吳俊杰++鄒燕麗

摘 要：數(shù)學(xué)史特別是中國數(shù)學(xué)史在高中數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)內(nèi)容較多，怎樣將相關(guān)中國數(shù)學(xué)史融入到高中數(shù)學(xué)課堂，使教學(xué)既能激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的愛國主義熱情，又能體現(xiàn)中國數(shù)學(xué)史的文化價(jià)值，還能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)思維。本文以“祖暅原理”為例，通過闡述“祖暅原理”的由來列舉經(jīng)典例題進(jìn)行說明。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；中國數(shù)學(xué)史；祖暅原理

教育部頒發(fā)的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)）中，對(duì)高中數(shù)學(xué)課程提出了十條要求，其一便是要充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)該適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)等等，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的重要作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀。

數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一個(gè)重要性突破，數(shù)學(xué)史特別是中國數(shù)學(xué)史在高中數(shù)學(xué)教科書中出現(xiàn)內(nèi)容較多（以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版為例），包含大量中國數(shù)學(xué)歷史名人和影響深遠(yuǎn)的公式、結(jié)論等。本文僅以“祖暅原理”為例簡單談?wù)?，僅供參考。

一、 “祖暅原理”的由來

“祖暅原理”出現(xiàn)在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版必修二第一章《空間幾何體》的《探究與發(fā)現(xiàn)》中。《探究與發(fā)現(xiàn)》首先簡單介紹了祖暅為著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之之子及原理內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)教師可以進(jìn)一步去挖掘原理的由來?！白鏁溤怼保瑲v史上也稱“祖氏原理”，“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“勢(shì)”即是高，“冪”是面積。其意為：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那這兩個(gè)幾何體的體積就相等。其發(fā)現(xiàn)起源于劉徽發(fā)現(xiàn)的《九章算術(shù)》中球的體積公式是錯(cuò)的，劉徽通過構(gòu)造“牟合方蓋” 證明了他的結(jié)論，然而“牟合方蓋”的體積怎么求，劉徽最終未能解決。兩個(gè)世紀(jì)后，祖暅沿用劉徽的思想，將目標(biāo)轉(zhuǎn)為求一個(gè)立方體與其內(nèi)切牟合方蓋的差的部分，再把“差”自然分成相等八份，每份成為“小方蓋差”，把問題轉(zhuǎn)成立方體的八分之一和其“小方蓋差”的關(guān)系，最后正確求得球體積公式。通過挖掘這些素材，讓學(xué)生理解劉徽的構(gòu)造性思維和創(chuàng)新思想及祖暅的奇思妙想，對(duì)“創(chuàng)新”有進(jìn)一步的體會(huì)；有助于培養(yǎng)學(xué)生敢于懷疑與批評(píng)、尊重事實(shí)，實(shí)事求是的數(shù)學(xué)理性精神，激發(fā)學(xué)生的愛國熱情，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在以后的求學(xué)道路上要敢于發(fā)現(xiàn)問題，認(rèn)真思考，永不放棄，最終解決問題。然而可惜的是“祖暅原理”卻沒有盡早被西方所知，很重要的一個(gè)原因便是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)語言很不規(guī)范，沒有嚴(yán)格的證明，也沒有達(dá)到嚴(yán)格的演繹，從而導(dǎo)致此原理沒有得到廣泛的傳播。作為數(shù)學(xué)教師，要在平時(shí)的教學(xué)中幫助學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言，讓他們注重?cái)?shù)學(xué)語言的規(guī)范化，也讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)語言的無限魅力。

二、 “祖暅原理”的應(yīng)用與推廣

推論1：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積比總為m：n， 那么這兩個(gè)幾何體的體積之比亦為m：n；推論2 ：夾在兩條平行線間的兩個(gè)平面圖形，被平行于這兩條平行線的任意直線所截，如果截得的兩條線段的長度之比總為m：n，那么這兩個(gè)平面圖形的面積之比亦為m：n.利用祖暅原理及其推論可以求一些旋轉(zhuǎn)體的體積及平面圖形的面積。

