張衛(wèi)鋒 李春艷 陳險峰 黃長明 葉芳偉

1)(上海交通大學物理與天文學院,區(qū)域光纖通信網(wǎng)與新型光通信系統(tǒng)國家重點實驗室,上海 200240)2)(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院物理系,金華 321004)

專題:拓撲經(jīng)典波動

編者按拓撲原來是一個幾何學的概念,用來描述幾何結(jié)構在某些連續(xù)變化下不變的性質(zhì).過去幾十年來,由于凝聚態(tài)物理和量子場論的發(fā)展,人們發(fā)現(xiàn)拓撲可以描述很多物理學中有趣的現(xiàn)象.2016年諾貝爾物理獎頒給了Thouless,Haldane和Kosterliz,獎勵他們發(fā)現(xiàn)了拓撲相變和物質(zhì)的拓撲相.近年來物理學的重要發(fā)現(xiàn)和研究熱點之一就是具有非平庸物理性質(zhì)的拓撲物質(zhì)態(tài).現(xiàn)在對這些拓撲物質(zhì)態(tài)的研究已經(jīng)從電子系統(tǒng)擴散到玻色子和經(jīng)典波動系統(tǒng).本專題是關于經(jīng)典波動系統(tǒng)的拓撲態(tài)及其物理效應的,得到了國內(nèi)在拓撲經(jīng)典波前沿研究的一些專家和研究組的撰稿支持,收錄了一維、二維和三維經(jīng)典波動系統(tǒng)的拓撲相,包括聲波、電磁波、光電耦合系統(tǒng)等等,而其中萬變不離其宗的就是狄拉克方程.

近年來對能帶拓撲性質(zhì)的研究擴展到了經(jīng)典波動系統(tǒng).經(jīng)典波,如電磁波和聲波等在周期結(jié)構中也有能帶出現(xiàn),并且這些能帶也可以具有非平庸的拓撲性質(zhì).相對于電子系統(tǒng)而言,經(jīng)典波動系統(tǒng)具有更好的可控性、可測量性、相干性和制備優(yōu)勢,因此更容易實現(xiàn)和觀測某些拓撲能帶及其物理性質(zhì).在過去的10年里經(jīng)典波動系統(tǒng)的拓撲性質(zhì)如火如荼地發(fā)展,中國科學家做出了頂尖的貢獻.本專題內(nèi)容涉及光子晶體、聲子晶體、光學和聲學超構材料等經(jīng)典波動系統(tǒng)中的拓撲能帶及其物理效應,包含一維、二維和三維系統(tǒng)的一系列工作,值得初入此行的學者和對該領域感興趣的讀者參考.

(客座編輯 蘇州大學 蔣建華)

時間反演對稱性破缺系統(tǒng)中的拓撲零能模?

張衛(wèi)鋒1)李春艷1)陳險峰1)黃長明2)葉芳偉1)?

1)(上海交通大學物理與天文學院,區(qū)域光纖通信網(wǎng)與新型光通信系統(tǒng)國家重點實驗室,上海 200240)2)(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院物理系,金華 321004)

(2017年8月3日收到;2017年9月28日收到修改稿)

Su-Schrei ff er-Heeger模型預測了在一維周期晶格的邊緣處可能出現(xiàn)零維的拓撲零能模,其能量本征值總是出現(xiàn)在能隙的正中間.本文以半導體微腔陣列中光子和激子在強耦合情況下形成的準粒子為例,通過準粒子的自旋軌道耦合與Zeeman效應,研究了時間反演對稱性破缺對拓撲零能模的影響.發(fā)現(xiàn)拓撲零能模的能量本征值可以隨著自旋軌道耦合強度的變化在整個帶隙內(nèi)移動,自旋相反的模式移動方向相反;在二維微腔陣列中發(fā)現(xiàn)了沿著晶格邊緣移動的拓撲零能模,提出了一維零能模的概念.由于時間反演對稱性的破缺,這種一維拓撲零能模解除了在相反傳輸方向上的能級的簡并,從而在傳輸過程中出現(xiàn)極強的繞過障礙物的能力.

