楊佳鑫，呂勝男，丁希侖

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

基于Bennett機構的柱面擬合可展機構設計及分析

楊佳鑫，呂勝男，丁希侖

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

可展機構既可展開至指定構型用于工作，也可收攏以便于運輸，在航天和建筑等領域具有廣闊的應用前景。本文提出并設計了一種以Bennett過約束機構為基本組成單元的可展機構，該機構的工作形面可擬合柱面，且具有全部桿件可緊湊折疊成一束的收攏構型。對Bennett機構進行了幾何描述，并分析其運動學特性；利用剪式機構實現了單元機構的組合連接，保證了設計關鍵點準確位于目標參數曲面上，計算了所設計的可展機構的展收比；對機構的運動學及動力學性能進行了仿真分析，驗證了所提出的設計，為后續(xù)的樣機研制提供了理論依據。驗證結果表明：本文提出的Bennett過約束機構單元組合簡單、形面擬合精度高、剛度大，能夠很好地應用于該圓柱面天線的設計。該研究對航天可展機構的設計分析具有參考價值。

可展機構；Bennett機構；柱面擬合；運動學分析

0 引 言

在航天技術中，由于運載工具有效載荷艙幾何尺寸的限制，衛(wèi)星和空間站等航天器廣泛采用可展機構，通過改變機構的物理形狀和尺寸，以滿足實際需求。與一般機構相比，可展機構具備操作簡單快捷、完全收攏狀態(tài)占用空間小、可重復利用、便于運輸和儲存等優(yōu)點[1]。隨著航空宇航事業(yè)的深入發(fā)展，空間可展機構正朝著大口徑、高精度、輕質化方向發(fā)展，同時也要求天線結構具有較大的收納率和優(yōu)良的展開性能。

目前，對于可展機構的研究主要集中在機構的運動學、動力學分析上，而對可展機構單元本身的設計尤其是空間可展機構單元的設計研究甚少。現有的可展機構大多由單元機構組合構成，桿件可緊湊收攏并展開至不同形狀，由單元機構組合構成的大型空間可展機構的典型代表有：ETS-VIII衛(wèi)星采用六邊形模塊，CSPDA環(huán)形桁架式展開天線將內外兩層剪單元相連，AstroMesh天線則利用四邊形結構單元對角伸縮的特點實現展開與收攏[2-3]。

為使可展機構獲得更高的強度和展收比，在其設計中廣泛應用了空間過約束單元機構。O’Brian和Phelan基于Sarrus單元機構設計了一種環(huán)形展收機構[4]，Chen等探討了Bricard機構和Bennett機構在可展機構中的應用[5]。Lu等將第三類Bricard機構作為基本單元提出了一種新型可展機構[6]。

近年來，可展柱面結構作為航天器基礎部件得到越來越多的應用。柱面形面具有方向性強、增益高，易于光束自動掃描等特點，已經成為空間可展天線形面的重要發(fā)展方向。Bennett機構是經典的過約束空間四桿機構，本文提出一種以其作為基本組成單元的單自由度可展機構。該機構通過剪式機構連接Bennett機構，保證了可展機構具有全部桿件可緊湊折疊成一束的收攏構型，且其設計關鍵點可準確落在目標柱面上。

1 Bennett機構運動學分析

1.1 Bennett機構及其展收條件

Bennett機構是唯一含有4個轉動副的單回路空間過約束連桿機構。一般情況下，Bennett機構各軸線之間既不相交也不平行。保證該機構實現單自由度運動的幾何條件是：相對的兩桿件長度相等，分別為a，b；相對的轉動副軸線轉角相等，分別為α，β；桿長與轉角的關系滿足；各轉軸沿轉動副軸線方向的偏移為零[5]。各變量θ1、θ2、θ3、θ4隨機構運動而變化，并始終滿足

上述條件保證了Bennett機構的運動僅存在一個獨立變量，圖1給出了Bennett機構的示意圖。

圖1 Bennett機構[7]Fig.1 The Bennett linkage[7]

Bennett機構是由4根桿件通過4個轉動副首尾相連形成的單閉環(huán)結構，全部轉動軸線均位于一個雙曲面的同族母線上。由單葉雙曲面的幾何特性可知，同族的任意兩條母線必為異面直線，而異族的兩條母線必共面，因此雙曲面的另一族母線中的任意直線均與Bennett機構的4條軸線相交。取該直線為機構桿件的構造線，則該構型下機構各桿件收攏成為一束。圖2所示為一Bennett機構所在的單葉雙曲面的兩個正交視圖。

