王健 吳世巧 梅軍

(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510641)

二維聲子晶體中簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)操作導(dǎo)致的拓?fù)湎嘧?

王健 吳世巧 梅軍?

(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510641)

(2017年7月24日收到;2017年9月19日收到修改稿)

構(gòu)建了一種簡(jiǎn)單的二維聲子晶體:由兩個(gè)橫截面為三角形的鋼柱所組成的復(fù)式元胞按三角點(diǎn)陣的形式排列在空氣中,等效地形成了一個(gè)蜂巢點(diǎn)陣結(jié)構(gòu).當(dāng)三角形鋼柱的取向與三角點(diǎn)陣的高對(duì)稱方向一致時(shí),整個(gè)體系具有C6v對(duì)稱性.研究發(fā)現(xiàn):在保持鋼柱填充率不變的條件下,只需要將所有三角柱繞著自己的中心旋轉(zhuǎn)180?,就可實(shí)現(xiàn)二重簡(jiǎn)并的p態(tài)和d態(tài)在布里淵區(qū)中心Γ點(diǎn)處的頻率反轉(zhuǎn),且該能帶反轉(zhuǎn)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)拓?fù)湎嘧冞^(guò)程.通過(guò)利用Γ點(diǎn)的p態(tài)和d態(tài)的空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,構(gòu)造了一個(gè)贗時(shí)反演對(duì)稱性,并在聲學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了類似于電子系統(tǒng)中量子自旋霍爾效應(yīng)的贗自旋態(tài).隨后通過(guò)k·p微擾法導(dǎo)出了Γ點(diǎn)附近的有效哈密頓量,并分別計(jì)算了拓?fù)淦接购头瞧接瓜到y(tǒng)的自旋陳數(shù),揭示了能帶反轉(zhuǎn)和拓?fù)湎嘧兊膬?nèi)在聯(lián)系.最后通過(guò)數(shù)值模擬演示了受到拓?fù)洳蛔兞勘Ｗo(hù)的聲波邊界態(tài)的單向傳輸行為和對(duì)缺陷的背向散射抑制.文中所研究的聲波體系,盡管材料普通常見,但其拓?fù)鋷兜南鄬?duì)寬度超過(guò)21%,比已報(bào)道的類似體系的帶隙都要寬,且工作原理涵蓋從次聲波到超聲波的很大頻率范圍,從而在實(shí)際應(yīng)用上具有較大的優(yōu)勢(shì)和潛力.

聲子晶體,拓?fù)湎嘧?能帶反轉(zhuǎn),贗自旋

1 引 言

量子霍爾效應(yīng)(quantum halle ff ect,QHE)[1?3]和量子自旋霍爾效應(yīng)(quantum spin hall e ff ect,QSHE)[4?7]的發(fā)現(xiàn)不僅開啟了凝聚態(tài)物理中拓?fù)浣^緣體[8,9]研究的新篇章,而且也使得數(shù)學(xué)中抽象的拓?fù)涓拍钤谖锢韺W(xué)中受到越來(lái)越多的關(guān)注和重視.拓?fù)鋺B(tài)有許多新奇的特性,比如:單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài),對(duì)缺陷不敏感的背向散射抑制等,這些有趣的現(xiàn)象都引起了人們極大的研究興趣.但是在電子體系中,拓?fù)浞瞧接瓜到y(tǒng)的實(shí)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)條件上要求比較高,比如說(shuō)QHE往往需要在低溫和強(qiáng)磁場(chǎng)中才能實(shí)現(xiàn),這就給實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用造成了很大的困難.

