隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和日益成熟，基于位置的服務(wù)漸漸受到人們的關(guān)注，而對(duì)位置信息的準(zhǔn)確性和及時(shí)性的需求也愈來愈大。其中，基于無線信號(hào)接收強(qiáng)度的室內(nèi)定位一直是人們所熱切關(guān)心的問題，由于室內(nèi)信號(hào)強(qiáng)度的分布具有很強(qiáng)的時(shí)變性，我們很難實(shí)時(shí)地快速建立準(zhǔn)確的離線匹配地圖，這就給在線匹配定位帶來了很大的誤差。為了解決這個(gè)問題，這篇文章提出了基于壓縮感知的快速高精度室內(nèi)無線信號(hào)分布地圖的恢復(fù)算法。利用無線信號(hào)分布強(qiáng)度的稀疏性，本算法可以利用有限次的測(cè)量，利用少量的隨機(jī)分布的測(cè)量點(diǎn)迅速重構(gòu)室內(nèi)無線信號(hào)分布圖，具有很強(qiáng)的實(shí)時(shí)性，應(yīng)用壓縮感知可以很大幅度減少測(cè)量點(diǎn)的數(shù)量，并獲得較高的恢復(fù)精度。仿真和實(shí)驗(yàn)證明，本算法可以減少超過50%的測(cè)量點(diǎn)，同時(shí)獲得15%（SNR=20dB）以下誤差的恢復(fù)精度，為高精度室內(nèi)定位奠定了基礎(chǔ)。

室內(nèi)無線定位的發(fā)展

近些年，無線定位在經(jīng)濟(jì)、軍事、政治等領(lǐng)域收到了廣泛關(guān)注。精準(zhǔn)而實(shí)時(shí)的位置信息在個(gè)人或商業(yè)需求中起著極其重要的作用。然而，室內(nèi)環(huán)境的復(fù)雜多變性使定位精度的提升十分緩慢艱難。除此以外，構(gòu)建離線匹配地圖巨大的消耗也從另一方面限制了定位技術(shù)的應(yīng)用。同一些其他的定位算法（例如ToA（Time-of-Arrival）AoA（Angle-of-Arrival））相比，通過接收信號(hào)強(qiáng)度（RSS）來定位的算法因其簡(jiǎn)單、實(shí)用和高效等特性，在近些年中被廣泛研究[1]。然而，RSS定位系統(tǒng)面對(duì)的主要問題來自于以下兩方面：

1）由于遮擋效應(yīng)、多徑效應(yīng)等頻道障礙以及無線設(shè)備方向的不確定，RSS的信號(hào)接收變得繁雜而不好掌控。

2）真實(shí)環(huán)境中的信號(hào)，只有極小部分被RSS測(cè)量接收，這些因素很大程度上削弱了室內(nèi)定位的精確度。

早些年，定位系統(tǒng)常用一個(gè)理論或?qū)嶋H的信號(hào)接收器來規(guī)劃整合所獲信號(hào)間的關(guān)系。但室內(nèi)的動(dòng)態(tài)環(huán)境不可預(yù)測(cè)，信號(hào)的傳輸接收常常存在較大誤差。因此一種類似于構(gòu)建指紋庫的匹配參數(shù)定位方法被提了出來，通過將在線的RSS接收數(shù)據(jù)和離線的測(cè)量地圖做匹配比較，確定目標(biāo)的位置。但實(shí)際上，一個(gè)精準(zhǔn)的位置需要很多組RSS采樣數(shù)據(jù)的共同評(píng)估，這些測(cè)量方法也極大程度上依靠環(huán)境條件。因此，如何快速高效地在實(shí)變的無線環(huán)境中建立準(zhǔn)確的RSS匹配地圖，并且減少離線測(cè)量的工作消耗成為一個(gè)亟待解決的重要問題[2]。

壓縮感知理論的簡(jiǎn)單回顧

我們知道，壓縮感知算法可以在一定的限制條件下，以顯著低于奈奎斯特采樣率的速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣和恢復(fù)，這已經(jīng)被很多研究所證實(shí)?，F(xiàn)實(shí)世界中無線信號(hào)的稀疏性使得在室內(nèi)定位中使用壓縮感知理論變?yōu)榭赡?。根?jù)已有的研究和實(shí)驗(yàn)證明，RSS的空間分布是服從基本的信號(hào)傳輸規(guī)律的，通過特定的變換可以對(duì)其進(jìn)行稀疏表示，壓縮感知理論可以在RSS的系數(shù)變換域（例如傅里葉變換域或者小波變換域），用遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于奎斯特采樣率的速率采樣，并高精度重構(gòu)被壓縮的稀疏信號(hào)。

