康珅，單家元

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081）

航天器分布式有限時間編隊方法

康珅1,2，單家元1,2

（1.北京理工大學 宇航學院，北京 100081；2.飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081）

以二階積分環(huán)節(jié)作為單體航天器動力學模型，在固定通信拓撲的基礎上，假設每個航天器僅獲取相鄰航天器的速度位置信息，設計了分布式有限時間跟蹤控制算法，并證明了算法的有效性。在該算法的基礎上，采用了虛擬結構和階級控制方法，使第一階級航天器接受虛擬領隊形成的虛擬結構信息，次級航天器接受上一級航天器信息，給出了有限時間編隊方法，并通過數(shù)值仿真驗證了該編隊算法。

分布式控制；航天器編隊；有限時間收斂；階級控制

0 引 言

航天器編隊是由若干顆航天器組成編隊，保持一定相對位置關系，各航天器間密切聯(lián)系，共同完成某項空間任務的飛行技術，是近年來空間科學領域研究熱點之一。編隊系統(tǒng)一般由一顆主航天器和幾顆圍繞其飛行的從航天器組成，各航天器之間距離較近，從幾十米到幾十千米。航天器編隊具有成本低、系統(tǒng)冗余性和魯棒性強、自主性高等特點，具有廣闊的應用前景。分布式控制是2005年后出現(xiàn)的控制方式，旨在減輕通信負擔，增強被控對象的自主性。在分布式控制策略中，每顆航天器均具有獨立的局部決策能力，僅采用相鄰單位信息，應用相互的通信網(wǎng)絡協(xié)調，便可形成期望的編隊運動。典型的協(xié)同控制方式有主從式、基于行為和虛擬結構的方式等。

早期的航天器位置編隊主要以領從方式為主，更多考慮軌道動力學對于航天器編隊的影響。在軌道動力學的基礎上，多采用HCW（Hill-Clohessy-Wiltshire）方程等模型，附加控制約束或控制指標，進行分析設計[1-4]。分布式控制出現(xiàn)后，大量研究偏向于將動力學模型簡化為二階積分環(huán)節(jié)，側重通信拓撲特性以及分布式控制對編隊的影響，文獻[5]討論了通信延時對于一致性的影響；文獻[6]～文獻[7]在有向圖的基礎上，設計了切換拓撲下的跟蹤控制器，并在一定切換模式下證明了其有效性；文獻[8]基于二階積分環(huán)節(jié)和切換拓撲，設計了分布式觀測器用于提取速度信息，并完成了一致性控制器的設計。在陣型控制方面，文獻[9]引入虛擬結構的概念，實現(xiàn)了航天器編隊的分布式姿態(tài)控制；文獻[10]針對一階積分模型設計了有限時間穩(wěn)定的陣型控制算法。

本文以二階積分環(huán)節(jié)為模型，設計了航天器編隊的分布式有限時間跟蹤控制器，同時采用虛擬結構和階級控制方法，實現(xiàn)了有限時間的陣型控制，并通過數(shù)值仿真驗證了算法的有效性。

1 預備知識

為突出有限時間控制器設計，本文航天器編隊問題的動力學系統(tǒng)如下

1.1 運算符號

1.2 代數(shù)圖論

本文采用無向圖描述航天器之間的通信拓撲。對于無領從關系的多航天器系統(tǒng)，認為每個航天器為頂點，其間的信息交互由無向圖G表示，記為，其中為所有頂點構成的集合，為所有邊構成的集合。是圖G的鄰接矩陣，定義為

對于帶有權重的鄰接矩陣A，其元素aij定義為當時，即航天器i可獲取航天器j的信息時，；反之，。對于無向圖，有aij=aji。

1.3 定義及引理

引理1[11]對于矩陣，若且，無向圖G的拉普拉斯矩陣是正定的，當且僅當無向圖G是連通的。

引理2[12]考慮系統(tǒng)

定義1（有限時間跟蹤）對于系統(tǒng)（1），控制律可實現(xiàn)有限時間跟蹤控制，當且僅當存在某一有限時間t*，有

2 主要結果

2.1 有限時間跟蹤控制

考慮如下跟蹤控制律

定理1若表示航天器間通信拓撲的無向圖G為連通圖，且至少有一個航天器能接收到領隊信息，則在控制律（2）的作用下，系統(tǒng)（1）可以實現(xiàn)有限時間跟蹤控制。

證明：令，并將控制律式（2）帶入式（1），可得

將上述變換代入（3），可得誤差系統(tǒng)

取備選李雅普諾夫函數(shù)

根據(jù)式（4）和式（5）可得如下性質

由式（6）可知V徑向無界。取，代入式（6）和式（7），可得

綜上所述，完成了對定理1的證明。

2.2 有限時間陣型控制

本節(jié)采用虛擬結構和階級控制方法[9]，對航天器編隊進行陣型組織。首先將航天器群分為數(shù)個階級，第1階級航天器直接接受虛擬領隊的信息，第2階級航天器則接受第1階級航天器的信息作為領隊信息，以此類推。

