黃紹書

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553000)

蔣金團(tuán)

(施甸縣第一中學(xué) 云南 保山 678200)

自行車穩(wěn)定性問題的研究與詮釋

黃紹書

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553000)

蔣金團(tuán)

(施甸縣第一中學(xué) 云南 保山 678200)

根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩平衡，從轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)懸空的角度，給出自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”的約束關(guān)系，并由此剖析自行車在微小擾動(dòng)情況下，能夠自動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定的原因．最后，結(jié)合自行車轉(zhuǎn)彎過程中的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及回轉(zhuǎn)半徑，給出自行車在“轉(zhuǎn)彎不倒”條件下的最大角速度解析式．

自行車穩(wěn)定性 轉(zhuǎn)彎不倒 陀螺效應(yīng) 力矩平衡 詮釋

1 引言

自行車是最普及的大眾簡易交通工具，它的發(fā)明已有200多年．而對(duì)自行車穩(wěn)定性問題的研究和討論，同樣具有悠久的歷史．這方面已發(fā)表的科普文章近百篇，通過檢索查閱近40年來的部分文獻(xiàn)資料[1～4]，發(fā)現(xiàn)它們基本都是從動(dòng)力學(xué)微分方程入手分析,而未離開流行上百年的離心力效應(yīng)和陀螺效應(yīng)的觀點(diǎn)．

關(guān)于自行車穩(wěn)定性問題的研究和討論，從未停止，并曾幾度掀起熱潮．1970年，英國一位化學(xué)家Jones對(duì)傳統(tǒng)的陀螺效應(yīng)產(chǎn)生懷疑[5]．于是，他設(shè)計(jì)一輛無陀螺效應(yīng)的自行車，就是在普通自行車的前輪上并排安裝一個(gè)同樣大小但不接觸地面的輪子，這一輪子與正常車輪反向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，即可消除陀螺效應(yīng)．Jones的這一實(shí)踐表明，消除陀螺效應(yīng)后的高速運(yùn)動(dòng)的自行車同樣能夠維持穩(wěn)定．也就是說，陀螺效應(yīng)對(duì)自行車的穩(wěn)定性沒有明顯的影響．

2012年1月，美國科普雜志Discover Magazine評(píng)選了2011年全球100個(gè)頂尖科學(xué)故事．其中“自行車的新物理”榮居第26位．為此，其困擾公眾的自行車穩(wěn)定性問題再度熱議起來[6]．

至如今，自行車穩(wěn)定性問題仍然是一個(gè)懸而未決的科學(xué)懸案．本文試圖從轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)懸空的角度，分析給出自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”的約束關(guān)系，并由此對(duì)自行車在微小擾動(dòng)情況下，能夠自動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定的原因進(jìn)行剖析．

2 從自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”談起

騎著自行車轉(zhuǎn)彎時(shí)，人和車都總是向彎道的內(nèi)側(cè)傾斜．因此，人和車組成的系統(tǒng)(以下簡稱人車系統(tǒng))的重力作用線不在支撐面上，那么，為什么人車系統(tǒng)不會(huì)傾倒呢？

2.1自行車轉(zhuǎn)彎的一般認(rèn)識(shí)

如圖1所示，騎著自行車在水平彎道轉(zhuǎn)彎時(shí)的情形.

圖1 人騎自行車受力分析

為了減少計(jì)算的復(fù)雜性，這里將人車系統(tǒng)受到力簡化為3個(gè)，即人車系統(tǒng)的重力mg，路面對(duì)車輪的支持力FN及法向摩擦力f．設(shè)人車系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，質(zhì)心軌道半徑為r．那么，在豎直方向

FN-mg=0

(1)

即FN與mg等大反向，合力為零．

在水平方向

f=mrω2

(2)

即摩擦力f提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．

顯然，這一分析過程中，沒有考慮人車系統(tǒng)的空間尺度，也沒有考慮支持力FN與重力mg之間是非共點(diǎn)力的關(guān)系，僅將人車系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)考慮成質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)．因此，這一分析不能解釋“轉(zhuǎn)彎不倒”的問題．

2.2自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”約束條件

事實(shí)上，人車系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)．那么，什么力的力矩與重力力矩平衡，使得人車系統(tǒng)“轉(zhuǎn)彎不倒”，而維系著動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)呢？這就是公眾不能釋疑的根本性困擾．

