白 亮， 馮蘊雯， 薛小鋒

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

壓電智能結(jié)構(gòu)振動的一致性PID(CPID)控制

白 亮， 馮蘊雯， 薛小鋒

(西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072)

將一致性控制方法和PID控制方法的基本思想相結(jié)合，提出了一種適用于壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制的一致性PID(Consensus-PID，CPID)控制方法。該方法將系統(tǒng)輸出偏差作為PID控制器的輸入，PID控制器的輸出及其在采樣周期內(nèi)的變化量作為一致性控制器的輸入，致動器的輸入電壓為一致性控制器的輸出。推導(dǎo)壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制方程，以兩邊簡支的壓電智能梁為數(shù)值算例，建立動力學(xué)有限元模型，數(shù)值結(jié)果表明 CPID控制方法能夠有效控制壓電智能結(jié)構(gòu)的振動，當(dāng)某些傳感器失效時，對比集中式PID控制，系統(tǒng)在CPID控制下仍然能保持較好的控制效果。

一致性控制；PID控制；壓電智能結(jié)構(gòu)；振動控制

一致性控制方法在分布式參數(shù)系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用，Demetriou[1]提出了一種基于自適應(yīng)一致性控制的過濾器設(shè)計方法，并將其應(yīng)用于由多個傳感器組成的分布式參數(shù)系統(tǒng)中；Motee等[2]將一致性控制方法應(yīng)用于空間分布式參數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化控制；Mu等[3]應(yīng)用一致性控制方法設(shè)計了兩種過濾器，并將其應(yīng)用于空間分布式參數(shù)系統(tǒng)的狀態(tài)評估。壓電材料作為致動器、傳感器粘貼在柔性結(jié)構(gòu)表面或嵌入于柔性結(jié)構(gòu)內(nèi)部，成為壓電智能結(jié)構(gòu)[4]，壓電智能結(jié)構(gòu)是一類分布式參數(shù)系統(tǒng)[5]，廣泛應(yīng)用于柔性結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域[6-7]。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制中常用的PID(Proportional Integrative Derivative)控制方法進行了較為深入的研究。其中，Jaensch等[8]將高增益PID位移反饋控制器用于控制系統(tǒng)中，研究了新方法的控制效果和控制穩(wěn)定性。Li等[9]將一種改進的PID控制方法應(yīng)用于飛行器氣動噪聲的抑制。Zhang等[10]針對薄墻智能結(jié)構(gòu)提出了一種改進的PID控制法。另外，其它主動控制方法也被用于壓電智能結(jié)構(gòu)的振動控制，如PPF(Positive Position Feedback)控制[11]，自適應(yīng)控制[12]，基于模糊邏輯的控制方法[13]等。而上述方法都是集中式控制，在集中式控制中，一個特定的控制器以固定形式或自適應(yīng)動態(tài)形式存在，集中式控制器計算出全部致動器所需的輸入信號，所有的致動器和傳感器直接與控制器連接。對于由多組離散分布的致動器/傳感器粘貼在柔性結(jié)構(gòu)表面所組成的壓電智能結(jié)構(gòu)，在集中式控制下若某一傳感器失效或誤讀，與其同組的致動器無法輸出控制力或輸出錯誤控制力，這會對系統(tǒng)的振動控制產(chǎn)生不利影響。解決辦法是用分散式控制代替集中式控制，將集中式控制器替換成若干個分散的、有一定相對獨立性的子控制器，每個子控制器和一組致動器/傳感器組成一個子控制系統(tǒng)，將一致性控制的基本思想應(yīng)用于分散式控制系統(tǒng)中，根據(jù)一致性協(xié)議將若干個子控制系統(tǒng)組成網(wǎng)絡(luò)，使得各個子控制器的輸出信號可以相互傳遞，若某一個子控制系統(tǒng)的傳感器失效或誤讀，其它正常工作的子控制系統(tǒng)會將其控制器的輸出信號傳遞給無法正常工作的子控制系統(tǒng)，使其致動器工作。圖1對比了集中式控制、一致性控制的不同之處。