光子晶體和聲子晶體是由不同性質(zhì)的材料在空間中做周期性排列而形成的人工結(jié)構(gòu),電磁波和聲波在其中的傳輸特性與自然晶體中的電子波類似,都可用能帶結(jié)構(gòu)和帶隙的概念加以描述.存在外加磁場(chǎng)的情況下,由于破壞了時(shí)間反演對(duì)稱性,光子晶體中可實(shí)現(xiàn)沿邊界單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài)[10?12].但對(duì)于聲子晶體,由于常見材料的聲學(xué)性質(zhì)對(duì)磁場(chǎng)不敏感,無(wú)法像光子晶體那樣直接引入磁場(chǎng)來(lái)打破時(shí)間反演對(duì)稱性.于是,有學(xué)者建議通過(guò)加入旋轉(zhuǎn)的背景氣流[13?17],起到類似磁場(chǎng)的效果,來(lái)打破時(shí)間反演對(duì)稱性,從而實(shí)現(xiàn)單向傳播的邊界態(tài).還有學(xué)者通過(guò)時(shí)空調(diào)制[18,19]、耦合共振[20?22]等方式也在聲波系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài).也有學(xué)者另辟蹊徑,通過(guò)構(gòu)造具有特定對(duì)稱性的光子晶體[23,24]或聲子晶體結(jié)構(gòu)[25?27],使相應(yīng)體現(xiàn)的帶結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)中心或邊界產(chǎn)生狄拉克錐,再通過(guò)改變填充率或降低對(duì)稱性的方法,使狄拉克錐打開一個(gè)帶隙,進(jìn)而研究體帶隙中產(chǎn)生的邊界態(tài)是否具有拓?fù)湫再|(zhì).例如,利用布里淵區(qū)中心的C6v對(duì)稱性,以及C6v點(diǎn)群的兩個(gè)二維不可約表示,在一定條件下在Γ點(diǎn)可產(chǎn)生偶然的四重簡(jiǎn)并態(tài)和雙狄拉克錐[28?31].在此基礎(chǔ)上通過(guò)調(diào)節(jié)散射體的幾何參數(shù),可實(shí)現(xiàn)帶隙從打開到關(guān)閉再到打開的拓?fù)湎嘧冞^(guò)程,從而在經(jīng)典波領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了類似于電子系統(tǒng)中的QSHE.此外,通過(guò)構(gòu)建具有C3v對(duì)稱性的三角晶格,使得布里淵區(qū)邊界上K和K′點(diǎn)不等價(jià)[32],然后將K點(diǎn)的對(duì)稱性降低為C3,就會(huì)在K和K′點(diǎn)的狄拉克錐中打開一個(gè)帶隙,從而實(shí)現(xiàn)具有谷拓?fù)湫再|(zhì)的邊界態(tài)[33,34].

本文構(gòu)建了一種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的二維聲子晶體系統(tǒng):由兩個(gè)三角形鋼柱組成的復(fù)式元胞按三角點(diǎn)陣形式排列在空氣中,并使整個(gè)系統(tǒng)具有C6v對(duì)稱性.與現(xiàn)有研究方法不同的是,本文方法不需要改變鋼柱子的填充率,也不必移動(dòng)鋼柱子在元胞中的位置來(lái)降低體系的對(duì)稱性,而只需要將每個(gè)柱子繞自己中心旋轉(zhuǎn)180?就可以實(shí)現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn).有趣的是,旋轉(zhuǎn)前后的結(jié)構(gòu)分別是拓?fù)淦接购屯負(fù)浞瞧接沟?盡管它們的填充率是完全一樣的,盡管每個(gè)柱子中心的位置也沒(méi)有改變.而且,通過(guò)這種簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)的方法實(shí)現(xiàn)的拓?fù)浞瞧接箮兜南鄬?duì)寬度可以超過(guò)21%,顯著地超過(guò)已知類似體系的帶隙,這就給實(shí)驗(yàn)測(cè)量和實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了很大的方便,因?yàn)橹恍枰^小的樣品就可以觀察到受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài),而且該表面態(tài)的魯棒性也很好.

