陜西 王仕林

探討增元法求解最值問題

陜西 王仕林

求最值問題是高中數(shù)學(xué)中最重要的問題，也是高考考查的熱點(diǎn)之一；它滲透在高中數(shù)學(xué)各個(gè)模塊中；求最值的方法也多種多樣，增元法就是其中一種最重要的方法；通常把要求的最值代數(shù)式通過增元化成函數(shù)，然后利用函數(shù)求最值的方法，達(dá)到求最值的目的.本人歸納出利用增元的方法求函數(shù)最值問題的三種模型，相對(duì)于常規(guī)方法而言，這種方法可以起到事半功倍的效果.

方法2：以上證明運(yùn)用了函數(shù)求最值的方法，下面用本文所講的增元法來解決.

【評(píng)注】以上兩種不同的求解方法都利用了均值不等式求最值，但明顯第一種方法轉(zhuǎn)化成均值不等式形式的過程中，利用了通分、相除、湊項(xiàng)、拆項(xiàng)、換元等五步整理，而第二種方法只經(jīng)過了增元、把1代換、相乘等三步就完成了，而且運(yùn)算過程比較簡(jiǎn)單.

【解析】方法1：該題是無理函數(shù)求最值問題，用代數(shù)法就必須去掉根號(hào)，可考慮三角換元法.

設(shè)x=4cosα(0≤α≤π) ，則

又0≤α≤π，所以-φ≤α-φ≤π-φ，

所以-sinφ≤sin(α-φ)≤1，

所以-12≤13sin(α-φ)≤13，

即f(x)max=13,f(x)min=-12.

方法2：利用增元法，效率大大增強(qiáng).

【評(píng)注】從以上兩種證明方法可以看出，三角換元法的運(yùn)算比較繁瑣，而增元法最后轉(zhuǎn)化成數(shù)形結(jié)合，運(yùn)算少，而且很直觀.

【解析】方法1：本題初看不知從哪下手，仔細(xì)分析后可考慮用三角換元法.

方法2：由于該函數(shù)比較復(fù)雜，特別是含有根號(hào)，因此，可考慮用增元法求解.

【評(píng)注】以上兩種方法求解，雖然最后都用了斜率的幾何意義來求其最大與最小值問題，但是第一種方法太麻煩了，用了兩次換元才知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡，尤其是P(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)很不容易找到.而利用增元法，原函數(shù)就變成了條件等式下的二元函數(shù)求最值問題，而且很容易想到用斜率的幾何意義來求解.

陜西省漢中市西鄉(xiāng)二中)