Sahasrabudhe等[14]已經(jīng)提出可以將一致性控制用于壓電智能結(jié)構(gòu)的振動控制，并建立了一致性控制系統(tǒng)框架，但是并沒有給出具體的控制方法和建模過程。為了克服上述集中式控制的局限性，將一致性控制方法和PID控制方法的基本思想相結(jié)合，提出了一種適用于壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制的一致性PID(Consensus-PID,CPID)控制方法，以系統(tǒng)輸出偏差作為PID控制器的輸入，以PID控制器的輸出及其在采樣周期內(nèi)的變化量作為一致性控制器的輸入，以一致性控制器的輸出作為致動器的輸入電壓，實現(xiàn)對壓電智能結(jié)構(gòu)的振動控制。由線彈性壓電智能結(jié)構(gòu)有限元方程推導(dǎo)系統(tǒng)振動控制方程。用ANSYS參數(shù)化語言編寫了壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制分析的有限元程序，數(shù)值仿真結(jié)果證明了CPID控制方法能夠有效控制壓電智能結(jié)構(gòu)的振動，當(dāng)某些傳感器失效時，對比于集中式PID控制，系統(tǒng)在CPID控制下仍然能保持較好的控制效果。

1 壓電智能結(jié)構(gòu)的CPID控制方法

在實際應(yīng)用中，傳感器通常只能獲得各采樣時刻的測量值，因此系統(tǒng)輸出偏差是不連續(xù)的。設(shè)采樣周期為T，將離散的采樣時刻用總的工作時間表示為

t=k×T(k=0,1,2,…)

(1)

式中，k為采樣序號。

壓電智能結(jié)構(gòu)CPID控制系統(tǒng)中有N個傳感器、N個PID控制器和N個致動器，如圖2所示。Fu為作用在壓電智能結(jié)構(gòu)上的外部干擾力載荷；Fa為致動器產(chǎn)生的反饋控制力；ri(k)為第k次采樣時傳感器(i)的期望輸出電壓；φi(k)為第k次采樣時傳感器(i)的實際輸出電壓；xi(k)、vi(k)分別為第k次采樣時經(jīng)過PID控制器(i)放大后的輸出電壓及其在采樣周期內(nèi)的變化量；Xi(k)和Vi(k)分別為經(jīng)過一致性控制后的xi(k)和vi(k)；Xi(k)同時也為致動器(i)的輸入電壓，其中i=1,2,…,N，k=0,1,2,…。

圖2 壓電智能結(jié)構(gòu)CPID控制原理框圖Fig.2 The CPID control block diagram of piezoelectric smart structures

以傳感器輸出電壓為反饋信號，定義傳感器(i)所在位置的輸出偏差為

ei(k)=0-φi(k) (i=1,2,…,N)

(2)

式中：φi(k)為第k次采樣時傳感器(i)的實際輸出電壓。

對于時間離散的系統(tǒng)，經(jīng)過PID控制器(i)放大后的輸出電壓可以近似表示為

(3)

式中：KiP、KiI、KiD分別為PID控制器(i)的比例、積分、微分系數(shù)；T為采樣周期。

二階系統(tǒng)一致性與一階系統(tǒng)一致性的區(qū)別在于二階系統(tǒng)要同時考慮位置和速度，根據(jù)一致性協(xié)議通過控制智能體的加速度來控制速度，通過速度的變化以達到間接控制位置的目的。應(yīng)用二階系統(tǒng)一致性控制方法，系統(tǒng)中要達到一致性的變量有兩個，即PID控制器的輸出電壓xi(k)及其在采樣周期內(nèi)的變化量vi(k)。第k次采樣時，PID控制器(i)輸出電壓在采樣周期內(nèi)的變化量為

vi(k)=xi(k+1)-xi(k)
(k=0,1,2,…;i=1,2,…,N)

(4)

二階系統(tǒng)一致性協(xié)議[15]表示為

(5)

式中：lij為通信拓?fù)鋱D的拉普拉斯矩陣L中的元素；k1、k2為比例參數(shù)，其數(shù)值的選取要滿足振動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件。

L=D-A

(6)

式中：D為通信拓?fù)鋱D的入度矩陣；A為通信拓?fù)鋱D的鄰接矩陣。

假設(shè)：一致性控制在一個采樣周期內(nèi)進行，且vi(k)經(jīng)過一個采樣周期的一致性控制后仍然用于第k次采樣的計算

Vi(k)=vi(k)+μi(k) (k=0,1,2,…；i=1,2,…,N)

(7)

經(jīng)過一致性控制后，致動器(i)的輸入電壓可以表示為

Xi(k+1)=xi(k)+Vi(k) (k=0,1,2,…；i=1,2,…,N)

(8)

將式(4)、式(5)、式(7)代入式(8)整理后可得

(9)

當(dāng)傳感器(i)因為失效而無法輸出信號時，式(9)可以表示為

(10)

