姜 源 申永軍 溫少芳 楊紹普

(石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊050043)

分數(shù)階達芬振子的超諧與亞諧聯(lián)合共振1)

姜 源 申永軍2)溫少芳 楊紹普

(石家莊鐵道大學機械工程學院，石家莊050043)

研究了含分數(shù)階微分項的達芬(Duffing)振子的超諧與亞諧聯(lián)合共振．采用平均法得到了系統(tǒng)的一階近似解析解，提出了超、亞諧聯(lián)合共振時等效線性阻尼和等效線性剛度的概念．建立了聯(lián)合共振定常解幅頻曲線的解析表達式，并對聯(lián)合共振幅頻響應的近似解析解和數(shù)值解進行了比較，二者吻合良好，證明了求解過程及近似解析解的正確性．然后，將等效線性阻尼和等效線性剛度的概念與傳統(tǒng)整數(shù)階系統(tǒng)進行比較，證明分數(shù)階微分項不僅起著阻尼的作用同時還起著剛度的作用．最后，通過數(shù)值仿真研究了不同的分數(shù)階微分項系數(shù)和階次對聯(lián)合共振幅頻曲線多值性和跳躍現(xiàn)象的影響，并與單一頻率下超諧共振或亞諧共振進行了對比．研究發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階微分項系數(shù)與階次不僅影響著系統(tǒng)的響應幅值、共振頻率，同時還對系統(tǒng)的周期解個數(shù)、發(fā)生區(qū)域面積、發(fā)生先后等有重要影響．并且，在不同的基本參數(shù)下該系統(tǒng)分別表現(xiàn)出單獨超諧共振、單獨亞諧共振以及超諧共振和亞諧共振同時存在的現(xiàn)象．這些結(jié)果對系統(tǒng)動力學特性的研究具有重要意義．

分數(shù)階微分，達芬振子，聯(lián)合共振，平均法

引言

20世紀70年代，研究人員發(fā)現(xiàn)分形幾何、冪律現(xiàn)象和記憶過程等相關(guān)現(xiàn)象能夠與分數(shù)階微積分建立起密切的聯(lián)系，而且分數(shù)階微積分還可以是一種很好的描述與刻畫手段，由此將分數(shù)階微積分的研究推向高潮[14]．迄今為止，國內(nèi)外的學者對于非線性動力學的研究仍然沒有停息[58]，有關(guān)分數(shù)階微積分的應用研究得到迅速發(fā)展[912]，越來越多的學者投入到了這個新興的領域中．

在工程問題中，分數(shù)階微積分的應用領域主要分為兩類,一類是在控制系統(tǒng)中引入分數(shù)階微積分項來改善控制效果．如無人機滑模姿態(tài)的控制[13]、永磁同步電動機的雙閉環(huán)控制[14]、速度反饋的PID控制[15]、集成神經(jīng)網(wǎng)絡的控制[16]等領域．另一類是用來模擬含記憶特性的工程材料的真實本構(gòu)關(guān)系．如隔振器件的建模(油氣懸架的建模[17]、空氣懸架的建模[18]、磁流變阻尼器的建模[19])、單相逆變器的建模[20]、非定常蠕變本構(gòu)模型的研究[21]、黏彈性材料變形研究[22]等領域．另外達芬方程作為一類典型的動力學系統(tǒng)，能夠描述物理與工程領域中豐富的非線性動力學行為而稱為經(jīng)典模型．在實際工程中，例如船的橫搖運動、結(jié)構(gòu)振動、轉(zhuǎn)子的故障檢測等諸多非線性振動的數(shù)學模型都可以轉(zhuǎn)化為達芬方程．近幾年，由于分數(shù)階微分模型能夠在較大頻率范圍內(nèi)描述材料的力學性能而成為倍受重視的本構(gòu)模型，因此本文將分數(shù)階微分項引入到達芬振子中可以更加真實地反應系統(tǒng)特性．例如：陳林聰?shù)萚23]研究含分數(shù)階導數(shù)的達芬振子在諧和與寬帶噪聲聯(lián)合激勵下平穩(wěn)響應的P分岔現(xiàn)象時，發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分項的變化可以導致系統(tǒng)發(fā)生隨機P分岔．申永軍等[2428]通過平均法對含分數(shù)階微分的線性單自由度振子進行了動力學研究，提出了等效線性阻尼和等效線性剛度的概念，并對分數(shù)階達芬振子的主共振和超諧共振進行了研究，得到了不同的分數(shù)階微分項對系統(tǒng)響應特性的影響規(guī)律．溫少芳等[29]在分數(shù)階時滯反饋對達芬振子動力學特性的影響研究中發(fā)現(xiàn)，在分數(shù)階和時滯耦合作用下，反饋系數(shù)和分數(shù)階階次等參數(shù)對系統(tǒng)動力學特性有著重要的影響，同時發(fā)現(xiàn)分數(shù)階時滯反饋能同時起到位移時滯反饋和速度時滯反饋的作用．韋鵬等[30]對分數(shù)階達芬振子的亞諧共振同樣做出了相關(guān)的研究．除此之外，分數(shù)階微積分在理論上的研究也有極大的應用價值，如Atanackovic等[31]研究了分數(shù)階微積分歐拉--拉格朗日方程；王學彬等[32]以R-L型和Caputo型兩種常見的分數(shù)階導數(shù)定義為例，研究了如何利用拉普拉斯變換求解分數(shù)階微分方程．陳明杰[33]提出了一種嶄新的信號分析工具即分數(shù)階傅里葉變換，并用經(jīng)典的傅里葉變換的觀點對分數(shù)階傅里葉變換進行了充分的解釋等等．

