嚴必友
過程生動 思維真實 體悟真切
——兼評張亮執(zhí)教的“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課
嚴必友
在教學中如何準確地把握教學的起點、設計恰當?shù)牟牧虾蛦栴},往往是能否啟動學生思維活動的關鍵所在。針對張亮老師在“三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學中創(chuàng)設問題情境、激發(fā)學生思維、自主思考探究等環(huán)節(jié)的具體實施,闡述了數(shù)學教學的幾個關鍵點和教學建議。
三次函數(shù);數(shù)學思想;課例評析
2017年5月7日至9日,我有幸參加了第12屆江蘇省“杏壇杯”蘇派青年教師課堂教學展評活動的評審工作。這次活動的主題是“人在課中央”,這是對人與課堂、人與課程、人與教學辯證關系的形象、深刻而又精到的表達,充分體現(xiàn)了新課標所倡導的“以人為本”的教育理念。一方面,這里的“人”不僅包括學生,也包括教師本身,師生在課堂中同生共長,相互促進,相互推動,教學相長;另一方面,“課”是一個載體,一個平臺,學生不僅學習課程,也在生發(fā)課程,豐富課程;所有的教學環(huán)境、設備、內(nèi)容、手段、方法等皆應服務于人,服務于人的發(fā)展,讓學習活動真正發(fā)生。
南京市第一中學張亮老師執(zhí)教的“三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”一課,很好地體現(xiàn)、落實了“人在課中央”這一主旨精神,基于學情,從學生出發(fā);創(chuàng)設情境,從問題出發(fā);調(diào)動學生,讓學生真正參與;因材施教,體現(xiàn)差異和選擇;注重思想滲透、規(guī)律總結,讓學生在課堂有實實在在的“增值”。張老師在課堂上設計了6個問題,以這6個問題貫穿了整個教學內(nèi)容。下面擇要進行分析。
在蘇教版教材中,三次函數(shù)是函數(shù)研究的一個重要載體。在必修1第3章中的 “冪函數(shù)與函數(shù)的應用”、理科選修2-2、文科選修1-1中“導數(shù)應用”的教學中,有很多問題都是以三次函數(shù)為載體進行研究的。所以,很有必要以三次函數(shù)為專題研究對象,對三次函數(shù)進行學習研究,讓學生比較系統(tǒng)、全面地掌握它的圖象和性質(zhì)。同時,學生在學習了導數(shù)以后,也為研究三次函數(shù)提供了有效的方法和工具。
本節(jié)課學習是以導數(shù)研究函數(shù)的方法為主線,探索三次函數(shù)的圖象特征和相關性質(zhì)。一方面引導學生對三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行探索、梳理和總結,另一方面進一步理解導數(shù)思想,掌握用導數(shù)研究函數(shù)的基本方法,其研究過程和方法具有普適性、一般性,可以遷移到其他函數(shù)的研究中,研究過程也是學生體驗數(shù)形結合、分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想與方法應用的過程。
學生在先前已經(jīng)學習了導數(shù)的概念、運算,對導數(shù)在研究函數(shù)(單調(diào)性、極值與最值)中的應用有了初步的認識。學生已經(jīng)了解了一些具體的三次函數(shù)(比如y=x3)的圖象和性質(zhì),也具有了一定的分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等意識和能力。
但是學生還缺乏對一般意義上的三次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)的整體認識,需要在思考、探究、合作、交流中逐步完成對三次函數(shù)圖象特征和相關性質(zhì)的直觀認識與理性思考,形成完整的知識架構。
學生尚未完全掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的一般方法,尤其是對不熟悉、較為復雜的函數(shù)的研究,而且研究過程中需要應用到許多與之相關聯(lián)的知識與方法。所以,應該通過具體問題的實際操作,讓學生經(jīng)歷具體的思考、研究過程,提高學生分析判斷、解決問題的能力,體驗數(shù)形結合、分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法。