2 研究的體系

2.1 體系的設(shè)計(jì)

將截面為正三角形的2個(gè)鋼柱子組成一個(gè)復(fù)式元胞,然后按照三角晶格形式排列在空氣中,于是就從整體上形成了蜂巢晶格的結(jié)構(gòu),如圖1所示.三角形柱子的中心位于六邊形元胞的六個(gè)頂點(diǎn)上,且所有三角柱子的朝向都與晶格點(diǎn)陣的高對(duì)稱方向重合.我們發(fā)現(xiàn),即使每個(gè)柱子的朝向都與相鄰的柱子不同,還是有兩種排列方式可以確保整個(gè)晶格具有C6v對(duì)稱性,這兩種排列方式分別命名為P型和N型,如圖1所示.r為三角柱的頂點(diǎn)到其中心的距離,L為相鄰兩個(gè)三角柱中心的距離.復(fù)式元胞的晶格常數(shù),基矢量

在這樣的體系中傳播的聲波方程為

其中ψ是聲壓;ρr=ρ/ρ0和Br=B/B0分別表示相對(duì)質(zhì)量密度和相對(duì)體彈性模量;ρ=ρ(x)和B=B(x)是空間中某一點(diǎn)x處的質(zhì)量密度和體彈性模量;ω為角頻率;B0和ρ0表示基體的質(zhì)量密度和體彈性模量,為基體中的聲波速度.在本文中基體為空氣,散射體為鋼柱,由于兩者密度和縱波速度都相差甚大,所以可以忽略散射體中剪切波的影響,把鋼柱當(dāng)作剛體來(lái)處理.事實(shí)上,只要是散射體和基體的阻抗相差很大,下面的計(jì)算結(jié)果和結(jié)論都依然成立.本文中計(jì)算和模擬都是采用COMSOL Multiphysics(一種基于有限元法的數(shù)值模擬仿真軟件)來(lái)完成的.

2.2 能帶反轉(zhuǎn)

具有C6v對(duì)稱性的晶格結(jié)構(gòu),在布里淵區(qū)中心Γ點(diǎn)的本征態(tài)有2個(gè)二維不可約表示:E1和E2.二重簡(jiǎn)并的偶極子態(tài),如圖2中的px和py,對(duì)應(yīng)于E1不可約表示,具有奇宇稱,簡(jiǎn)稱為p態(tài).二重簡(jiǎn)并的四極子態(tài),如圖2中的dx2?y2和d2xy,對(duì)應(yīng)于E2不可約表示,具有偶宇稱,簡(jiǎn)稱為d態(tài).這里所謂p態(tài)和d態(tài)的叫法都是來(lái)源于量子系統(tǒng)中的電子波函數(shù).

對(duì)于P型聲子晶體,位于Γ點(diǎn)的二重簡(jiǎn)并的p態(tài)和d態(tài)的頻率隨幾何參數(shù)r/L的變化情況如圖1的藍(lán)色點(diǎn)線所示.可以看到,當(dāng)r=rc=0.31L時(shí)(紅點(diǎn)位置處),p態(tài)和d態(tài)在Γ點(diǎn)偶然簡(jiǎn)并成為一個(gè)四重簡(jiǎn)并態(tài),此時(shí)帶結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)中心形成了雙狄拉克錐線性色散關(guān)系[25?27];在其他情況下,p態(tài)和d態(tài)之間都存在著一個(gè)帶隙.通過(guò)考察不同r時(shí)的本征頻率,發(fā)現(xiàn)當(dāng)r＜rc時(shí),p態(tài)的頻率比d態(tài)高,二者之間有一個(gè)拓?fù)浞瞧接沟膸?而當(dāng)r＞rc時(shí),p態(tài)的頻率比d態(tài)低,二者之間有一個(gè)拓?fù)淦接沟膸?也就是說(shuō),p態(tài)和d態(tài)的本征頻率,在經(jīng)過(guò)rc=0.31L時(shí),它們的相互位置發(fā)生了改變.這稱之為能帶反轉(zhuǎn),意味著拓?fù)湎嘧僛23,25?27].但從圖1中可以看到,對(duì)P型聲子晶體而言,能帶反轉(zhuǎn)前后,帶隙頻率的重合部分很小,這不利于拓?fù)溥吘墤B(tài)的產(chǎn)生和利用,因此我們將采用另外一種方式來(lái)實(shí)現(xiàn)能帶反轉(zhuǎn).