拓撲絕緣體,拓撲零能模,邊緣態(tài),自旋軌道耦合

1 引 言

拓撲絕緣體是一種具有全新量子特性的物質(zhì)態(tài)[1,2].它們雖然與普通絕緣體一樣具有能隙,但能帶的拓撲性質(zhì)與之截然不同:拓撲絕緣體具有非零的拓撲不變量.若將兩種具有不同拓撲特性的材料放在一起,則在這兩種材料的界面上存在拓撲相變.拓撲相變保證了在界面處體帶隙中總存在界面態(tài).這種界面態(tài)受界面兩側(cè)的拓撲保護,其性質(zhì)對材料邊緣處的具體細節(jié)并不敏感,且不會在雜質(zhì)和聲子的影響下產(chǎn)生后向散射.因此,電子在發(fā)生拓撲相變的界面上具有穩(wěn)定的單向傳輸性.拓撲絕緣體的這種特性在發(fā)展新型的電子器件方面具有重要的價值,因此一躍成為近年來凝聚態(tài)物理研究的熱點.

拓撲絕緣體的概念很快滲透到了光學和電磁學中.2008年,利用法拉第效應打破時間反演對稱性,Haldane和Raghu[3]首次在光子晶體中預言了能帶的拓撲性質(zhì)和單向傳輸?shù)倪吘墤B(tài).該理論預測在2009年即被實驗證實[4].由于拓撲邊緣態(tài)具有單向傳輸、對制備過程中引入的隨機和雜質(zhì)高度免疫的特性,人們預測光學拓撲性可能會對未來的光學系統(tǒng)產(chǎn)生革命性的影響.這方面的理論和實驗研究即蓬勃開展,形成了光學研究的一個新領域,即“拓撲光子學”[5].

拓撲相也可以出現(xiàn)在一維的物理系統(tǒng)中,此即著名的Su-Schrei ff er-Heeger(SSH)模型所描寫的一維周期性排布的陣列[6].在該陣列中,相鄰基元之間的耦合強度出現(xiàn)交替性的強弱變化,使得該陣列結(jié)構出現(xiàn)兩種可能的拓撲相,分別稱為拓撲的平庸相和非平庸相.在具有非平庸拓撲相的陣列的末端,會出現(xiàn)局域的邊緣態(tài)[7?15].與二維或者高維系統(tǒng)中的邊緣態(tài)相同,這種零維邊緣態(tài)具有受拓撲保護的“魯棒性”:即使陣列出現(xiàn)結(jié)構上的隨機的擾動,它們的模式波形也基本保持不變,其本征值總是被“鉗制”在體能帶帶隙的正中間[15],因此這種邊緣態(tài)也常被稱為拓撲“零能”模.迄今為止,SSH模型在光學結(jié)構上的實現(xiàn)非常之多,包括介質(zhì)[7]和等離子體[8,9]波導陣列、介質(zhì)納米顆粒鏈[10]、金屬圓盤陣列[11]、光學微腔結(jié)構[12]等.在研究這些光學SSH結(jié)構時,人們普遍采用緊束縛近似的處理方法,因此電磁波在這些結(jié)構中的演化呈現(xiàn)出“離散光學”[16]的特性,這就較好地模擬了原始的SSH模型(該模型也由一組離散方程所描述[6]).不過,近期也出現(xiàn)了若干由連續(xù)方程研究這種拓撲零能模的工作[13?15].有趣的是,在最近的一項工作中,我們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的表面等離子體極化(SPPs)也可以看成是一類特殊的拓撲零能模[15],從而揭示了SPPs的拓撲起源.

拓撲零能模也可以出現(xiàn)在兩維周期晶格的邊角處[17?19].與被廣泛研究的其色散曲線連接相鄰主能帶的拓撲表面態(tài)不同,拓撲零能模并非由主帶分歧出來,它們總是獨立地出現(xiàn)在能隙的正中央[6?12,13?15,19].因此,它們始終具有最佳的模式局域性和頻率穩(wěn)定性,這讓它們在實現(xiàn)穩(wěn)定的光學微腔方面具有特別的應用價值,因為微腔制作過程不可避免地引入的隨機擾動不會讓這些微腔模式發(fā)生頻率漂移.