圖2 單葉雙曲面正交視圖Fig.2 Orthogonal view of hyperboloid structure

遵循D-H坐標系所定義的機構連桿為兩相鄰軸線的公垂線。在實際應用中，機構桿件的幾何形狀對其運動不會產生影響，但是會在較大程度上改變機構的幾何外形。

為了得到更加緊湊的收攏構型，本研究中采用各連桿長度和運動副軸線轉角均相等的Bennett機構作為組成單元，即a = b，α = β，如圖3所示。E和F分別為和的中點，連接E、F，可知EF為和的公垂線。代表第i個轉動副軸線，由ρ1和ρ3形成的平面σ1始終與由ρ2和ρ4形成的平面σ2垂直。此外，位于σ1面上的一對旋轉軸關于σ2對稱，反之亦然，如圖3所示。

圖3 Bennett單元機構Fig.3 The Bennett unit-mechanism

上述Bennett機構收攏后各桿件在一條直線上重合，而在實際應用中，桿件本身存在不可忽略的厚度，連桿機構的幾何外形隨著機構的展開運動發(fā)生變化，下面將對Bennett機構的進行位置分析。

1.2 位置分析

考慮到Bennett機構各桿件長度相同，存在兩個相互垂直的對稱平面σ1和σ2，M1與M3關于σ2面對稱，M2與M4關于σ1面對稱?；诖耍瑢C構展收過程進行位置分析。

理想的收攏運動即隨著機構的運動，轉動關節(jié)1和關節(jié)3靠近的同時，關節(jié)2和關節(jié)4也逐漸靠近。將4個桿件相互平行且彼此之間緊密相鄰的構型定義為機構完全收攏構型。在4個轉動關節(jié)上取兩相鄰桿件的交點Mi（），當完全收攏時M1與M3重合，M2與M4重合，且Mi均位于σ1與σ2的交線上。

對于一個確定的機構，給定輸入運動θ1，則M2在坐標系Oxyz下的坐標可表示為

圖4 Bennett機構運動分析坐標系Fig.4 Coordinate system of the Bennett linkage

通過位置分析可以得出M2與M4之間的距離

由式（3）可知，δ對無影響。

若將Bennett機構正交投影于Oyz面，即σ1面上，M2與M4的投影點將重合于一點M0，如圖5所示。

圖5 Bennett機構在Oyz面上的投影Fig.5 Projection of the Bennett linkage on Oyz

M0和M1之間的距離是關于l、γ和θ1的函數

M0M1和之間的夾角可通過下式獲得

2 可展收圓柱面天線結構設計

2.1 Bennett機構的組合連接

Bennett機構的單元組合連接具有以下4個特征：通過剪式機構實現單元機構的組合連接；連接獲得的可展機構具有任意的長寬；機構的工作形面可擬合柱面，且具有全部桿件可緊湊折疊成一束的收攏構型；機構具有單自由度。

關節(jié)連接設計是保證Bennett單元機構能夠同步展開和收攏以及實現單元連接的關鍵。綜合考慮關節(jié)尺寸、桿件長度、連接形式等因素，對連接關節(jié)進行了設計，如圖6所示。

圖6 剪式機構連接的兩個Bennett機構Fig.6 Two Bennett linkages connect with scissors joints

1）同一Bennett機構內的轉動副M2和M4的關節(jié)連接設計采用基本轉動副，通過軸銷連接，可實現桿件的平穩(wěn)轉動?？紤]完全收攏狀態(tài)下機構運動可能存在奇異，在軸銷處安裝扭簧以提供驅動力。

2）兩個Bennett機構之間利用剪式機構將它們可動地連接在一起。兩組Bennett機構分別于M1、M3處鉸接，通過剪式機構相鄰連桿可運動至相互平行的收攏狀態(tài)。具有不同幾何參數的多個Bennett機構通過剪式機構連接可保證組合機構仍具有單自由度。如圖6所示，桿件1和桿件2通過軸銷連接在一起，在運動過程中始終保持為一個整體；連桿3與連桿4通過軸套連接，在運動個過程中也是一個整體。

由位置分析可知，δ對不產生影響。將若干具有相同l、γ的Bennett單元機構順次連接，使各Bennett機構的σ1面重合，當單元機構的δ發(fā)生變化時，機構桿件在Oyz面內的投影角度會變化，但相同。