由式(10)可知，當(dāng)傳感器(i)失效時，通過一致性協(xié)議，正常工作的PID控制器的輸出信號會傳遞給致動器(i)，使其工作。

2 壓電智能結(jié)構(gòu)振動的CPID控制方程

考慮結(jié)構(gòu)阻尼，壓電智能結(jié)構(gòu)全局有限元動力方程[16]為

(11)

式中：ui、φi分別為整體坐標(biāo)系下節(jié)點的位移和電壓；Muu、Cuu、Kuu、Kuφ(Kφu)、Kφφ分別為結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量、阻尼、剛度、力電耦合剛度、介電剛度矩陣；Fu和Fφ分別為整體坐標(biāo)系下的力荷載向量和電荷載向量。

將式(11)中的第二個方程代入式(11)的第一個方程中，可得用節(jié)點位移形式表示的壓電智能結(jié)構(gòu)有限元動力方程

(12)

致動器的輸入電壓與電荷載之間的關(guān)系為

Fφ=GaXi(k)

(13)

式中，Ga為反饋控制增益。

將式 (9)、式(13)代入式(12)可得，在傳感器(i)正常工作時，用節(jié)點位移表示壓電智能結(jié)構(gòu)振動的CPID控制方程為

(14)

將式(10)、式(13)代入式(12)可得，在傳感器(i)因為失效而無法輸出信號時，用節(jié)點位移表示壓電智能結(jié)構(gòu)振動的CPID控制方程為

(15)

3 算 例

壓電智能梁由一個簡支梁和對稱粘貼在簡支梁上下表面的四組致動器/傳感器組成，致動器/傳感器位置參數(shù)如圖3所示。簡支梁幾何參數(shù)為：576 mm×25.4 mm×0.8 mm；致動器/傳感器幾何參數(shù)為：72 mm×25.4 mm×0.61 mm，致動器和傳感器的材料為PZT-5H，簡支梁結(jié)構(gòu)為鋁質(zhì)材料，材料屬性見表1，F(xiàn)u=0.1 N為作用在壓電智能梁結(jié)構(gòu)中點P的瞬時荷載，從圖3可知，同組的致動器(i)/傳感器(i)和PID控制器(i)連接，其中i=1,2,3,4，為了計算結(jié)果與集中式PID控制的計算結(jié)果相比較，四個PID控制器的比例、積分、微分系數(shù)相同，比例系數(shù)KP=12.5、微分系數(shù)KI=0.02、積分系數(shù)KD=0.001。PID控制器(i)輸出信號根據(jù)通信拓?fù)鋱D進行傳遞，如圖4所示。

假設(shè)致動器/傳感器與簡支梁之間為理想粘貼，不發(fā)生相對剪切運動，傳感器(3)不會失效。用SOLID45單元模擬金屬鋁材料，SOLID5單元模擬壓電材料PZT-5H，將每個致動器/傳感器劃分為：8×8×1個單元，簡支梁劃分為：64×8×1個單元，用命令CP分別耦合致動器和傳感器上下表面節(jié)點的電自由度，與簡支梁相粘貼的致動器下表面和傳感器上表面電學(xué)邊界條件定義為0 V。系統(tǒng)的瑞利阻尼系數(shù)很小為：α=β=0.000 5。傳感器信號的采樣周期[17]為：T=1/(20fh)，其中fh為壓電智能梁的一階無阻尼自振頻率。

圖3 壓電智能梁示意圖Fig.3 Schematic of the piezoelectric smart beam

表1 壓電智能梁材料屬性

圖4 通信拓?fù)鋱DFig. 4 Schematic of communication topology

取式(5)中的比例參數(shù)：k1=0.3，k2=0.5。對算例進行數(shù)值計算之前要驗證所選取的比例參數(shù)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。不考慮結(jié)構(gòu)阻尼時，在壓電智能梁結(jié)構(gòu)中點P設(shè)定一個初始位移，然后令其自由振動，點P位移響應(yīng)如圖5(a)所示。為了便于觀察振動收斂情況，取0.777 906～9.988 764 s的位移響應(yīng)，如圖5(b)所示?？芍藭r系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這是因為在信號傳遞的過程中，可能會使某些致動器的輸入電壓過大，致動器產(chǎn)生較大的控制力，這個控制力的一部分用于結(jié)構(gòu)振動控制，額外的部分可能產(chǎn)生新的外部擾動。結(jié)構(gòu)阻尼達到一定值時，即使存在這個新的外部擾動，系統(tǒng)仍然可以保持穩(wěn)定。當(dāng)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)α=β=0.000 087時，點P位移響應(yīng)如圖5(c)所示。取0.777 906～9.988 764 s的位移響應(yīng)，如圖5(d)所示?？芍藭r系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因為算例中結(jié)構(gòu)的瑞利阻尼系數(shù)α=β=0.000 5gt;0.000 087，所以比例參數(shù)取k1=0.3，k2=0.5時該系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖5 點P位移響應(yīng)Fig.5 Displacement response of the point P