以上關于拓撲零能模的所有工作都是在具有時間反演不變對稱性的系統(tǒng)中進行的.很自然地,人們會問:如果系統(tǒng)不具有時間反演對稱性,拓撲零能模是否還相應地存在？如果存在,它們的特性(能量本征值、局域性)會發(fā)生怎樣的變化？它們還具有抗結(jié)構微擾的受拓撲保護的性質(zhì)嗎？目前報道的所有拓撲零能模都局域在晶格末端(無移動性),能否實現(xiàn)沿著晶格邊緣移動的拓撲零能模？

本文首次在時間反演對稱性破缺的體系中研究了拓撲零能模的特性,系統(tǒng)地回答了上述問題.采用的研究對象是半導體光學微腔陣列,在這種結(jié)構中,局域在腔中的光子和局域在量子阱中的激子產(chǎn)生強烈的耦合,形成了半光半物質(zhì)的準粒子(excitation polaritons)[20?28].這些準粒子在垂直磁場的作用下,產(chǎn)生TE-TM偏振的能級劈裂,引入了自旋(偏振)和軌道的耦合(spin-orbit coupling),從而打破了系統(tǒng)的時間反演對稱性.首先研究微腔之間的耦合呈交替性強弱變化的一維微腔陣列結(jié)構.研究發(fā)現(xiàn),盡管此時系統(tǒng)不再具有時間反演對稱性,拓撲零能模依舊可以出現(xiàn)在陣列邊緣處,但其能量本征值不再固定在相應能隙的中間,而是隨著自旋軌道耦合力度的變化,在能隙中發(fā)生了顯著的移動.自旋相反的拓撲零能模移動的方向相反.接著研究了二維微腔陣列中的拓撲零能模,發(fā)現(xiàn)它們可以沿著陣列邊緣處穩(wěn)定地傳輸,并且,由于時間反演對稱破缺的作用,它們具有較強的繞過障礙物傳輸?shù)哪芰?據(jù)我們所知,目前在一維和兩維系統(tǒng)中研究的拓撲零能模都是零維模式,本文首次報道了它們一維形式的存在.這種具有穩(wěn)定傳輸特性的一維拓撲零能模可能在信息傳輸和處理中具有較好的應用優(yōu)勢.

2 Gross-Pitaevskii方程

如引言部分所述,在半導體微腔陣列結(jié)構中,由于共同受到微腔的強烈束縛,腔中光子和激子發(fā)生強烈耦合,形成半光半物質(zhì)的準粒子.準粒子的運動由如下形式的Gross-Pitaevskii方程描述[20,26]:

式中ψ±為圓偏振基矢表象中的波函數(shù)的兩個自旋分量,它們和TM,TE偏振基矢表象中的波函數(shù)的ψx,y的關系為ψ±=(ψx?iψy)/21/2.方程(1)右側(cè)的第一項??2/2m??2為微腔準粒子的動量項,其中m?為準粒子的有效質(zhì)量.方程(1)右側(cè)第二項描寫的則是起源于微腔光子能量劈裂的自旋軌道耦合項β?2/m?,其中β=(mx?my)/4m?,mx,y分別為TM和TE極化粒子的有效質(zhì)量.方程(1)右側(cè)第三項ε0R(x,y)表示準粒子在微腔陣列中感受到的勢函數(shù)(ε0為單位能量),而εZ代表了Zeeman效應作用下兩個自旋分量的能級分裂,該參數(shù)與外加磁場強度成正比.方程的最后一項為方程的非線性項,起源于準粒子之間的相互作用.本文假定波函數(shù)振幅較小,因此非線性項可以忽略.

進行無量綱化后(詳見下列用于無量綱化的特征參數(shù)),上述方程可方便地表達為如下形式:

在本工作中,

為微腔勢阱(用寬度為d和振幅為p的高斯函數(shù)近似)的一維或二維周期陣列.陣列在x方向的晶格常數(shù)為Lx(對于兩維微腔陣列,則還有y方向的晶格常數(shù)Ly).方程中的參數(shù)β和?分別表征了準粒子的自旋軌道耦合強度和Zeeman效應的強度.觀察方程(2)不難發(fā)現(xiàn),當自旋軌道耦合和Zeeman效應同時出現(xiàn)時,即當0且?0時,系統(tǒng)不再具有時間反演的對稱性.但請注意,僅僅有自旋軌道耦合(β=0,?=0)或者僅僅有Zeeman效應時(β=0,?0),系統(tǒng)的時間反演對稱性仍舊得以維持.

在開始求解方程(2)之前,為完整起見,將方程(1)無量綱化為方程(2)所用到的特征參數(shù)陳列于下:采用x0=1μm作為橫向坐標的歸一化因子,采用作為能量的歸一化因子,采用作為時間的歸一化因子.此時,對于有效質(zhì)量為m?=10?31g的極化激元,其特征能量為ε0=0.35 meV,時間尺度為t0=1.9 ps.這樣,勢阱深度p=8對應于2.8 meV,勢阱寬度d=0.5對應于0.5μm.在這樣的勢阱參數(shù)下,每個微腔勢阱(用振幅為p和寬度為d的高斯函數(shù)描述)僅支持一個橫模.