定理2若表示第i級航天器間通信拓撲的圖Gi為連通圖，且第i級中至少有一個航天器能接收到上一級航天器的信息，則在控制律式（2）的作用下，每一級航天器都可以實現(xiàn)有限時間跟蹤控制。

證明同定理1。

3 仿真結果

3.1 有限時間跟蹤

本例側重體現(xiàn)有限時間跟蹤控制效果，無具體物理意義。航天器間通信拓撲及初始狀態(tài)如圖1所示。仿真參數(shù)取α= 0.6，k1= 1，k2= 3。由圖2及其局部放大圖可知，t= 34.5 s時，各航天器均無控制輸入，此時由圖3可知，航天器位置速度成功跟蹤領航天器狀態(tài)。

3.2 陣型控制

圖1 航天器間通信拓撲及各航天器初始狀態(tài)Fig.1 The communication topology and initial states of spacecrafts

圖2 各航天器的控制輸入變化曲線Fig.2 The control input of spacecraft

圖3 各航天器的位置和速度變化曲線Fig.3 The position and velocity profiles of the spacecraft in the formation

如圖4所示，示例的陣型控制分為2個階級，第1階級直接接收來自虛擬領隊的信息，跟蹤虛擬領隊形成的虛擬結構；第2階級則有部分航天器接受第1階級的信息，根據(jù)分布式原則自組織陣型。

圖4 階級控制通信拓撲Fig.4 Communication topology with hierarchies

在控制參數(shù)同上例的情況下，對陣型控制進行三維數(shù)值仿真。令虛擬領隊形成一個有4個頂點的虛擬結構，第1階級中的航天器接受該虛擬結構信息，并實行跟蹤；第2階級中的部分航天器接受第1階級航天器的信息，根據(jù)固定拓撲，形成1個四面體編隊，如圖5所示。其中虛擬領隊以v0= 1 m/s的速度勻速運動，t=100 s時，令虛擬結構以0.05 rad/s的角速度進行轉動，t= 200 s時停止轉動?？梢娫谔摂M結構開始轉動的35 s內，跟蹤軌跡有輕微的震蕩過程，與上例中有限時間跟蹤的結論相符合。由此驗證了該編隊算法的有效性。

圖5 空間編隊陣型示意圖Fig.5 The formation flying in deep-space environment

4 結 論

本文將單體航天器動力學模型簡化為二階積分環(huán)節(jié)，在無向圖的基礎上，假設每個航天器僅獲取相鄰航天器的速度位置信息，設計了分布式有限時間跟蹤控制算法，并證明了該算法的有效性。在有限時間跟蹤控制算法，采用虛擬結構和階級控制方法，使第1階級航天器接受虛擬領隊形成的虛擬結構信息，次級航天器接受上一級航天器信息，給出了有限時間編隊方法，并通過數(shù)值仿真，形成了四面體編隊，并實現(xiàn)了有限時間隊形變換，驗證了編隊方法。后續(xù)研究將以編隊中的避撞問題為重點，進一步提高編隊算法的實用性。

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Distributed Finite-Time Control Method for Formation Flying

KANG Shen1,2，SHAN Jiayuan1,2
（1.School of Aerospace Engineering,Beijing Institute of Technology,Beijing 100081,China；2.Key Laboratory of Dynamic and Control of Flight Vehicle,Ministry of Education,Beijing 100081,China）

In this paper，a dynamic model of single spacecraft is simulated by a double integrator and the communication topology is assumed fixed.Based on the information exchanges among neighbors，the distributed finite-time control protocol is designed and mathematically verified.Adopt the presented control protocol and combined with virtual structure and hierarchical protocol，the formation algorithm is designed，where in a group spacecraft on a lower level takes orders from spacecraft on a higher level.The numerical simulation is conducted，verifying the effectiveness of the proposed method.

distributed control；formation flying；finite-time stable；hierarchical control

V11

A

2095-7777（2017）04-0390-05

10.15982/j.issn.2095-777.2017.04.0013

康珅，單家元.航天器分布式有限時間編隊方法[J].深空探測學報，2017，4（4）：390-394.

Reference format：Kang K，Shan J Y.Distributed finite-time control method for formation flying[J].Journal of Deep Space Exploration，2017，4（4）：390-394.

2015-09-25

2017-05-02

康珅（1990- ），男，博士研究生，主要研究方向：協(xié)同控制、飛行器制導、動力學建模與仿真等。

通訊地址：北京市中關村南大街5號，北京理工大學宇航學院飛行器控制系（100081）

E-mail：seankang90@gmail.com

[責任編輯：楊曉燕，英文審校：朱恬]