假設(shè)一個(gè)有限長(zhǎng)度的一維離散實(shí)信號(hào)，它可以被表示為在空間中由許多元素組成，這里。信號(hào)在空間中可以被分解為基矩陣和權(quán)系數(shù)的組合。在這里，基矩陣可以選擇標(biāo)準(zhǔn)正交基，例如傅里葉基或者小波基等。因此信號(hào)可以被表示為以下形式：

（1）

在這里是N×N的基矩陣，是N×1的權(quán)系數(shù)矩陣。如果權(quán)系數(shù)矩陣中不為零的元素有K個(gè)，并且K≤N，我們就說信號(hào)在基矩陣的表示下是K-稀疏的，即信號(hào)是可壓縮的。

考慮一個(gè)一般的M×N維的測(cè)量矩陣，用它來觀測(cè)公式（1）中的信號(hào)，可以得到M×1維的觀測(cè)矩陣，觀測(cè)過程可以表示為公式（2）

（2）

在這里，是一個(gè)M×N維矩陣，測(cè)量過程并不是自適應(yīng)的，換句話說觀測(cè)矩陣是固定的而不隨信號(hào)的變化而改變。因此總結(jié)來說，壓縮感知問題包含以下幾方面的設(shè)計(jì)：1）觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)，并且與變換基之間滿足有限等距準(zhǔn)則[3]（RIP準(zhǔn)則）；2）恢復(fù)算法的選擇，通過選擇合適的恢復(fù)算法從K-稀疏的觀測(cè)值y中恢復(fù)原始信號(hào)x。經(jīng)過變換和稀疏觀測(cè)之后的可壓縮信號(hào)可以通過一些最小化優(yōu)化重構(gòu)算法高精度地重構(gòu)恢復(fù)，這些算法包括正交匹配追蹤算法（OMP）和基追蹤（BP）算法等[4]。

基于壓縮感知的高效RSS分布圖測(cè)量與重構(gòu)算法設(shè)計(jì)

在特定時(shí)間對(duì)離散的空域位置點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量采樣時(shí)，采樣點(diǎn)在空域非分布具有隨機(jī)性，因此不同時(shí)刻對(duì)空域的采樣測(cè)量可以近似被看作是一個(gè)稀疏向量。當(dāng)壓縮感知理論被應(yīng)用于無線定位時(shí)，首要任務(wù)是如何在滿足定位精度的同時(shí)，將位置信息規(guī)劃為壓縮感知內(nèi)容，并建立合理的壓縮感知數(shù)學(xué)模型。RSS分布圖的重構(gòu)相當(dāng)于在離散的空域中，通過解決壓縮感知的最優(yōu)化問題來重構(gòu)稀疏矩陣。

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，無線電設(shè)備接收環(huán)境的復(fù)雜性以及接收信號(hào)的隨機(jī)性，使得尋找到構(gòu)建壓縮感知模型所需的穩(wěn)定環(huán)境條件困難重重。因此，我們需要快速地隨機(jī)測(cè)量空間中的RSS信號(hào)分布，測(cè)量區(qū)域和測(cè)量點(diǎn)之間實(shí)現(xiàn)獨(dú)立，這對(duì)于高效而準(zhǔn)確的RSS分布圖重構(gòu)來說十分重要[5]。

RSS分布圖的重構(gòu)可以被近似看作為一個(gè)低秩矩陣的恢復(fù)問題。假設(shè)目標(biāo)空間是一個(gè)包含個(gè)點(diǎn)的離散矩陣，即采樣模型是一個(gè)的矩陣。每一個(gè)矩陣元素代表WiFi發(fā)射的RSS信號(hào)強(qiáng)度，也就是說RSS信號(hào)分布區(qū)可以被看作矩陣。如果采樣密度足夠，定位結(jié)果將會(huì)更加精確。但是，完整測(cè)量格子中的每個(gè)采樣點(diǎn)并不現(xiàn)實(shí)，通常僅有極少部分的采樣點(diǎn)會(huì)被觀測(cè)，這使得矩陣信息的測(cè)量極不完整。如圖1所示，二維矩陣代表平面測(cè)量區(qū)域，紅方塊代表已測(cè)量點(diǎn)，藍(lán)方塊代表未測(cè)