我們看到,在上述學情的背景下,張老師達到了以下教學目標:1.從具體問題出發(fā),讓學生經(jīng)歷三次函數(shù)圖象特征和性質(zhì)的研究過程,掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的一般方法,體驗數(shù)形結合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法;2.在理解導函數(shù)值的正負與原函數(shù)單調(diào)性關系的基礎上,掌握三次函數(shù)的圖象特征和相關性質(zhì)及其應用;3.通過三次函數(shù)圖象和性質(zhì)的探究,經(jīng)歷從簡單到復雜、具體到抽象的過程,培養(yǎng)學生自主探究、樂于探索的良好品質(zhì),以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的意識與能力。
張老師設計的6個問題,針對教學的不同環(huán)節(jié),各有側(cè)重。以前3個問題為例,第1個問題是畫出函數(shù)f(x)=x2+2x-3的大致圖象。由學生各自在練習紙上作圖,教師查看、指導,了解、記錄他們各自的思路和方法。學生已經(jīng)學習過二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),在此基礎上通過對具體二次函數(shù)大致圖象作圖方法的討論,明確作圖的常用方法。三次函數(shù)的研究需要借助于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),這里也為下一步研究做了知識和方法上的鋪墊。
第2個問題的教學片段如下。
師:借助二次函數(shù),可以研究什么函數(shù)呢?
教師故作驚訝,未置可否。有的學生表示贊同,有的學生流露出疑惑的眼神。
師:d是什么?
生2:d是任意常數(shù)。
師:為什么?你是如何得到的?
生2:這個問題等于是求一個新函數(shù),它的導數(shù)是 f(x)=x2+2x-3,那它應該是一個三次函數(shù),我用待定系數(shù)法求出了這個函數(shù),它的導函數(shù)就是這個二次函數(shù),而且它具有一般性。
這里是一次非常重要而且有價值的拓展,學生實際上解決了一個求不定積分的問題,而且運用的是簡單的待定系數(shù)法。尤其對常數(shù)項不確定的討論體現(xiàn)出思維的深刻和嚴密。
第3個問題是探索三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的圖象和性質(zhì)。這一問題的求解對學生具有很大的挑戰(zhàn)性,通過對導函數(shù)判別式的分類討論,先研究導函數(shù)圖象與x軸的關系,從其開口方向以及與x軸的交點個數(shù)探求出原函數(shù)的大致圖象和性質(zhì),這體現(xiàn)了從具體到抽象、從特殊到一般的認知規(guī)律,有助于學生從一般意義上理解并把握問題的本質(zhì)。
在學習研究了一般三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎上,學生對解決問題的一般方法已經(jīng)有了大致的了解,此時,需要對學生的掌握情況進行反饋和鞏固,以發(fā)現(xiàn)問題、及時矯正。為此,張老師提供了一道例題,供學生探討。教學過程如下。
已知函數(shù) f(x)的導數(shù) f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b,a,b 為實數(shù),1<a<2。
(1)若 f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值,并作出函數(shù)的圖象;(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點 P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線 l的方程;
學生練習,教師巡查指導。