兩種不同大小的Bennett機構組成的網狀結構完全展開后可形成圓柱面。圖7所示為Bennett機構的組網示意圖，在所組成的機構網絡中，位于同一行的Bennett機構均具有相同的δ，而位于同一列的Bennett機構則具有相同的γ。

2.2 天線的背架設計

在擬合目標曲面的過程中，大Bennett機構中所有設計關鍵點均落在所擬合的圓柱面上，而小Bennett機構只有兩個點位于曲面上。

用分段法得到圓柱面展開天線的關鍵設計點位置，如圖8所示。根據運動學計算，獲得了可展機構中大Bennett機構的幾何參數，l=377.6，γ=60°，δ=139.076，小Bennett機構的幾何參數l=110.06，γ=60°，δ=59.281。基于這兩種Bennett機構，建立了可展天線的背架模型。

圖7 Bennett機構的組網示意圖Fig.7 Tessellation of the Bennett network

圖8 圓柱面擬合分段示意圖Fig.8 Illustration of cylindrical fitting segmentation

本論文設計中，可展圓柱面天線包括4個大Bennett單元機構和3個小Bennett單元機構。當時，機構展開曲面近似圓柱面，近似曲率半徑為1 033 mm。

2.3 收納率

基于Bennett單元機構，設計了可展圓柱面天線。大、小Bennett機構連桿截面均為正方形，邊長為d，桿長分別為L，l。結構整體采用的單元排列，形成的近似圓柱面的半徑為R。

收納率是可展機構的一個基本技術指標?？赏ㄟ^位置分析對可展機構的收納率進行計算。本文定義收納率為機構在展開和收攏狀態(tài)覆蓋空間的體積比，其計算公式為

其中：V0為機構的收攏體積；V0′為機構的展開體積。

V0和V0′計算如下

3 仿真模型建立與動力學分析

圖9給出基于上述的結構設計得到的機構模型，既可收攏成束，又可展開擬合圓柱面。

圖9 展開收攏仿真圖Fig.9 Kinematic simulation of a circular half-cylinder

基于該模型，應用Creo軟件對其進行動力學分析，著重分析運動輸入關節(jié)的驅動力矩。如圖10所示，給定轉軸不同的輸入運動，使其分別按正弦和線性進行變化。通過動力學分析，得到了不同運動下驅動力矩的變化曲線。通過觀察可發(fā)現，兩個仿真力矩曲線均存在多個波峰，仿真機構在展開和收攏過程中均存在力矩突然增大的點。在該位形下該機構可能奇異，后續(xù)研究中我們將針對此現象展開深入研究。

圖10 不同輸入運動下關節(jié)驅動力矩仿真曲線Fig.10 Simulation curve of joint driving torque under different input motion

4 結 論

本文介紹了一種以Bennett過約束機構為基本組成單元的可展收圓柱面天線，該機構具有單自由度和高收納率，既可收攏成束，又可展開擬合圓柱面。

在對一類特殊Bennett機構的幾何特征、收攏過程桿件的位置等運動學特性分析的基礎上，獲得了Bennett機構能夠組合形成可動連接的幾何條件。利用剪式機構實現單元機構的組合連接，通過關節(jié)設計保證Bennett單元機構能夠順利展開和收攏。對機構進行仿真模型建立與動力學分析，得到不同輸入運動下關節(jié)驅動力矩變化情況。

本文提出的Bennett過約束機構單元組合簡單、形面擬合精度高、剛度大，能夠很好地應用于該圓柱面天線的設計。本文的研究對航天可展機構的設計分析具有重要價值。

[1]Escrig F，Valcarcel J P，Sanchez J.Deployable cover on a swimming pool in Seville[J].Journal of the International Association for Shell and Spatial Structures，1996，37（1）：39-70.

[2]Zhao J S，Chu F L，Feng Z J.The mechanism theory and application of deployable structures based on SLE[J].Mechanism and Machine Theory，2009，44（2）：324-335.

[3]劉榮強，田大可，鄧宗全.空間可展開天線結構的研究現狀與展望[J].機械設計，2010，27（9）：1-10.Liu R Q，Tian D K，Deng Z Q.Research status and prospect of space developable antenna structure[J].Journal of Machine Design，2010，27（9）：1-10.

[4]O’brian E D，Phelan C.Folding structure employing a sarrus linkage：U.S.，4437413[P].1984.

[5]Chen Y.Design of structural mechanisms[D].Oxford：University of Oxford，2003.

[6]Lu S N，Zlatanov D，Ding X L，et al.A network of type III Bricard linkages[C]//ASME 2015 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference .[S.l.]：ASME，2015.