量點(diǎn)。

我們將待測(cè)量區(qū)域定義一個(gè)二維的WiFi接收信號(hào)強(qiáng)度（RSS）分布矩陣，它包括個(gè)測(cè)量點(diǎn)。為了降低測(cè)量次數(shù)，我們只從RSS分布圖中選擇個(gè)采樣測(cè)量點(diǎn)，測(cè)量點(diǎn)則RSS分布圖上隨機(jī)分布，如圖2所示，這個(gè)測(cè)量過程可以用觀測(cè)矩陣來表示。是一個(gè)稀疏觀測(cè)矩陣，矩陣中通過有限個(gè)稀疏的位置觀測(cè)原始的RSS分布值。矩陣和原始RSS分布圖之間的關(guān)系可以用一個(gè)掩模算子來表示：

為了更形象地說明，掩模算子可以被定義為一個(gè)大小的矩陣Q，

那么，觀測(cè)矩陣與空間中原始的RSS分布圖之間的關(guān)系可以被進(jìn)一步表示為：

我們知道，空間中原始的RSS分布矩陣在變換域之下是稀疏的，這里的變換域可以是離散傅里葉變換域（DFT）或者是離散小波變換域（DWT）。所以，RSS分布矩陣的稀疏表示如下所示，

式中，是包含有限個(gè)稀疏值的權(quán)系數(shù)矩陣。如果RSS分布矩陣是只有K個(gè)基向量的線性組合，那么就是K稀疏的。換句話說，權(quán)系數(shù)矩陣中只有有限個(gè)絕對(duì)值大的分量，其他分量絕對(duì)值都很小接近于零，則RSS分布矩陣是可壓縮的。接下來，測(cè)量后得到的觀測(cè)信號(hào)矩陣可以被表示為：

這里，是零均值的高斯白噪聲矩陣。這樣，利用隨機(jī)觀測(cè)得到的測(cè)量值，原始RSS分布矩陣的恢復(fù)重構(gòu)問題可以被寫作一個(gè)不等式最優(yōu)化問題

這個(gè)不等式最優(yōu)化問題也可以被正則化表示為一個(gè)單行表達(dá)式，

這里，表示p范數(shù)，即。是一個(gè)受噪聲大小影響的門限值，是正則化系數(shù)用來平衡稀疏性和計(jì)算消耗?？梢宰C實(shí)，觀測(cè)矩陣和正交基之間滿足有限等距性質(zhì)（RIP），所以RSS分布矩陣通過正交匹配追蹤算法（OMP）或者基追蹤（BP）算法被高精度地恢復(fù)。

圖2顯示了在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中室內(nèi)RSS分布圖被測(cè)量的場(chǎng)景。測(cè)量過程需要一些基本設(shè)備包括：頻譜儀、信號(hào)采集器、WiFi信號(hào)發(fā)射路由器等。測(cè)量過程可以被分成以下的步驟：

1）WiFi信號(hào)發(fā)射路由器產(chǎn)生無線信號(hào)。

2）用頻譜儀和信號(hào)采集器測(cè)量待測(cè)量區(qū)域的信號(hào)

強(qiáng)度。

3）記錄測(cè)量點(diǎn)的信號(hào)強(qiáng)度觀測(cè)值，調(diào)用壓縮感知算法對(duì)RSS分布圖進(jìn)行重構(gòu)。

4）真實(shí)測(cè)量的數(shù)據(jù)與恢復(fù)重構(gòu)的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。