為了便于討論，將人車系統(tǒng)簡化成剛體．人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎時(shí)，實(shí)際是繞某一豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)面為一圓錐面，如圖2所示．受力情況與圖1一致，不再贅述．設(shè)人車系統(tǒng)的重心為O，轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的傾斜角為θ，轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)為P，轉(zhuǎn)動(dòng)軸為過P點(diǎn)的豎直軸，路面支撐動(dòng)點(diǎn)S與O，P之間的距離分別為l和L．那么，重力mg，支持力FN和摩擦力f對(duì)P點(diǎn)的力矩分別為

MG=mg(L-l)cosθ

(3)

MF=FNLcosθ

(4)

Mf=fLsinθ

(5)

由圖2可知，支持力FN與重力mg的大小是相等的．在人車系統(tǒng)逐漸傾斜過程中，主動(dòng)力矩MG和MF將隨傾斜角θ的減小而增大，而被動(dòng)力矩Mf的變化比較復(fù)雜，因?yàn)槟﹂吡的大小與其力臂存在相反的變化趨勢(shì)．人車系統(tǒng)“倒”與“不倒”，完全決定于這3個(gè)力矩之間的約束關(guān)系，亦就是

圖2 力矩之間的約束關(guān)系

(1)當(dāng)Mf>MF-MG，即

時(shí)，傾斜角θ將增大而“不倒”,且這與人為控制沒有多大的關(guān)系．

(2)當(dāng)Mf=MF-MG，即

時(shí)，傾斜角θ將不變而“不倒”．

(3)當(dāng)Mf

時(shí)，傾斜角θ將減?。舸藭r(shí)的摩擦力已達(dá)到最大靜摩擦力fm，則人車系統(tǒng)即刻“倒”；若此時(shí)的摩擦力未達(dá)到最大靜摩擦力fm，則人車系統(tǒng)隨著θ減小到一定值時(shí)仍然“倒”．

在人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的角速度沒有超過最大角速度之前，摩擦力的大小就處在零與最大靜摩擦力fm之間的變化，且摩擦力的大小由人車系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑及傾斜角確定，見式(8)～(13)的推導(dǎo)．這時(shí)，摩擦力矩Mf也隨之變化．

3 自行車穩(wěn)定性的剖析

自行車的穩(wěn)定性是指正常沿直線自由高速行駛的自行車，在某種擾動(dòng)情況下，其運(yùn)動(dòng)軌跡偏離直線后會(huì)自動(dòng)(非人為控制)恢復(fù)直線穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的現(xiàn)象．

自行車高速行駛條件下，在受到某種擾動(dòng)時(shí)，由于前叉(龍頭)的靈活轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)由直線運(yùn)動(dòng)變?yōu)閳A弧運(yùn)動(dòng)．這時(shí)，車身向內(nèi)傾斜，而車身“倒”與“不倒”符合圖2所示模型的上述討論．

高速行駛的自行車在受到微小擾動(dòng)的情況下，轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)P的空間位置較高，車身的傾斜角θ較大，路面對(duì)車輪的法向摩擦力f的力臂較長，車身的重力mg和路面對(duì)車輪的支持力FN的力臂較短．根據(jù)圖2所示模型的討論可知，這時(shí)，這3個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)P的力矩之間往往滿足

Mf>MF-MG

即

(6)

因此，這種情況下，車身的傾斜角θ會(huì)逐漸增大．這樣，就維持了自行車的穩(wěn)定性．從式(2)可以看出，這時(shí)自行車的速度越大，其離心運(yùn)動(dòng)(向外側(cè)滑)的趨勢(shì)就越明顯，路面對(duì)車輪的法向摩擦力f就越大，自行車越容易自動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．

當(dāng)自行車受到擾動(dòng)比較劇烈時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)P的空間位置過度偏低，車身的傾斜角θ較小，路面對(duì)車輪的法向摩擦力f的力臂較短，車身的重力mg和路面對(duì)車輪的支持力FN的力臂較長．這時(shí)，這3個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)P的力矩之間通常滿足

Mf

即

(7)