3 理論結(jié)果與討論

3.1 零維拓撲零能模的能級可調(diào)性

先考察如圖1所示的一維排布的微腔陣列.不失一般性,在陣列中共選取了42個相同的微腔.這些微腔可以排成如圖1(a)—(c)所示的三種典型的結(jié)構:L1/Lx=0.4,0.5和0.6.這里Lx=3.6代表水平方向的晶格常數(shù),L1則代表左起第一個和第二個微腔之間的間隔.先在β=?=0條件下比較該三種結(jié)構的本征值譜.為此,將定態(tài)解ψ±(x,y,t)=u±(x,y)eiEt代入方程(2),并求解所得的定態(tài)方程在滿足邊界條件u±|x→±∞=0下的本征解.所得的本征值譜分別如圖1(f)—(h)所示.可以看到,隨著L1的增大,能帶經(jīng)歷了從一開始的打開(L1/Lx＜0.5),到閉合(L1/Lx=0.5),和再打開(L1/Lx＞0.5)的過程.在能帶重新打開后,在陣列結(jié)構的左右兩側(cè)出現(xiàn)了能量簡并的邊緣態(tài)(圖1(d),(e).由于這種邊緣態(tài)局域在一維晶格的兩個末端,沒有任何空間維度上的移動性,因此屬于零維模.

注意在緊束縛近似的方法處理中,這兩個邊緣態(tài)的能量本征值恰好落在能隙的正中央,因此它們常被稱為拓撲零能模.在這里采用的連續(xù)模型的計算結(jié)果表明,邊緣態(tài)的本征值其實總會稍微偏離中央位置(在本例中為偏離中央向下,見下文),其原因是嚴格的連續(xù)模型計算得到的上下兩條能帶一般總不會是完全對稱的.這是因為在緊束縛近似的處理框架下,系統(tǒng)的整體波函數(shù)假定是由孤立基元的基模線性疊加而成.這些波函數(shù)的本征值雖然各不相同,但組成它們的基模被認為是不變的,即離散模型忽略了基元基模的色散效應,從而描寫晶格中非同類“原子”(圖1(a)和圖1(c)的結(jié)構等同于“雙原子”分子組成的結(jié)構)的緊束縛方程在形式上完全相同,這就導致了相應的兩條能帶完全對稱.但實際上,由于非同類原子所處的能級不同,基元的基模存在色散效應帶來的差異,因此描寫兩類原子的方程實際上會存在系數(shù)上的略微差異,所以嚴格的連續(xù)模型計算得到的兩條能帶總非嚴格對稱,邊緣態(tài)也并非嚴格處于能隙的正中位置.即使如此,這里還是稱這些邊緣態(tài)為拓撲零能模,以便說明本文研究的就是這類模,從而可與文獻中的相關研究結(jié)果直接比較.

圖1 (a),(b),(c)分別為L1/Lx=0.4,0.5和0.6的一維微腔陣列結(jié)構示意圖;(f),(g),(h)分別為這三種結(jié)構對應的能量本征值譜;(h)兩個紅色圓點表示出現(xiàn)在圖(c)結(jié)構左右兩側(cè)的局域模(d),(e);β=0,?=0Fig.1.Schematics of one-dimensional array of microcavity,with L1/Lx=0.4(a),0.5(b)and 0.6(c),respectively.Their eigen-energy spectrums are shown in(f),(g)and(h)respectively.The two red dots shown in(h)indicate two edge modes localized at the right(d)and right(e)end of the structure(c).β=0,?=0.