由于能夠給出系統(tǒng)響應特性與參數(shù)之間的直接對應關(guān)系，所以解析研究在分數(shù)階微積分的研究中占據(jù)著重要的地位．目前，在大量關(guān)于分數(shù)階微積分近似解析解的研究文獻中，大多數(shù)是將分數(shù)階微分項當做系統(tǒng)的特殊阻尼來處理，這是不準確的．前述關(guān)于分數(shù)階達芬振子的研究大多以單一諧波激勵為主，較少涉及到多頻激勵．而在實際工程中，多頻激勵的發(fā)生并不少見．而且，多頻激勵下非線性系統(tǒng)具有更加豐富的現(xiàn)象，尤其是聯(lián)合共振較為突出．Nayfeh的專著[34]以整數(shù)階達芬振子的聯(lián)合共振為例，簡單介紹了其中的復雜動力學現(xiàn)象．本文以多頻激勵下含分數(shù)階微分項的達芬振子為對象，研究了分數(shù)階微分項對達芬振子3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振時動力學特性的影響．采用平均法求解該系統(tǒng)的一階近似解析解并通過數(shù)值解驗證了結(jié)果的正確性．通過等效線性阻尼與等效線性剛度的概念，研究了分數(shù)階微分項在不同的系數(shù)和階次下對系統(tǒng)動力學行為尤其是多值性和跳躍現(xiàn)象的影響．

1 分數(shù)階達芬振子的3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振的一階近似解析解

研究如下含有分數(shù)階微分項的達芬振子模型

式中，m,k,c,α1分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、線性剛度、線性阻尼、非線性剛度系數(shù)；F1,ω1,β1,F2,ω2,β2分別為兩項簡諧激振力的幅值、頻率及相位；K1(K1＞0)和p(0≤p≤1)分別是分數(shù)階微分項的系數(shù)和階次．分數(shù)階微分的定義有多種，這里采用Caputo形式

其中Γ(z)為伽馬函數(shù)，具有迭代性質(zhì)Γ(z+1)=zΓ(z).對系統(tǒng)進行如下變量代換

式(1)可變?yōu)?/p>

式(3)從形式上滿足了利用平均法求解系統(tǒng)近似解析解的要求．

研究3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振，也就是系統(tǒng)的兩個外部激勵頻率分別接近固有頻率的1/3倍和3倍時的情況，即 ω1≈ ω0/3,ω2≈3ω0．

為了定量地表示這兩個近似等式的接近程度，引入調(diào)諧參數(shù)

因此

將式(4a)代入式(3)可得

式(5)可改寫為

其中

假設系統(tǒng)的解具有如下形式

將式(8)中的解代入原系統(tǒng)，根據(jù)平均法可得

其中

采用平均法對式(9)在區(qū)間[0,T]上進行積分平均，可以得到有關(guān)振幅a和相位θ的平均方程

其中積分上限T可以取2π(若Pi(a,θ)(i=1,2)是周期函數(shù))，或者T= ∞(若 Pi(a,θ)(i=1,2)是非周期函數(shù))．

因此，式(11)中第1部分的積分為

計算式(11)中第2部分的積分

引入兩個基本公式

利用坐標變換s=t?u,ds=?du得到

對上式進行分部積分可以得到

利用極限的性質(zhì)，˙a211式中后半部為0．再將式(14b)代入上式，得到

對式(20)進行分部積分可以得到

根據(jù)極限的性質(zhì)，當T→∞時˙a212=0．

下面計算˙a2中的第2項，根據(jù)上述分析過程可得

對上式進行坐標變換及分部積分可以得到

同理可知

因此

同理，采用類似的推導過程可以得到

聯(lián)立式(25)和式(12)，可以得到

將原參數(shù)代入上式，則有

式中

上式C(p)和K(p)分別定義為3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振時的等效線性阻尼及等效線性剛度．