圖1 P型和N型聲子晶體在Γ點(diǎn)的兩個(gè)雙重簡(jiǎn)并態(tài)的頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)r/L的變化曲線.嵌入的兩幅圖分別為P型和N型聲子晶體的結(jié)構(gòu)示意圖,紅色的正六邊形表示一個(gè)元胞,每個(gè)元胞包含2個(gè)鋼柱,f為頻率Fig.1.Frequencies of doublydegenerate p states and d states at the Γ point as functions of the geometrical parameter(r/L)for both P-type and N-type acoustic crystals(ACs).Insets schematically show the structure of P-type and N-type ACs,where the red hexagon represents one unit cell,which is composed of two identical steel rods.

將P型聲子晶體中的每個(gè)三角柱繞著自己的中心旋轉(zhuǎn)180?,就變成了N型聲子晶體,此時(shí)C6v對(duì)稱性依然得以保留.N型聲子晶體的p態(tài)和d態(tài)的頻率隨參數(shù)r/L的變化情況如圖1的綠色點(diǎn)線所示.通過(guò)觀察其本征頻率,發(fā)現(xiàn)N型聲子晶體永遠(yuǎn)都是p態(tài)在d態(tài)上面,無(wú)論怎么改變r(jià)都不可能發(fā)生拓?fù)湎嘧?但如果比較P型和N型兩種聲子晶體,就會(huì)發(fā)現(xiàn)在0.31＜r/L＜0.50的范圍內(nèi),N型聲子晶體拓?fù)浞瞧接沟膸?p態(tài)在d態(tài)上面)總是包含著P型聲子晶體拓?fù)淦接沟膸?p態(tài)在d態(tài)下面).因此,下文中將利用N型聲子晶體的非平庸帶隙和P型聲子晶體的平庸帶隙來(lái)構(gòu)造和研究邊界態(tài).

作為例子,圖2(a)和圖2(b)中,分別給出了P型和N型聲子晶體在r/L=0.45時(shí)的帶結(jié)構(gòu).在圖2(a)中,Γ點(diǎn)有兩個(gè)二重簡(jiǎn)并態(tài),且在它們之間有個(gè)很大的帶隙fa/c0=(0.865?1.022),帶隙相對(duì)寬度,即帶隙頻寬與帶隙中間頻率之比,達(dá)到了16.6%,這比已報(bào)道的類似體系的拓?fù)鋷禰25?27]都要寬.嵌入的四個(gè)圖分別表示這兩個(gè)二重簡(jiǎn)并態(tài)的本征場(chǎng),可以看出在帶隙下方的二重簡(jiǎn)并態(tài)為p態(tài),帶隙上方的為d態(tài),因此這個(gè)帶隙是拓?fù)淦接沟?在圖2(b)中,Γ點(diǎn)也有兩個(gè)二重簡(jiǎn)并態(tài),且它們之間的帶隙更大fa/c0=(0.803—0.996),帶隙相對(duì)寬度甚至達(dá)到了21.4%.注意這里由于第四條帶的最低點(diǎn)不在Γ點(diǎn)而在M點(diǎn),所以實(shí)際的絕對(duì)帶隙為(0.803—0.996),而不是Γ點(diǎn)兩個(gè)雙重簡(jiǎn)并態(tài)之間的頻率間隔(0.803—1.102).并且p態(tài)在帶隙上方,d態(tài)在帶隙下方,因此這個(gè)帶隙是拓?fù)浞瞧接沟?也就是說(shuō),與圖2(a)相比,p態(tài)和d態(tài)在Γ點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了反轉(zhuǎn).

圖2 P型和N型聲子晶體在r/L=0.45時(shí)的帶結(jié)構(gòu),嵌入的圖為Γ點(diǎn)(紅點(diǎn)處)的兩個(gè)雙重簡(jiǎn)并態(tài)(p態(tài)和d態(tài))的聲壓場(chǎng) (a)P型聲子晶體的拓?fù)淦接沟膸ЫY(jié)構(gòu);(b)N型聲子晶體的拓?fù)浞瞧接沟膸ЫY(jié)構(gòu)Fig.2.Band structures of P-type and N-type ACs when r/L=0.45:(a)The band gap of P-type AC is topologically trivial;(b)the band gap of N-type AC is topologically nontrivial.In both(a)and(b),insets show the acoustic pressure fields of the doublydegenerate p states and d states at the Γ point.

