(xué)生的思維碰撞出火花，從而得到不等式的相應(yīng)證明方法。）

問題2-2：還有沒有其他的證明方法呢？

（設(shè)計意圖：通過特值檢驗(yàn)獲得結(jié)論，并進(jìn)行嚴(yán)格證明。通過小組活動的形式對基本不等式的證明方式進(jìn)行探究，初步引導(dǎo)學(xué)生了解證明中的分析法、綜合法。）

問題2-3：這架天平稱出的黃金質(zhì)量有沒有可能正確呢？

（設(shè)計意圖：回歸問題情境，通過不等臂天平兩次稱量質(zhì)量a、b不可能相等這一事實(shí)強(qiáng)化學(xué)生對不等式中等號成立條件的理解。實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生可能會給出多種證明方法，教師要適當(dāng)點(diǎn)評，讓學(xué)生熟悉基本不等式，并注意到基本不等式等號成立的條件和掌握不等式的常用證明方法。）

3.深化對新知的理解。

問題3-1：兩個正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系？它們可能相等嗎？

問題3-2：如果a，b不全為正數(shù)，不等式還成立嗎？

問題3-3：我們從數(shù)的角度研究了基本不等式，通過圖1你能給出基本不等式的幾何解釋嗎？

問題3-4：你能用兩個等腰直角三角形拼成一個圖形給出基本不等式的幾何解釋嗎？（腰長分別為

問題3-5：如果上述兩個等腰直角三角形的腰長分別為a、b，你能得到什么結(jié)論呢？類似的你能得到其他不等關(guān)系嗎？

（設(shè)計意圖：以形輔數(shù)，在圖形中直觀地觀察出基本不等式相關(guān)量之間的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造出代表的量，找到在圖形中的幾何意義。在教學(xué)過程中筆者采用了問題3-3和3-4的兩種方法，原因在于第一種方法通俗易懂，第二種方法可以揭示基本不等式的本質(zhì)，有利于基本不等式的應(yīng)用。問題3-5則是讓學(xué)生學(xué)會舉一反三，教師可在教學(xué)中依據(jù)學(xué)生的回答總結(jié)出：基本不等式可總結(jié)為其中Δ，□可為具體數(shù)字或代數(shù)式，只要滿足條件Δ，□均非負(fù)即可。）

4.數(shù)學(xué)應(yīng)用。

（設(shè)計意圖：通過例題對基本不等式進(jìn)行應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基本不等式使用時應(yīng)滿足“正”，“等”的條件。）

5.回顧總結(jié)。

（1）知識結(jié)構(gòu)圖。

（2）思想方法：數(shù)形結(jié)合的思想以及化歸的思想方法。

美國心理學(xué)家羅杰斯說過：“創(chuàng)造活動的一般條件是心理安全和心理自由，只有心理安全才能導(dǎo)致心理自由，也才能導(dǎo)致學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性?！币寣W(xué)生在課堂教學(xué)中充分地暴露自己的思維就要讓學(xué)生敢想、敢說，這需要我們在教學(xué)過程中營造一種平等、自由的課堂教學(xué)氛圍，讓學(xué)生在課堂中自由發(fā)揮才能進(jìn)行創(chuàng)新創(chuàng)造。在教學(xué)中將師生的思維如視頻圖像一般呈現(xiàn)出來，使得師生在一種輕松、和諧課堂氛圍中自然成長。

［1］石志群.對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個問題的思辨［J］.教學(xué)研究與評論，2016（11）.

［2］肖凌贛.基本不等式的教學(xué)導(dǎo)入研究［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（04）.

［3］袁泉潤.“重要”不等式為何改為“基本”不等式［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（09）.