接下來研究時間反演對稱性的破缺對這種拓撲零能模的影響.為此,取定圖1(c)所示的拓撲非平庸結(jié)構,并固定非零Zeeman場 (?=0.5),慢慢增加自旋軌道耦合強度β.?=0.5的Zeeman場解除了自旋向上和自旋向下模式能級的簡并,使得原先的每一個能級都一分為二,從而出現(xiàn)兩套類似的能級(比較圖1(h)和圖2(a)),這兩套能級分別對應|u?|0,|u+|≈0(即自旋向下)和|u+|0,|u?|≈0(即自旋向上)的波函數(shù)分布情況,前者對應第一和第二個能帶以及它們之間的邊緣態(tài),后者對應第三和第四個能帶以及它們之間的邊緣態(tài)(圖2(a),(b),(c)).隨著β從零開始增加,可以發(fā)現(xiàn)自旋向上和向下的邊緣態(tài)的能量本征值都在各自所屬的帶隙內(nèi)產(chǎn)生移動.我們用?E/Egap定量地描述這種移動(圖2(d)),其中?E為邊緣態(tài)的能量與下體帶能量的差值,而Egap則為邊緣態(tài)所在能隙的寬度.據(jù)此,?E/Egap=0.5表明相應的邊緣態(tài)出現(xiàn)在帶隙的正中央.如上文所述,這種情況僅僅出現(xiàn)在遵守時間反演對稱性體系的緊束縛近似的處理中,而本文所采用的連續(xù)模型則給出了?E/Egap|β=0=0.43的結(jié)果(圖2(d)). 通過計算進一步發(fā)現(xiàn),隨著的β增加,兩個自旋相反的邊緣態(tài)都從?E/Egap=0.43的位置開始移動,但有趣的是,它們的移動方向剛好相反:自旋向下的邊緣態(tài)快速向下帶移動,而自旋向上的邊緣態(tài)則十分緩慢地向上移動.不難預測,當β增加到一定程度時,自旋向下的模式可以一直下移直至接觸下帶,即?E/Egap→0,而自旋向上的模式可以一直上移直至接觸上帶,即?E/Egap→1.令人驚奇的是,在這整個過程中,雖然邊緣態(tài)不斷地趨近下方或者上方的體能帶,但它們的模場分布并沒有出現(xiàn)明顯的變化,始終極好地局域在陣列邊緣處(參考圖2(a)—(c)插圖中所給出的模式圖).拓撲零能模的這種模式特征與普通的缺陷模構成了鮮明的對比,后者在趨近體能帶時,波形迅速展寬,并最終收斂于相應的Bloch波[29].這是因為普通缺陷模本來就是從體帶中的Bloch波分歧出來的,而這里的邊緣態(tài)則起源于拓撲效應,與體帶本身并無直接聯(lián)系.需要說明的是在目前的半導體微腔的技術水平下,所能達到的自旋軌道耦合力度一般在β≈0.4以下[28].但即便如此,自旋向下邊緣態(tài)在能隙中的相對的位置移動已經(jīng)超過50%(圖2(d)).這說明自旋軌道耦合可以很好地調(diào)節(jié)拓撲零能模出現(xiàn)的能量位置.

圖2 圖1(c)所示一維晶格陣列模型的能量本征譜 (a)β=0,?=0.5;(b)β=0.15,?=0.5;(c)β=0.4,?=0.5;(d)拓撲邊緣態(tài)的本征能量在相應能隙中的位置隨自旋軌道耦合強度β的變化,圖中紅色圓點代表自旋向下的邊緣態(tài),藍色圓點代表自旋向上的邊緣態(tài);(a),(b),(c)中的插圖代表局域在晶格右側(cè)的邊緣態(tài)的振幅Fig.2.The eigen-energy spectrums of one-dimensional array shown in Fig.1(c):(a)β=0,?=0.5;(b)β=0.15,?=0.5;(c)β=0.4,?=0.5;(d)dependence of the spectral position of edge mode in versus spin-orbit coupling strength.Red dots in these figures stand for the spin-down-polarized edge states,and blue dots stand for spin-up-polarized edge states.The insets in(a),(b),(c)represent the amplitude modulus of the edge states localized at the right-end of the structure.

因此,這部分的工作反映出時間反演對稱性破缺的體系依然支持拓撲零能模,但與時間反演對稱體系中模式的本征值總被“鉗制”在能隙中央位置不同,此時模式的本征值隨著時間反演對稱性的破缺逐漸偏離中心位置.另外,自旋向上和自旋向下的邊緣態(tài)的能量本征值在能隙中的移動方向相反.

3.2 一維拓撲零能模的空間移動性

迄今為止絕大部分關于拓撲零能模的研究均基于一維的周期系統(tǒng).這些模式屬于空間零維模,因為它們局域在一維晶格的末端,不具有空間上的任何移動性.最近有若干兩維周期晶格中的拓撲零能模的研究[17?19],但這些工作涉及的兩維晶格在兩個維度上均被截斷,研究者們僅關注出現(xiàn)在晶格邊角處(corner)的拓撲零能模,因此,這些模式仍舊屬于零維模.