恢復(fù)算法的仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

首先，我們使用Matab仿真驗(yàn)證了恢復(fù)算法的有效性，測(cè)量點(diǎn)隨機(jī)分布在測(cè)量區(qū)域的不同位置，在這個(gè)區(qū)域中WiFi信號(hào)的RSS分布信息被隨機(jī)測(cè)量。一般來說，插值算法也被用作從測(cè)量數(shù)據(jù)中還原未知數(shù)據(jù)，但壓縮感知算法更加高效，能達(dá)到更高的精度。圖3中顯示了壓縮感知算法的恢復(fù)誤差RMSE（Root Mean Square Error）隨測(cè)量點(diǎn)數(shù)和信噪比的變化。應(yīng)用壓縮感知算法，即使在測(cè)量點(diǎn)極少的情況下，仍然可以達(dá)到較高的恢復(fù)精度。在信噪比（SNR）條件較好的情況下（如20dB），恢復(fù)誤差甚至可以達(dá)到15%以下，而且隨這SNR增加，誤差繼續(xù)下降。而隨著測(cè)量區(qū)域內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)量的增加，測(cè)量精度也隨之提升。這個(gè)發(fā)現(xiàn)使得我們用較少的測(cè)量代價(jià)實(shí)現(xiàn)高精度地RSS分布圖恢復(fù)成為可能。另外，我們計(jì)算了使用不同SNR得到RSS分布圖時(shí)，每一點(diǎn)RMSE的平均值。測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目m小于測(cè)量區(qū)域總點(diǎn)數(shù)的50%，隨著SNR的改善，RSS信號(hào)的恢復(fù)水平也隨之提升。即使在SNR（<5dB）極低的情況下，每一個(gè)格子中采樣點(diǎn)的恢復(fù)誤差依舊低于0.4%。這說明本文中的算法很適合RSS信號(hào)恢復(fù)。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證算法的可行性，我們?cè)O(shè)計(jì)了一套演示驗(yàn)證系統(tǒng)。整套演示系統(tǒng)包括一個(gè)區(qū)域的鋁合金底板加四周隔離板，隔離板為了防止周圍環(huán)境中的信號(hào)干擾，提高驗(yàn)證的準(zhǔn)確性。四個(gè)角布置WiFi信號(hào)接收裝置，一輛木制小車用來進(jìn)行RSS信號(hào)測(cè)量的，小車上安裝有接收器，放大器模塊和電池等，通過連接線將信號(hào)輸入采集卡，由上位機(jī)接收并處理。我設(shè)計(jì)了初步的采樣程序，采樣程序用labview以1khz速率采樣，每0.1s對(duì)其做100次平均。整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)如圖4所示：

實(shí)驗(yàn)中我們首先將鋁合金底板內(nèi)劃分網(wǎng)格，然后隨機(jī)測(cè)量了一些網(wǎng)格位置的WiFi信號(hào)強(qiáng)度，應(yīng)用壓縮感知算法進(jìn)行恢復(fù)，建立了基于壓縮感知恢復(fù)的位置-信號(hào)強(qiáng)度數(shù)據(jù)庫。為了與真實(shí)信號(hào)強(qiáng)度分布圖進(jìn)行對(duì)比，我們還一一測(cè)量每個(gè)格點(diǎn)的信號(hào)強(qiáng)度，實(shí)際測(cè)量圖與壓縮感知恢復(fù)后的信號(hào)分布圖進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

從對(duì)比結(jié)果可以看出，基于壓縮感知的信號(hào)恢復(fù)圖與真實(shí)的信號(hào)分布測(cè)量圖之間有很大的相似性，這說明基于壓縮感知的RSS恢復(fù)算法可以在降低測(cè)量點(diǎn)數(shù)的情況下獲得較高的實(shí)際恢復(fù)精度（實(shí)驗(yàn)中真實(shí)信號(hào)分布圖由100個(gè)測(cè)量點(diǎn)組成，只用了其中27個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行壓縮感知信號(hào)恢復(fù)，得到完整的RSS恢復(fù)圖。

結(jié)論

本文提出了一種基于壓縮感知的室內(nèi)RSS分布圖高效恢復(fù)算法，僅僅隨機(jī)測(cè)量室內(nèi)有限的觀測(cè)點(diǎn)的信號(hào)強(qiáng)度值，就可以高精度的恢復(fù)整個(gè)測(cè)量區(qū)域的RSS分布圖，極大地減少了離線階段RSS測(cè)量的工作難度，為基于接收信號(hào)強(qiáng)度的室內(nèi)匹配參數(shù)定位方法提供了可靠地保障。

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（作者簡(jiǎn)介：吳湛，北京市第二中學(xué)。）