2.3 贗時(shí)間反演對(duì)稱性與贗自旋態(tài)

前文已提到,C6v點(diǎn)群有2個(gè)二維不可約表示:E1和E2.{px,py}對(duì)應(yīng)于E1表示,而對(duì)應(yīng)于E2表示.根據(jù)E1和E2表示基函數(shù)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,可以構(gòu)造一個(gè)贗時(shí)間反演算符T=UK,其中U=?iσy是一個(gè)反幺正算符,K為復(fù)共軛算符[23,25?27].T算符具有如下性質(zhì):

可以看出,T算符的角色完全類似于電子系統(tǒng)中真實(shí)的時(shí)間反演算符,所以T稱之為贗時(shí)間反演算符.顯然,兩個(gè)贗自旋態(tài)都是T的本征態(tài):它們?cè)赥的作用下能互相轉(zhuǎn)換.p+和p?分別表示贗自旋向上和贗自旋向下的態(tài).同樣的道理,根據(jù)d態(tài)的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,也能構(gòu)造出類似的贗自旋態(tài)

2.4 哈密頓量與自旋陳數(shù)

為了研究Γ點(diǎn)附近的色散關(guān)系,根據(jù)k·p微擾理論[23?26,29,30,35?37],可以只考慮兩個(gè)二重簡(jiǎn)并態(tài)的貢獻(xiàn).此時(shí),體系的有效哈密頓量在基矢(|px〉,|py〉,|dx2?y2〉,|d2xy〉)T下可寫為

其中k±=kx±iky,M=(εd?εp)/2,A來(lái)自一階微擾項(xiàng)的非對(duì)角項(xiàng).B來(lái)自二階微擾項(xiàng)的對(duì)角項(xiàng),且小于零.

為了描述體系的拓?fù)湫?可通過(guò)下面的式子來(lái)計(jì)算自旋陳數(shù)(spin Chern number)[4,38]:

顯然,如果BM＜0,Cs=0,對(duì)應(yīng)于拓?fù)淦接箲B(tài);如果BM＞0,Cs=±sgn(M),對(duì)應(yīng)于拓?fù)浞瞧接箲B(tài).在本文的體系中,對(duì)于P型聲子晶體,d態(tài)頻率在p態(tài)之上(εd＞εp),M＞0,Cs=0,所以帶隙是拓?fù)淦接沟?但對(duì)于N型聲子晶體,d態(tài)頻率在p態(tài)之下(εd＜εp),M＜0,Cs=±1,帶隙則是拓?fù)浞瞧接沟?

無(wú)論是有效哈密頓量,自旋陳數(shù),還是拓?fù)湎嘧儥C(jī)理,本文的聲子晶體系統(tǒng)都類似于CdTe/HgTe/CdTe量子阱系統(tǒng)中的Bernevig-Hughes-Zhang模型[4],因此完全有理由相信,在本文的聲子晶體系統(tǒng)可以出現(xiàn)一個(gè)類似電子QSHE的聲學(xué)自旋霍爾效應(yīng).

2.5 自旋依賴的拓?fù)溥吔鐟B(tài)

既然體態(tài)受到自旋陳數(shù)的保護(hù),根據(jù)體態(tài)-邊界態(tài)對(duì)應(yīng)原則,在非平庸聲子晶體的邊界上會(huì)出現(xiàn)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的單向傳播邊界態(tài).將上面的P型和N型聲子晶體拼接在一起,形成一種三明治結(jié)構(gòu):厚度為10層的N型聲子晶體被厚度為10層的P型聲子晶體從兩邊夾在一起,如圖3(b)所示.計(jì)算了該超胞結(jié)構(gòu)沿ΓM方向的投影帶結(jié)構(gòu),結(jié)果如圖3(a)所示,其中黑點(diǎn)表示體態(tài),藍(lán)點(diǎn)表示邊界態(tài).可以看出,邊界態(tài)(藍(lán)色)出現(xiàn)在體態(tài)帶隙的地方,且邊界態(tài)將體態(tài)連接起來(lái).值得注意的是,圖中邊界態(tài)(藍(lán)色)上的每一點(diǎn)都為二重簡(jiǎn)并,這是由于在同一波矢同一頻率處永遠(yuǎn)都有贗自旋向上和贗自旋向下兩個(gè)態(tài)同時(shí)存在所導(dǎo)致的.而且,這兩個(gè)同頻率的邊界態(tài)分別位于N型聲子晶體的左側(cè)和右側(cè)邊界上.為了更直觀地顯示結(jié)果,在圖3(a)中選取了A,B兩個(gè)代表點(diǎn),將其所對(duì)應(yīng)的邊界態(tài)的場(chǎng)圖繪于圖3(b)中.