我們提出一維拓撲零能模的概念.如3.1節(jié)所述,類似圖1(c)的結(jié)構(L1/Lx＞0.5)支持拓撲零能模,為了讓這些模式移動起來,把這種一維結(jié)構在y方向上周期性地排布起來,形成在x方向截斷而在y方向周期性延拓的兩維晶格陣列,如圖3(a)所示(該圖y方向僅顯示了三個周期).顯然,此時原來局域在一維晶格末端的拓撲零能模有可能通過在y方向上的耦合而沿著y軸移動起來,從而實現(xiàn)一維拓撲零能模.

圖3 (a)y方向周期排列而x方向截斷的二維晶格結(jié)構;動量為k=0.25K的局域在晶格右側(cè)的邊緣態(tài)|ψ+|(b)和|ψ?|(c),以及局域在晶格左側(cè)的邊緣態(tài)的|ψ+|(d)和|ψ?|(e);L1/Lx=0.6,Ly=1.4,β=0.15,? =0.5Fig.3.(a)Two-dimensional array periodic in y direction and finite in x direction.Modulus of|ψ+|(b)and|ψ?|(c)of the edge state associated with wavevector k=0.25K located at the right-end of the structure;(d)and(e)are the same as(b)and(c)but for edge modes located at the left-end of the structure.L1/Lx=0.6,Ly=1.4,β=0.15,?=0.5.

圖4 圖3(a)所示的二維晶格的能量本征譜 (a)β=0,?=0;(b)β=0,?=0.5;(c)β=0.15,?=0.5;(d)β=0.3,?=0.5;圖中紅色實線代表局域在晶格右側(cè)的邊緣態(tài),藍色虛線代表局域在晶格左側(cè)的邊緣態(tài)Fig.4.The eigen-energy spectrum of two-dimensional array shown in Fig.3(c):(a)β=0,? =0;(b)β=0,?=0.5;(c)β=0.15,?=0.5;(d)β=0.3,?=0.5.Red-solid lines stand for the edge modes localized at the right-end of the lattice,while blue-dashed lines stand for those at the left-end.

為了研究這個問題,考慮圖3(a)所示結(jié)構所支持的在x方向局域而在y方向周期的本征模,即假定ψ±(x,y,t)=u±(x,y)eiky+iEt,其中u±(x,y)=u±(x,y+Ly),u±|x→±∞=0,k是y方向歸一化的Bloch動量.將上述形式的Bloch波代入方程(2),并選取42個微腔組成的陣列作為一個基元(圖3(a)顯示了三個這樣的基元),求解在滿足邊界條件下的本征譜E(k),所得結(jié)果如圖4所示.圖4(a)給出了β=?=0時的譜,可以看到在前兩個能帶的接近中間的位置,出現(xiàn)了一條邊緣態(tài)能帶.除了在特殊的動量點k=0,±0.5K(K=2π/Ly)外,該能帶反映群速度dE/dk0,表明這種拓撲零能?？梢栽趛方向上沿著晶格邊緣以相應的群速度移動,即它們是以一維形式存在的拓撲零能模,這是傳統(tǒng)的零維零能模在二維晶格中的推廣.

注意,圖4(a)中的每一個能級其實都對應著兩個簡并的自旋能級.施加Zeeman場?=0.5后,能級的自旋簡并得以解除(圖4(b)).不過,當β=0時,系統(tǒng)的時間反演對稱性仍舊得以保持.這使得能帶結(jié)構中,對于任意一對波矢(k,?k),都有E(?k)=E(k),這種能級關于波矢的對稱性確實體現(xiàn)在圖4(a)和圖4(b)中.

圖5 (a)二維微腔陣列結(jié)構,在陣列右側(cè)邊緣處設置有一缺陷勢阱p=16,而其他所有勢阱p=8;(b),(c),(d)自旋軌道耦合強度β=0時,波包在演化過程中三個時間點的振幅圖;(e),(f),(g),(h)在自旋軌道耦合β=0.15情況下,波包在演化過程中四個時間點的振幅圖Fig.5.(a)Schematics of two-dimensional array with a defected potential well p=16 positioned at the structure edge,while all other potentials wells having p=8;(b),(c),and(d)show the evolution of edge state at three moments of time when β =0;(e),(f),(g)and(h)show the evolution of edge state at four moments of time when β =0.15.