教師用投影展示學生的求解過程:
由 f′(x)=0,得 x1=0,x2=a。
∵x∈[-1,1],1<a<2,
∴ 當 x∈(-1,0]時,f′(x)>0,f(x)遞增;
當 x∈(0,1]時,f′(x)<0,f(x)遞減。
∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為 f(0)=b,∴b=1。 (圖象略)
我們看到,這是一道應用鞏固題,既對三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)起到了反饋鞏固的效果,又聯(lián)系了有關導數(shù)研究函數(shù)的基本方法,使新舊知識相互關聯(lián),融為一體,從而幫助學生深化理解,提升能力。
聽完了張亮老師的這一節(jié)課,給了我很多的啟發(fā)和思考。我想到了當前的課堂,想到了數(shù)學教學,想到了學生數(shù)學學習的困難和艱辛。
縱觀本節(jié)課的教學過程,其主要內(nèi)容是以導數(shù)研究函數(shù)的方法為主線,探索三次函數(shù)的圖象特征和相關性質(zhì),并且在具體問題的應用中進行消化、鞏固。學習過程是一個不斷提出問題、解決問題的過程,學生在不斷分析問題、解決問題的過程中學會思考、探究、總結、提升,思維不斷被激發(fā),有了真實的思維參與、感受體驗和深度學習。
首先,如何讓每一個學生的學習活動都能真正發(fā)生?要因材施教,關注每一個學生的學習背景和學習方式,充分考慮到學習內(nèi)容的差異性和選擇性。教師在備課時要充分考慮到學生的客觀實際,精心設計不同的問題、材料和情境,并對學生的學習活動作出預判和準備,在教學中為他們提供適當?shù)呐_階。在這節(jié)課中,教師能充分結合學生的知識基礎和生活經(jīng)驗提出問題,引發(fā)學生的認知沖突。這在日常教學中是最為寶貴的,只有準確診斷、把握學生的基礎、困難和需求,探明了學生學習的真實位置,才能科學設定學習的起點,使學習活動真正發(fā)生。而脫離了學生的學情坐標,教師的教學可能就是一種主觀臆斷和一廂情愿,必然事倍功半甚至勞而無功。其實,學生在課堂上的真實思維是最為寶貴的,我們不應過分追求思維的嚴密性、科學性和正確性,只要是真實的思維就是有價值的東西,哪怕是斷斷續(xù)續(xù)或者星光點點。
其次,教師沒有用自己的思維或者個別學生的思維替代全體學生的思維,而是始終讓學生去思考、解決問題,并關注學生的思維、探究過程,通過展示、比較、分析,尋找路徑和方法。本節(jié)課的教學充分體現(xiàn)了方法提煉的過程性特征,讓學生在解決問題的過程中逐步形成。盧梭在《愛彌兒》中寫道:“我們在路上不是像驛夫那樣追趕路程,而是像旅行家似的沿途觀賞。我們的心中不只是想到一個起點和終點,還要想到起點和終點間相隔的距離?!笔灞救A也曾說過:“記錄在紙上的思想,不過是像在沙上行走者的足跡而已。我們也許能看到他走過的路徑,如果我們想要知道他在路上看見了什么,則必須要用我們自己的眼睛。”在這節(jié)課中,教師盡可能地讓學生走進問題,身臨其境,用自己的觀察和思考獲得真知。
在本節(jié)課中我們不難看出,教師選擇的問題也是淺顯而基本的,這說明一個樸實的道理:在基本的甚至簡單的問題中也可以講清深奧的道理。教學中不宜過分追求問題的難度和技巧,這樣會妨礙部分學生參與思維活動,甚至會延誤、沖淡主題。概念教學應該注意這樣幾個重要問題:要在真實的情境中引發(fā)問題,在對問題的思考中啟動思維,在分析、比較中形成概念,在鞏固應用中深化概念。
再次,教師在教學過程中十分注重方法和規(guī)律的及時總結和提煉,使學生有留得下、帶得走的東西。教學不是一種排演和過場,透過材料、問題和結論,背后有哪些有價值的東西值得體味?西方有一種教學觀點很值得我們學習和借鑒:教學中看得見、摸得著的東西往往不是最重要的。數(shù)學教學的背后有一個抽象的,能夠用數(shù)學、邏輯學、語言精確表達的東西,即規(guī)律、規(guī)則、模型,這才是需要學生體悟的。
課堂應該是思維的放飛、思想的洗禮和精神的遨游,是一次真實而生動的經(jīng)歷和體驗,充滿著困難、挑戰(zhàn)和艱辛,也伴隨著突破、成功和喜悅。
G633.6
A
1005-6009(2017)59-0061-03
嚴必友,南京市教學研究室(南京,210001)主任,高級教師,江蘇省特級教師。