B點(diǎn)的場(chǎng)圖繪于圖3(b)的上方,可以看出:左側(cè)邊界上能流是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的,對(duì)應(yīng)贗自旋垂直紙面朝上,該邊界態(tài)向下(?y方向)傳播;右側(cè)邊界上能流是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的,對(duì)應(yīng)贗自旋垂直紙面朝下,該邊界態(tài)也向下(?y方向)傳播.A點(diǎn)的場(chǎng)圖與B點(diǎn)類似,只不過(guò)能流方向、贗自旋方向和傳播方向均與B點(diǎn)相反:左側(cè)邊界上能流是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的,贗自旋垂直紙面朝下,該邊界態(tài)向上(+y方向)傳播;右側(cè)邊界上能流是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的,贗自旋垂直紙面朝上,該邊界態(tài)也向上(+y方向)傳播.這樣就在每條邊界上(不管是左側(cè)邊界還是右側(cè)邊界),同時(shí)都存在2個(gè)邊界態(tài),每個(gè)邊界態(tài)都有一個(gè)確定的傳播方向,且鎖定一個(gè)確定的贗自旋方向.因此,這種邊界態(tài)是手性的(helical).

圖3 P型/N型聲子晶體界面上的拓?fù)溥吔鐟B(tài) (a)表示PNP三明治結(jié)構(gòu)(由10層N型結(jié)構(gòu)被10層P型結(jié)構(gòu)從兩邊包夾而組成)沿著ΓM方向的投影帶結(jié)構(gòu),黑色的點(diǎn)表示體態(tài),藍(lán)色的點(diǎn)表示邊界態(tài);(b)藍(lán)色矩形代表計(jì)算所用到的超胞結(jié)構(gòu),上面兩個(gè)場(chǎng)圖畫出了B點(diǎn)的邊界態(tài),下面兩個(gè)場(chǎng)圖為A點(diǎn)的邊界態(tài),其中黑色箭頭表示時(shí)間平均后的能流密度矢量,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的能流對(duì)應(yīng)贗自旋方向垂直紙面朝外,用綠色的旋轉(zhuǎn)箭頭表示,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的能流對(duì)應(yīng)贗自旋垂直紙面朝內(nèi),用紅色的旋轉(zhuǎn)箭頭表示;中間的示意圖表示在每個(gè)界面上攜帶某個(gè)贗自旋分量的聲波邊界態(tài)只能沿著一個(gè)固定的方向傳播,體現(xiàn)了邊界態(tài)的手性Fig.3.(a)The projected band structure along the ΓM direction for a ribbon of a N-type AC(10 unit cells)sandwiched by two P-type ACs(10 unit cells)from both sides,black and blue dots represent bulk and edge states,respectively;(b)the blue rectangle represents the supercell used in the calculation,acoustic pressure field distributions at edge states A and B are shown,where the wave energy is obviously localized around the interface between N-type/P-type ACs,black arrows represent the time-averaged Poynting vectors,the counterclockwise and clockwise rotational behaviors of the Poynting vectors are consistent with the spin-up and spin-down orientations of the pseudospin components.