現(xiàn)在讓0(?=0.5),即打破系統(tǒng)的時間反演對稱性.此時系統(tǒng)能譜如圖4(c)和圖4(d)所示:圖中的紅色實線代表的是局域在二維晶格右側(cè)的邊緣態(tài),藍色虛線則代表局域在左側(cè)的邊緣態(tài).這兩類邊緣態(tài)典型的模式分布見圖3(b)—(e)(所示為k=0.25K的波形圖).從能譜圖中可以看到兩個特點:第一,除在時間反演對稱不變點(k=0,±0.5K)之外,左右兩側(cè)的邊緣態(tài)能量不再簡并;第二,除在時間反演不變點之外,一般地有E(?k)E(k),即波矢相反的一對Bloch波其能量并不相同,或者,能量相同的一對Bloch波其波矢大小并不相同.這兩個特點都是系統(tǒng)的時間反演對稱性破缺在能帶圖上的直接體現(xiàn).值得一提的是,考慮到半導體微腔技術水平目前所能達到的自旋軌道耦合強度的限制,這種由于時間反演對稱性破缺導致的一對相應的左右邊緣態(tài)或一對反向傳播的Bloch波的能級分裂程度較為微弱.即便如此,仍能產(chǎn)生足夠明顯的效應.

為了說明這一點,模擬了邊緣態(tài)在邊緣含有障礙物的晶格中的傳輸.如圖5(a)所示,用邊緣處設置一缺陷微腔來模擬障礙物,該缺陷微腔的勢阱深度被設定為其他理想微腔勢阱深度的兩倍,即缺陷微腔p=16,而其他所有微腔p=8(缺陷程度達100%).系統(tǒng)的初始激發(fā)條件設定為受高斯包絡調(diào)制的Bloch波,即ψ±(x,y)|t=0=u±(x,y;k)exp(?y2/w2),其中u±(x,y;k)表示動量為k的Bloch波(邊緣態(tài)),參數(shù)w為高斯函數(shù)的寬度.分別選取圖4(b)和圖4(c)上k=0.25K處的Bloch波,并取w=4,用分步傅里葉算法求解方程(2),以模擬這種初始激發(fā)分別在時間反演對稱(圖5(b)—(d))和不對稱(圖5(e)—(h))系統(tǒng)中的演化行為.可以發(fā)現(xiàn),當β=0時,波包在向下傳輸?shù)倪^程中,當遭遇缺陷微腔時,一部分能量繞過去后繼續(xù)向下移動,但還有一部分產(chǎn)生了嚴重的反射.在這個具體的實例中,約有50%的能量被反射.與此形成鮮明對比的是,在時間反演對稱性破缺的系統(tǒng)中,絕大部分能量繞過了缺陷微腔之后繼續(xù)向前傳播,僅有8%的能量被障礙物反射了回來.這是因為在β=0時,k=0.25K前行波無法耦合到k=?0.25K的反射波上(E(?k)E(k)),而只能耦合到與它能量一樣的k=?0.23K反射波上.這種相互作用模式的動量失配,使得模式的重疊積分和相互耦合明顯減弱,從而導致了拓撲零能模傳輸時的極強的繞異性.

4 結(jié)論與展望

本文以半導體微腔陣列中光子-激子形成的準粒子為例,研究了其在自旋軌道耦合與外加Zeeman場的雙重作用下,時間反演對稱性破缺對拓撲零能模的影響.發(fā)現(xiàn)時間反演對稱性破缺的體系依然支持拓撲零能模,但其能量本征值隨著自旋軌道耦合的出現(xiàn),開始偏離能隙的中心位置發(fā)生移動.自旋向上和自旋向下的邊緣態(tài)在能隙中移動的方向恰好相反.本文還發(fā)現(xiàn)了沿著二維晶格邊緣處傳輸?shù)耐負淞隳苣?提出了一維零能模的概念.時間反演對稱性的破缺解除了一維拓撲零能模的前向和反向傳輸模式的能量簡并,從而使得它們在傳輸過程中具有極強的繞過障礙物的能力.這種具有穩(wěn)定傳輸特性的拓撲零能?？赡茉谛畔鬏敽吞幚碇芯哂休^好的應用優(yōu)勢.