傳感器都正常工作時，系統(tǒng)在瞬時荷載Fu作用下，點P位移響應(yīng)，如圖6(a)所示。四個致動器輸入電壓的變化范圍，如圖6(b)所示。由圖6(a)可知，對比于集中式PID控制，系統(tǒng)在CPID控制下的收斂速度較快。由圖6(b)可知，在集中式PID控制下，致動器(2)的輸入電壓最大(最大輸入電壓為134.063 V，最小輸入電壓為-80.154 V)且大于在CPID控制下致動器(2)的輸入電壓，而致動器(1)和致動器(4)的輸入電壓較小且小于在CPID控制下致動器(1)和致動器(4)的輸入電壓，說明致動器(2)在集中式PID控制下產(chǎn)生的控制力較大，但是致動器(1)和致動器(4)在集中式PID控制下產(chǎn)生的控制力較小。集中式PID控制下，致動器(2)是在一種滿狀態(tài)或超負(fù)荷狀態(tài)下工作，而致動器(1)和致動器(4)并沒有滿狀態(tài)工作，沒有充分發(fā)揮自身的作用。系統(tǒng)在CPID控制下所有致動器輸入電壓均較大，說明各個致動器均可以產(chǎn)生較大的控制力，而且可以避免某些致動器在滿狀態(tài)或超負(fù)荷狀態(tài)下工作，在CPID控制下系統(tǒng)可以將電能更合理的分配給每個致動器，各個致動器之間通過相互協(xié)作共同完成任務(wù)，而不是僅依靠某些致動器的滿狀態(tài)或超負(fù)荷工作完成任務(wù)。

圖7(a)～圖7(c)為壓電智能梁結(jié)構(gòu)中點P在瞬時荷載作用下，傳感器(1)、傳感器(2)、傳感器(4)分別失效時，點P位移響應(yīng)，圖7(d)～圖7(f)為傳感器(1)和傳感器(2)、傳感器(1)和傳感器(4)、傳感器(2)和傳感器(4)分別失效時，點P位移響應(yīng)。對比于集中式PID控制，當(dāng)某些傳感器失效時，系統(tǒng)在CPID控制下的收斂速度較快。用對數(shù)衰減公式計算系統(tǒng)的阻尼比ξ，計算結(jié)果如圖8所示。對比于集中式PID控制，在CPID控制下系統(tǒng)的阻尼比ξ較大。以全部傳感器正常工作時，集中式PID控制下系統(tǒng)的阻尼比為參照值，對比不同條件下系統(tǒng)的阻尼比可知：當(dāng)傳感器(2)失效時，在集中式PID控制下，系統(tǒng)的阻尼比大幅下降僅為參照值的58.2%，在某些關(guān)鍵位置的傳感器失效時，系統(tǒng)的振動控制效果大幅降低，在CPID控制下，系統(tǒng)的阻尼比可達到參照值的82.8%，控制效果有較大幅度的提升；當(dāng)有一個傳感器失效時，系統(tǒng)在CPID控制下，平均實現(xiàn)參照值88.2%的控制效果，與集中式PID控制下78.4%的控制效果相比，有較大的提升，當(dāng)有兩個傳感器失效時，系統(tǒng)在CPID控制下，平均實現(xiàn)參照值76.5%的控制效果，與集中式PID控制下57.7%的控制效果相比，有大幅的提升，說明傳感器失效的越多，對比集中式PID控制，CPID控制方法的控制效果越好。

圖9列出系統(tǒng)在不同方法控制下和不同工作條件下，所有致動器中的最大輸入電壓Vmax和最小輸入電壓Vmin，對比于集中式PID控制，系統(tǒng)在CPID控制下所有致動器中的最大輸入電壓Vmax較小且最小輸入電壓Vmin較大，在振動控制過程中，若輸入電壓過大則致動器可能被擊穿，說明在CPID控制下系統(tǒng)可以將電能更合理的分配給各個致動器，避免某些致動器輸入電壓過大，在有效控制壓電智能梁振動的同時對致動器起到了一定的保護作用。

(a) 點P位移響應(yīng)