圖4 (a)贗自旋向上(S+)的聲波能沿著左側(cè)的P/N邊界向下傳播,但不能沿著右側(cè)的N/P邊界向下傳播(b);(c)贗自旋向下(S?)的聲波不能沿著左側(cè)P/N邊界向下傳播,但能沿著右側(cè)的N/P邊界向下傳播(d)Fig.4.(a),(b)When excited by a pseudospinup source(S+),there exists an edge mode that can propagate along the left hand side P/N interface,but no edge state exists along the right hand side N/P interface;(c),(d)when excited by a pseudospin-down source(S?),there exists an edge mode that can propagate along the right hand side N/P interface,but no edge state exists along the left hand side P/N interface.

為了驗(yàn)證手性邊界態(tài)的性質(zhì),圖4展示了不同贗自旋態(tài)的聲波沿兩種邊界傳輸?shù)那闆r.圖4(a)和圖4(b)模擬的是贗自旋朝上(S+)的聲波從樣品上方入射到兩個(gè)邊界的情況,可以看出聲波可以沿左側(cè)邊界(P/N邊界)無(wú)損耗傳輸,但無(wú)法通過(guò)右側(cè)邊界(N/P邊界).圖4(c)和圖4(d)模擬的是贗自旋朝下(S?)的聲波從樣品上方入射到兩個(gè)邊界的情況,同樣可以看到,聲波只能沿其中一個(gè)邊界傳輸,但與前一種情況剛好相反:贗自旋朝下的聲波能通過(guò)右側(cè)邊界(N/P邊界),但不能通過(guò)左側(cè)邊界(P/N邊界).邊界態(tài)的這種行為與電子系統(tǒng)中的QSHE完全一致.

2.6 缺陷免疫

圖5 (a)平面波入射到一個(gè)具有彎曲通道的PN型聲子晶體中,可以發(fā)現(xiàn)聲波幾乎沒(méi)有阻礙的傳播過(guò)去;(b)在(a)圖的基礎(chǔ)上引入了空穴和無(wú)序的缺陷,但聲波繞過(guò)這些缺陷傳播了過(guò)去,與(a)相比只是相位有所改變;紅色箭頭代表入射波方向Fig.5.(a)The edge mode can propagate unidirectionally along the interface with almost no backscattering even when there are four 90-degree bends at the interface;(b)similar to(a)but with two more defects(a cavity defect and a disorder defect)are introduces into the interface.It can be seen that the acoustic wave can go round all these defects with little back-scattering.Red arrows represent the incident waves.

拓?fù)溥吔鐟B(tài)的一個(gè)重要性質(zhì)就是它的魯棒性:它對(duì)缺陷是免疫的,不管是彎曲邊界,還是邊界上存在空穴(cavity)和無(wú)序(disorder)等缺陷,受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)都可以繞過(guò)這些缺陷傳輸過(guò)去,并且?guī)缀鯖](méi)有反射.圖5(a)模擬的是平面波從上方入射到一條有四個(gè)直角轉(zhuǎn)彎的邊界上,可以發(fā)現(xiàn)聲波沒(méi)有阻礙地沿著邊界傳輸過(guò)去,幾乎沒(méi)有反射,就像在直邊界上傳播一樣.圖5(b)是在圖5(a)的基礎(chǔ)上在邊界中加入了空穴和無(wú)序的缺陷,同樣讓平面波從上方入射,可以發(fā)現(xiàn)聲波很輕易地就繞過(guò)了這些缺陷向下傳輸了過(guò)去,就像這些缺陷不存在一樣.值得注意的是,邊界態(tài)之所以具有這么好的魯棒性,是因?yàn)楸疚乃O(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有很寬的拓?fù)鋷?如前所述,帶隙的相對(duì)寬度達(dá)到了21%,比已報(bào)道的類似體系的帶隙都要寬,這使得邊界態(tài)對(duì)缺陷很不敏感,從而在實(shí)際應(yīng)用上具有較大的優(yōu)勢(shì)和潛力.