最后簡單地展望未來的相關工作.首先,在本工作中,時間反演破缺帶來的能級分裂的程度較為微弱,除自旋軌道耦合強度不能取得太大之外,這種情況和所用的方形晶格也密切相關.未來可以考慮其他形式的二維晶格(如類石墨烯晶格[30,31]、Lieb[32]晶格、Kagome晶格等[33]),通過晶格參數(shù)的調(diào)整,以期實現(xiàn)較大程度的能級分裂,這對于進一步增強拓撲零能模傳輸?shù)睦@異性大有裨益.其次,本文采用的方形晶格屬于拓撲平庸的Chern Insulator(通過陳數(shù)的計算可以證實該點),因此,在工作中并未發(fā)現(xiàn)連接上下能帶的拓撲邊緣態(tài).未來可以考慮采用其他形式的二維晶格得到拓撲不平庸的Chern Insulator,此時兩種形式的邊緣態(tài)——獨立于主能帶的拓撲零能模和連接主能帶的拓撲邊緣態(tài)——能否同時出現(xiàn),是一個值得研究的有趣課題.最后,從圖5所示的波包傳輸模擬圖可以發(fā)現(xiàn),波包在沿著晶格邊緣傳輸時由于色散效應會慢慢展寬.未來可以將本文工作中忽略的非線性效應考慮進來,用非線性平衡色散,以期得到波形保持不變的穩(wěn)定傳輸?shù)倪吘墤B(tài)孤子.拓撲保護是否會傳遞給邊緣態(tài)孤子？非線性是否會影響系統(tǒng)的拓撲性?在未來的工作中將研究這些有趣的問題.

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The well-known Su-Schrie ff er-Heeger(SSH)model predicts that a chain of sites with alternating coupling constant exhibits two topological distinct phases,and at the truncated edge of the topological nontrivial phase there exists topologically protected edge modes.Such modes are named zero-energy modes as their eigenvalues are located exactly at the midgaps of the corresponding bandstructures.The previous publications have reported a variety of photonic realizations of the SSH model,however,all of these studies have been restricted in the systems of time-reversal-symmetry(TRS),and thus the important question how the breaking of TRS a ff ects the topological edge modes has not been explored.In this work,to the best of our knowledge,we study for the first time the topological zero-energy modes in the systems where the TRS is broken.The system used here is semiconductor microcavities supporting excitonpolariton quasi-particle,in which the interplay between the spin-orbit coupling stemming from the TE-TM energy splitting and the Zeeman e ff ect causes the TRS to break.We first study the topological edge modes occurring at the edge of one-dimensional microcavity array that has alternative coupling strengths between adjacent microcavity,and,by rigorously solving the Schr?dinger-like equations(see Eq.(1)or Eq.(2)in the main text),we find that the eigen-energies of topological zero-energy modes are no longer pinned at the midgap position:rather,with the increasing of the spinorbit coupling,they gradually shift from the original midgap position,with the spin-down edge modes moving toward the lower band while the spin-up edge modes moving towards the upper band.Interestingly enough,the mode pro files of these edge modes remain almost unchanged even they are approaching the bulk transmission bands,which is in sharp contrast to the conventional defect modes that have an origin of bifurcation from the Bloch mode of the upper or lower bands.We also study the edge modes in the two-dimensional microcavity square array,and find that the topological zero modes acquire mobility along the truncated edge due to the coupling from the adjacent arrays.Importantly,owing to the breaking of the TRS,a pair of counterpropagating edge modes,of which one has a momentumkand the other has?k,is no longer of energy degeneracy;as a result the scattering between the forward-and backward-propagating modes is greatly suppressed.Thus,we propose the concept of the one-dimensional topological zero-energy modes that are propagating along the two-dimensional lattice edge,with extremely weak backscattering even on the collisions of the topological zero-energy modes with structural defects or disorder.

PACS:02.10.Yn,33.15.Vb,98.52.Cf,78.47.dcDOI:10.7498/aps.66.220201

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11104181,61475101)and the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education(Grant No.20110073120074).

?Corresponding author.E-mail:fangweiye@sjtu.edu.cn

Topological zero-energy modes in time-reversal-symmetry-broken systems?

Zhang Wei-Feng1)Li Chun-Yan1)Chen Xian-Feng1)Huang Chang-Ming2)Ye Fang-Wei1)?

1)(State Key Laboratory of Advanced Optical Communication Systems and Networks,School of Physics and Astronomy,

Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240,China)2)(Department of Physics of Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

3 August 2017;revised manuscript

28 September 2017)

topological insulators,topological zero-energy mode,edge mode,spin-orbit coupling

10.7498/aps.66.220201

?國家自然科學基金(批準號:11104181,61475101)和高等學校博士學科點專項科研基金(批準號:20110073120074)資助的課題.

?通信作者.E-mail:fangweiye@sjtu.edu.cn