［4］鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0028-03

1.田利劍，江蘇省如皋市第一中學(xué)（江蘇如皋，226500）教師，一級教師，南通市骨干教師；2.祝存建，江蘇省如皋市第一中學(xué)（江蘇如皋，226500）校長辦公室主任，一級教師，南通市骨干教師。

【團(tuán)隊推薦】

本課教學(xué)依據(jù)學(xué)生、教材實(shí)際，遵循教學(xué)設(shè)計問題化，教學(xué)過程活動化。在充分考慮學(xué)科知識的科學(xué)性、系統(tǒng)性的前提下，對教材進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整重組，以五個環(huán)節(jié)展示教學(xué)流程，以學(xué)生學(xué)習(xí)活動為中心，不斷進(jìn)行嘗試與探究。變式練習(xí)由易到難，循序漸進(jìn)，讓思維在問題解決中得到發(fā)展，使學(xué)生在探索問題的過程中，親歷數(shù)學(xué)對象的發(fā)展過程，感受數(shù)學(xué)求真求美的思維特質(zhì)。筆者總結(jié)這節(jié)課有以下幾個亮點(diǎn)：

1.教學(xué)線索清晰，定位準(zhǔn)確。

教學(xué)中以基本不等式的獲得和應(yīng)用為明線，以數(shù)學(xué)思想方法的滲透和體會為暗線。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)和教學(xué)中，明暗線索交相呼應(yīng)，學(xué)生不斷地在學(xué)習(xí)知識的過程中體會數(shù)學(xué)思想方法的作用，甚至能在例題教學(xué)中嘗試讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法策略性地思考和學(xué)習(xí)，學(xué)生在知識學(xué)習(xí)的同時更對數(shù)學(xué)有認(rèn)識上的提升，這就使得學(xué)生的學(xué)習(xí)過程自然流暢。

2.以動促思，將所研究的內(nèi)容“可視化”。

數(shù)學(xué)高度的抽象性和形式化特征，使其極易脫離現(xiàn)實(shí)生活。作為教育的數(shù)學(xué)應(yīng)該將數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)作活動來對待，讓學(xué)生通過操作“實(shí)驗(yàn)”，以動促思，將所研究的內(nèi)容“可視化”，調(diào)動多種感官參與學(xué)習(xí)，進(jìn)而對其適度抽象，獲得數(shù)與形的觀念，創(chuàng)造性地“再發(fā)現(xiàn)”知識，體會數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展的過程?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出“動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，因此，教師從基本不等式的幾何背景入手，讓學(xué)生進(jìn)行拼圖實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)一個與理性學(xué)習(xí)內(nèi)容密切聯(lián)系的學(xué)習(xí)情境，一個現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)化過程，讓學(xué)生直觀地感受基本不等式的形式，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，激發(fā)他們?nèi)ァ霸賱?chuàng)造”數(shù)學(xué)知識，營造了一個和諧生態(tài)的課堂。

3.由形到數(shù)，活化學(xué)生思維。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)活動，既要注重學(xué)生通過操作活動，獲得直觀經(jīng)驗(yàn)與感性認(rèn)識，又要注重問題的數(shù)學(xué)化，使學(xué)生從形式中獲得重要的數(shù)學(xué)信息，對已有經(jīng)驗(yàn)抽象概括并適度形式化，最終達(dá)到對數(shù)學(xué)定理的意義建構(gòu)。

在田老師的教學(xué)中，諸如“今天所學(xué)的不等式可以看成當(dāng)a≥0，b≥0時，在不等式ab中，以分別代替a，b得到的。到此為止，可以得出‘基本不等式’的本質(zhì)（邏輯起點(diǎn)）是實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性?！薄盎静坏仁降慕Y(jié)構(gòu)形式為另一不等式的結(jié)構(gòu)形式為可以填數(shù)或式。請同學(xué)們自己來填替代Δ，□的數(shù)或式，可以得到什么？”等等的總結(jié)和引導(dǎo)性話語既加深了學(xué)生對基本不等式的本質(zhì)特征的認(rèn)識理解，又為不等式的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)，同時也培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會運(yùn)用變化的觀點(diǎn)看待事物的能力。

課堂教學(xué)是教師、學(xué)生、文本展開的心靈對話。因教師精心、有計劃的預(yù)設(shè)而提升，因?qū)W生動態(tài)、不可重復(fù)、創(chuàng)新的生成而和諧、精彩！

（推薦人：祝存建）