(b) 致動器輸入電壓

圖7 一個或兩個傳感器失效時點P位移響應(yīng)Fig.7 Displacement response of the point P

圖8 系統(tǒng)的阻尼比Fig.8 System damping ratio

表2列出不同工作條件下，系統(tǒng)阻尼頻率ωd的計算結(jié)果，與系統(tǒng)一階無阻尼自振頻率4.435 Hz相比，在集中式PID控制和CPID控制下系統(tǒng)的阻尼頻率都有不同程度的降低，通過與圖8所示系統(tǒng)的阻尼比計算結(jié)果相對比，系統(tǒng)的阻尼比ξ越大，系統(tǒng)阻尼頻率ωd越小。

圖9 所有致動器中的最大輸入電壓和最小輸入電壓Fig.9 The maximum input voltage and the minimum input voltage of all the actuators

表2 系統(tǒng)的阻尼頻率

為了進一步驗證CPID控制方法對壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制的有效性，考慮全部傳感器正常工作的條件下，在壓電智能梁結(jié)構(gòu)中點P分別施加簡諧荷載和隨機荷載，對系統(tǒng)強迫振動進行數(shù)值仿真，其中簡諧荷載函數(shù)為：f(t)=0.1 cos(9πt)。圖10(a)為壓電智能梁在簡諧荷載作用下，點P的位移響應(yīng)，無控制時點P位移響應(yīng)的均方根值為3.17×10-3，在CPID控制下位移響應(yīng)的均方根值為0.82×10-3，可知在CPID控制下點P的位移響應(yīng)降低了74.1%，圖10(b)為壓電智能梁在隨機荷載作用下，點P的位移響應(yīng)，無控制時點P位移響應(yīng)的均方根值為0.65×10-3，在CPID控制下點P位移響應(yīng)的均方根值為0.29×10-3，可知在CPID控制下點P的位移響應(yīng)降低了55.4%。通過比較發(fā)現(xiàn)CPID控制對簡諧荷載和隨機荷載下壓電智能結(jié)構(gòu)的振動控制效果顯著。

圖10 簡諧荷載和隨機荷載作用下點P位移響應(yīng)Fig.10 Displacement responseof the point P under a harmonic and random force excitations

4 結(jié) 論

將一致性控制方法與PID控制方法的基本思想相結(jié)合，提出了一種適用于壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制的一致性PID(Consensus-PID,CPID)控制方法。用ANSYS參數(shù)化語言編寫了壓電智能結(jié)構(gòu)振動控制分析的有限元程序，進行數(shù)值仿真。研究結(jié)果表明：

(1)CPID控制方法對壓電智能結(jié)構(gòu)的振動控制是有效的，提高了集中式PID控制的收斂速度。

(2)當(dāng)壓電智能結(jié)構(gòu)中某些傳感器失效時，對比于集中式PID控制，系統(tǒng)在CPID控制下仍然能保持較好的控制效果，失效的傳感器越多，CPID控制方法的優(yōu)勢越明顯。

(3)對比于集中式PID控制，系統(tǒng)在CPID控制下致動器的最大輸入電壓Vmax較小且最小輸入電壓Vmin較大，對致動器起到了一定的保護作用。

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AconsensusPID(CPID)controlalgorithmforvibrationcontrolofpiezoelectricsmartstructures

BAILiang，F(xiàn)ENGYunwen，XUEXiaofeng

(SchoolofAeronautics，NorthwesternPolytechnicalUniversity，Xi’an710072，China)

By combining the idea of PID control and the consensus control algorithm, a new consensus-PID (CPID) control algorithm was proposed, which was used for vibration control of piezoelectric smart structures. In this new approach, the inputs of PID controllers were the system output errors. The outputs of PID controllers and their variations in the sampling period were treated as the inputs of the consensus controller. The input voltages of each actuator were the outputs of the consensus controller. The vibration control equations of piezoelectric smart structures were derived from the finite element dynamic equations of a linear elastic piezoelectric smart structure. The CPID control algorithm was numerically investigated for the smart structure, i.e., a piezoelectric smart beam that was simply supported at its both sides. The finite element model of a piezoelectric smart beam for vibration control was established by ANSYS. Numerical results demonstrate that the CPID control law can successfully control the vibration of the piezoelectric smart structure. Comparing with the centralized PID control algorithm, the new CPID control approach can maintain higher performance for vibration control in the system of piezoelectric smart structures, even though some sensors fail.

consensus control; proportional integrative derivative control; piezoelectric smart structure; vibration control

國家自然科學(xué)基金資助(10577015)

2016-04-18 修改稿收到日期： 2016-09-09

白亮 男，博士生，1987年生

馮蘊雯 女，博士，教授，1968年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.030