【例1】 數(shù)學(xué)家祖暅（公元前5～6世紀(jì)）提出：“冪勢(shì)既同，則積不容異。”這句話的意思是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總是相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.設(shè)：由曲線x2=4y和直線x=4，y=0所圍成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為F1；由同時(shí)滿足：

x≥0，x2+y2≥0，x2+y2≤16，x2+（y-2）2≥4，x2（y+2）2≥4的點(diǎn)（x，y）構(gòu)成的平面圖形，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為F2。根據(jù)祖暅原理等知識(shí)，通過考查F2可以得到F1的體積為（ ）

A. 16π B. 32π

C. 64πD. 128π

【解析】 兩圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8個(gè)單位的平行平面之間，用任意一個(gè)與y軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為|y|，所得截面面積

S1=π（42-4|y|），S2=π（42-y2）-π[4-（2-|y|）2]=π（42-4|y|）

∴S1=S2，由祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等，

∵F2=12×4π3×（43-23-23）=2π3×48=32π，∴F1=32π。故選：B

題目來源于泉州市2013屆高三3月質(zhì)量檢查文科數(shù)學(xué)，主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

【例2】 求曲線y=2x2與x軸、直線x=2所圍圖形的面積；

【解析】 將曲邊三角形ABC沿垂直于其所在平面的方向平移一個(gè)單位，得到幾何體ABC-A1B1C1，為求該幾何體構(gòu)造正四棱錐S-MNPO，使得兩幾何體等高，底面在同一平面，且底面積相同，即AC=OS=2，SMNPQ=8。用平行于底面ABB1A1的截面去截它們，分別得到矩形DEE1D1和矩形M1N1P1P1. 設(shè)它們距CC1，S所在平面的距離為x0，顯然SDEE1D1=2x02，而

SM1N1P1Q1=x024SMNPQ=2x02，由祖暅原理知VABC-A1B1C1=SMNPQ=163，

SABC=VABC-A1B1C1AA1=163。

此題若用定積分知識(shí)也可容易求出所圍圖形的面積。筆者提供的這種解法把“非標(biāo)準(zhǔn)”平面圖形通過空間平移轉(zhuǎn)化為“非標(biāo)準(zhǔn)”幾何體，通過祖暅原理求出該幾何體的體積，然后由體積公式求出該平面圖形面積。這種構(gòu)造思想不僅可以用來求曲邊三角形的面積，也可以應(yīng)用于一些其他平面圖形的面積。

【例3】 求橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的面積；

解：圓O的方程為x′2+y′2=a2（a>0），作沿平行于y軸方向的均勻壓縮變換x′=x

y′=aby，代入圓O的方程就得橢圓方程。由于橢圓與圓都夾在兩條平行線l1與l2之間，且PP″l1″l2，利用“祖暅原理”推論2得S橢圓S圓=2MN2PN=yy′=ba，所以S橢圓=S圓·ba=πa2·ba=πab。

圓是同學(xué)們熟悉的平面圖形，其面積公式大家耳熟能詳，但對(duì)于橢圓的面積公式，書本并未給出。利用“祖暅原理”推論將橢圓的面積與圓的面積公式聯(lián)系起來，很容易可以求出橢圓的面積，在整個(gè)過程中，有效激發(fā)了學(xué)生探究的精神。

在高中數(shù)學(xué)課堂滲透中國數(shù)學(xué)史，讓廣大中學(xué)教師有力把握中國數(shù)學(xué)史在高中數(shù)學(xué)中的重要地位及其作用，有利于數(shù)學(xué)老師更加全面、更加深刻地理解數(shù)學(xué)，提高他們的專業(yè)水平及素養(yǎng)，進(jìn)而提升教學(xué)能力；同時(shí)有助于活躍數(shù)學(xué)課堂氣氛，使數(shù)學(xué)教學(xué)更加高效，對(duì)日常的數(shù)學(xué)教學(xué)起到十分積極的作用。從而，也可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，擴(kuò)大知識(shí)面和視野；有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義熱情，有效地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。

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