因此，這種情況下，車身的傾斜角θ會(huì)越來越小，自行車的穩(wěn)定性將不能繼續(xù)維持．

這里還需特別說明，陀螺效應(yīng)對(duì)于自行車的維持穩(wěn)定確實(shí)有一定的作用．但是，由于自行車的車輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及高速旋轉(zhuǎn)的陀螺角速度大，因此，陀螺效應(yīng)對(duì)自行車的維持穩(wěn)定的作用并不明顯．另外，自行車前叉(龍頭)的靈活轉(zhuǎn)動(dòng)且呈傾斜狀的結(jié)構(gòu)，對(duì)于自行車自動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定起著至關(guān)重要的作用．

4 最大角速度

人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的最大角速度ωm與人車系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)(相對(duì))P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J或回轉(zhuǎn)半徑r0[6]有關(guān)，同時(shí)還與人車系統(tǒng)的最小傾斜角θn有關(guān)．

再次將人車系統(tǒng)進(jìn)一步看成質(zhì)量均勻分布的細(xì)柱型剛體．根據(jù)前面設(shè)定，人車系統(tǒng)的豎直面總長度應(yīng)為2l．令人車系統(tǒng)的線密度為λ．在距離圖2中的P點(diǎn)為r處，取一長度元dr，則長度元的質(zhì)量為dm=λdr．因此，人車系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)(相對(duì))P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(8)

回轉(zhuǎn)半徑為

(9)

若設(shè)車輪與路面之間的最大靜摩擦因數(shù)為μm，那么，由圖2可知，人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的最小傾斜角θn滿足

(10)

由于地面對(duì)車輪的支持力FN等于人車系統(tǒng)的重力mg，因此人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎過程中受到路面的最大靜摩擦力fm為

fm=μmmg

(11)

這一最大靜摩擦力就是人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大向心力．剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，向心力應(yīng)等效作用于剛體的微分質(zhì)量集中點(diǎn)．因此，人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎過程中，最大角速度ωm滿足

fm=mr0ωm2cosθn

(12)

代入各量代數(shù)式，化簡可得

(13)

5 說明與結(jié)論

(1)人車系統(tǒng)在轉(zhuǎn)彎過程中，由于路面的平整度或人為因素，會(huì)使其受到隨機(jī)擾動(dòng)，從而使圖2中的轉(zhuǎn)動(dòng)相對(duì)定點(diǎn)P以及過該點(diǎn)的豎直軸具有瞬時(shí)性，具體可由人車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程瞬時(shí)關(guān)系確定．因此，各式中涉及的路面支撐點(diǎn)S與轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)P之間的距離L以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，回轉(zhuǎn)半徑r0，最大角速度ωm等也都具有瞬時(shí)性．

(2)根據(jù)(6)、(7)兩式的分析表明，本文的研究詮釋了自行車能夠自動(dòng)恢復(fù)穩(wěn)定的根本原因，解決了自行車穩(wěn)定性這一懸而未決的問題．

1 馬中興.自行車的動(dòng)力學(xué)方程及運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性.陜西科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，1982(10)：91～105

2 魏德明.論自行車的穩(wěn)定性.昆明工學(xué)院學(xué)報(bào)，1986(2)：117～122

3 徐華峰.自行車運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性研究.振動(dòng)與沖擊，1994(3)：70～75

4 林修成，張朝陽.自行車行駛穩(wěn)定性及后進(jìn)動(dòng)性的力學(xué)分析.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011(4)：287～291

5 劉延柱. 關(guān)于自行車的穩(wěn)定性. 力學(xué)與實(shí)踐， 2012(2)： 90～93

6 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(Ⅰ).北京.高等教育出版社.2009.259～272

ResearchandInterpretationonBicycleStabilityIssue

Huang Shaoshu

(Liu Panshui No.23 Middle School，Liu Panshui，GuiZhou 553000)

Jiang Jintuan

(ShiDian No.1 Middle School，BaoShan，YunNan 678200)

According to the rigid body rotation moment balance,from the Angle of rotation relative fixed-point dangling give bicycle turn "fail" constraints,and analyze the bike under the condition of small disturbance,automatically restore stability.Finally,the maximum angular velocity resolution of the bicycle in the condition of "turn down" is given by the rotational inertia and the radius of rotation.

bicycle stability;turning to fail;centrifugal effect;the gyroscopic effect;conical surface;torque balance;interpretation

2017-05-25)