[7]Phillips J.Freedom in machinery[M].[S.l.]：Cambridge University Press，2007.

[8]楊毅，丁希侖.四棱錐單元平板式可展開收攏機構的運動特性分析[J].航空學報，2010，31（6）：1276-1268.Yang Y，Ding X L.Design and analysis of a deployable mechanism based on the four pyramid cell[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2010，31（6）：1276-1268.

[9]羅堯治，劉晶晶.基于環(huán)形連桿機構原理的可展結構設計[J].工程設計學報，2006，13（3）：145-149.Luo Y Z，Liu J J.Design of retractable structure based on closed-loop linkages[J].Journal of Engineer Design，2006，13（3）：145-149.

[10]陳務軍，關富玲，董石麟.空間可展開桁架結構展開過程分析的理論與方法[J].浙江大學學報，2000，34（4）：382-386.Chen W J，Guan F L，Dong S L.Theory and approach of deployment analysis for deployable space truss structures[J].Journal of Zhejiang University，2000，34（4）：382-386.

[11]Qi X Z，Deng Z Q，Li B，et al.Design and optimization of large deployable mechanism constructed by Myard linkages[J].CEAS Space Journal，2013，5（3-4）：147-155.

[12]Lu S N，Zlatanov D，Ding X L.Approximation of cylindrical surfaces with deployable Bennett networks[C]//ASME 2016-International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE.[S.l.]：ASME，2016.

[13]孫從軍.折疊網絡結構的幾何構成及其力學性能研究[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學，2007.Sun C J.Geometric formation of foldable latticed structures and the mechanical performance[D].Harbin：Harbin Institute of Technology，2007.

[14]趙孟良，吳開成，關富玲.空間可展桁架結構動力學分析[J].浙江大學學報，2005，39（11）：1669-1674.Zhao M L，Wu K C，Guan F L.Dynamic analysis of deployable space truss structures[J].Journal of Zhejiang University，2005，39（11）：1669-1674.

Design and Analysis of Approximate Cylindrical Deployable Mechanism with Bennett Linkages

YANG Jiaxin，LV Shengnan，DING Xilun
（School of Mechanical Engineering & Automation，Beihang University，Beijing 100081，China）

Deployable mechanisms can be deployed to the designated configuration for work，and can also be folded for facilitating transportation.It has broad application prospects in space，architecture，and other fields.A deployable mechanism is presented,which uses the Bennett over-constraint mechanism as a basic element.Working surface of the mechanism can be fitted to cylindrical surface.Meanwhile，all bars of the mechanism can be compactly folded into a bundle configuration.Firstly，geometric description of the Bennett mechanism is analyzed，and its kinematic characteristics are discussed.Secondly，combination of unit mechanism is realized by using the scissors linkage，ensuring that the design key points are accurately located on the target surface.Finally，kinematics and dynamic performances of the mechanism are simulated,validating the proposed design and providing theoretical fundamental for the follow-up prototype development.The Bennett over-constraint mechanism in this paper is simple and have high precision and rigidity，which can be well applied to the cylindrical surface of the antenna design.This study is of great value to the design and analysis of aerospace deployable mechanism.

deployable mechanism；Bennett linkages；cylindrical surface；kinematics analysis；simulation

V11

A

2095-7777（2017）04-0340-06

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.04.005

楊佳鑫，呂勝男，丁希侖.基于Bennett機構的柱面擬合可展機構設計及分析[J].深空探測學報，2017，4（4）：340-345.

Reference format：Yang J X，Lv S N，Ding X L.Design and analysis of approximate cylindrical deployable mechanism with bennett linkages[J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（4）：340-345.

2017-07-24

2017-08-04

國家自然科學基金重點資助項目（51635002）；青年科學基金資助項目（51605011）

楊佳鑫（1993- ），女,碩士研究生，主要研究方向：空間可展機構。

通訊地址：北京市海淀區(qū)學院路37號（100191）

電話：（010）82339055

E-mail：jessieyao_buaa@163.com

呂勝男（1987- ），女,博士后，主要研究方向:空間可展機構。

通訊地址：北京市海淀區(qū)學院路37號（100191）

電話：（010）82339055

E-mail：lvshengnan5@gmail.com

丁希侖（1967- ），男，教授，主要研究方向：機構學、機器人學。

通訊地址：北京市海淀區(qū)學院路37號（100191）

電話：（010）82338005

E-mail：xlding@buaa.edu.cn

[責任編輯：楊曉燕，英文審校：朱恬]