3 討論與結(jié)論

設(shè)計(jì)了兩種具有C6v對(duì)稱性的二維聲子晶體:它們是由兩個(gè)三角形鋼柱組成的復(fù)式元胞按三角點(diǎn)陣的形式排列在空氣中所形成的.只需將所有三角柱繞著自己的中心旋轉(zhuǎn)180?,這兩種聲子晶體就能簡(jiǎn)單地完成互相轉(zhuǎn)變.這樣就在保持晶格對(duì)稱性和填充率不變的條件下實(shí)現(xiàn)拓?fù)湎嘧?通過(guò)利用Γ點(diǎn)二重簡(jiǎn)并的p態(tài)和d態(tài)的空間對(duì)稱性,構(gòu)造了一個(gè)贗時(shí)間反演對(duì)稱性,從而在聲學(xué)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了類似于電子系統(tǒng)中QSHE的贗自旋態(tài).接著通過(guò)k.p簡(jiǎn)并微擾法導(dǎo)出了Γ點(diǎn)附近的有效哈密頓量,并計(jì)算了P型和N型兩種聲子晶體帶結(jié)構(gòu)的自旋陳數(shù),揭示了能帶反轉(zhuǎn)和拓?fù)湎嘧兊穆?lián)系.然后又通過(guò)數(shù)值模擬證實(shí)了具有自旋取向依賴的單向傳輸?shù)倪吔鐟B(tài),該邊界態(tài)具有很好的魯棒性,對(duì)直角彎曲、空穴和無(wú)序等缺陷是免疫的.雖然該類型的聲子晶體用到的都是普通常見材料,但拓?fù)鋷逗軐?結(jié)構(gòu)也并不復(fù)雜,其基本原理適用于從次聲波到超聲波的很大頻率范圍的聲波,在實(shí)際應(yīng)用上具有較大的優(yōu)勢(shì)和潛力.

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*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11274120,11574087).

?Corresponding author.E-mail:phjunmei@scut.edu.cn

Topological phase transitions caused by a simple rotational operation in two-dimensional acoustic crystals?

Wang Jian Wu Shi-Qiao Mei Jun?

(School of Physics,South China University of Technology,Guangzhou 510641,China)

24 July 2017;revised manuscript

19 September 2017)

We design a two-dimensional acoustic crystal(AC)to obtain topologically protected edge states for sound waves.The AC is composed of a triangular array of a complex unit cell consisting of two identical triangle-shaped steel rods arranged in air.The steel rods are placed on the vertices of the hexagonal unit cell so that the whole lattice possesses theC6vsymmetry.We show that by simply rotating all triangular rods around their respective centers by 180 degrees,a topological phase transition can be achieved,and more importantly,such a transition is accomplished with no need of changing the fill ratios or changing the positions of the rods.Interestingly,the achieved topologically nontrivial band gap has a very large frequency width,which is really bene ficial to future applications.The topological properties of the AC are rooted in the spatial symmetries of the eigenstates.It is well known that there are two doubly-degenerate eigenstates at theΓpoint for aC6vpoint group,and they are usually called the p and d states in electronic system.By utilizing the spatial symmetries of the p and d states in the AC,we can construct the pseudo-time reversal symmetry which renders the Kramers doubling in this classical system.We find pseudospin states in the interface between topologically trivial and nontrivial ACs,where anticlockwise(clockwise)rotational behaviors of time-averaged Poynting vectors correspond to the pseudospin-up(pseudospin-down)orientations of the edge states,respectively.These phenomena are very similar to the real spin states of quantum spin Hall e ff ect in electronic systems.We also develop an e ff ective Hamiltonian for the associated bands to characterize the topological properties of the AC around the Brillouin zone center by thek·pperturbation method.We calculate the spin Chern numbers of the ACs,and reveal the inherent link between the band inversion and the topological phase transition.With full-wave simulations,we demonstrate the one-way propagation of sound waves along the interface between topologically distinct ACs,and demonstrate the robustness of the edge states against di ff erent types of defects including bends,cavity and disorder.Our design provides a new way to realize acoustic topological e ff ects in a wide frequency range spanning from infrasound to ultrasound.Potential applications and acoustic devices based on our design are expected,so that people can manipulate and transport sound waves in a more efficient way.

acoustic crystals,topological phase transition,band inversion,pseudospin

10.7498/aps.66.224301

?國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):11274120,11574087)資助的課題.

?通信作者.E-mail:phjunmei@scut.edu.cn