分析式(28)可知，分數(shù)階項的系數(shù)與階次均出現(xiàn)在等效線性阻尼與等效線性剛度中．這與文獻[20]所提出的分數(shù)階微分項不僅起著阻尼的作用，同時還起著線性剛度的作用這一結(jié)論相一致．它的系數(shù)K1和階次p對于上式的等效線性阻尼和等效線性剛度有著重要的影響．當K1→0時，系統(tǒng)將會由分數(shù)階趨近于傳統(tǒng)的整數(shù)階形式，并且與等效線性阻尼和等效線性剛度呈線性關(guān)系，影響著系統(tǒng)的共振頻率和振幅的大?。擪1增大時，等效線性阻尼與等效線性剛度都會隨之增大，因此系統(tǒng)的響應振幅將會減小，共振頻率也會隨之改變；反之亦然．同時，分數(shù)階微分項的階次p也對該系統(tǒng)有重要的影響．當p→1時，分數(shù)階微分項幾乎等同于線性阻尼達到極大值c+K1，系統(tǒng)的響應幅值將降到最低；當p→0時，分數(shù)階微分項幾乎等同于線性剛度達到極大值k+K1，系統(tǒng)的共振頻率增大，響應振幅相應地減?。浑y看出等效線性阻尼與等效線性剛度與激勵的頻率也存在著一定的關(guān)系．

2 聯(lián)合共振定常解

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)振動在工程實際情況中具有較大的應用價值，因此這里研究3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振情況下的定常解(即穩(wěn)態(tài)解)．令式(27)中的和則有

為了簡化計算過程，且不影響對結(jié)果的分析，現(xiàn)假設β1= β2=0．

令

式(29)可簡化成

現(xiàn)將式(30a)與式(30b)平方相加再利用2倍角公式可得

利用三倍角公式，式(30a)可寫成

將式(31)代入上式平方后可消去θ，經(jīng)整理得到定常解的幅頻曲線方程

及相頻曲線方程

至此，得到了關(guān)于ˉa的多項式方程．考慮到多項式系數(shù)的表達式非常復雜(見附錄)，所有推導過程可用Mathematica軟件方便完成．

3 數(shù)值仿真

現(xiàn)對式(1)所表示的系統(tǒng)進行數(shù)值求解，選取基本系統(tǒng)參數(shù)m=5,k=10,c=0.2,α1=3,F1=10,F2=1,K1=0.2,p=0.4,根據(jù)式(8)和式(35)得到該系統(tǒng)的幅頻曲線，如圖1中實線所示，圖中橫軸為激勵頻率ω，縱軸為響應振幅a．為了驗證解析結(jié)果的正確性，參照文獻[2]中介紹的分數(shù)階冪級數(shù)法，對該分數(shù)階達芬系統(tǒng)進行數(shù)值分析．首先，引入數(shù)值解法的近似公式

其中tl=lh為時間采樣點，h為時間步長，為分數(shù)階二項式系數(shù)，具有如下迭代關(guān)系

采用 Matlab軟件進行數(shù)值計算，選取步長 h =0.0005，計算時間為400s，將前320s響應值略去，取后80s的響應最大幅值為穩(wěn)定幅值，所得數(shù)值計算結(jié)果如圖1中圓圈所示．可見，兩者符合較好，說明本文得到的結(jié)果具有較高的精度．

圖1 系統(tǒng)近似解與數(shù)值解幅頻曲線的比較Fig.1 The comparison of the amplitude-frequency curve by the approximately analytical solution with that by numerical integration

選取一組基本系統(tǒng)參數(shù)m=5,k=45,c=0.2,α1=45,F1=40,F2=2,K1=1,p=0.5,根據(jù)式(8)和式(35)得到該系統(tǒng)的幅頻曲線，如圖2所示．圖2中整數(shù)階曲線為K1=0時的情況．顯然，在該系統(tǒng)發(fā)生3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振的情況下，當?shù)谝患頕1大于第二激勵F2數(shù)倍時，該系統(tǒng)出現(xiàn)了與分數(shù)階達芬振子超諧共振相似的情況，表現(xiàn)出3次超諧共振[35]的特性．即分數(shù)階微分項引起了該系統(tǒng)等效線性阻尼和等效線性剛度的增大，使該分數(shù)階達芬振子幅頻曲線中的振幅減小，幅頻曲線的彎曲程度增加(即改變了系統(tǒng)的頻率特性)．

圖2 傳統(tǒng)整數(shù)階與分數(shù)階振子的幅頻曲線比較Fig.2 Comparison of amplitude-frequency curves between the traditional integer-order and the fractional-order oscillators

當分數(shù)階微分項系數(shù)K1選取不同值時，得到的幅頻曲線如圖3所示．隨著K1的逐漸增大，該系統(tǒng)的幅值呈現(xiàn)出減小趨勢．同時，該系統(tǒng)的等效線性剛度在逐漸增大，導致系統(tǒng)的共振頻率增大．因此該系統(tǒng)的分數(shù)階微分項系數(shù)K1對系統(tǒng)響應的影響體現(xiàn)在兩個方面，即共振振幅和共振頻率．

圖3 不同分數(shù)階系數(shù)下幅頻曲線的比較Fig.3 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional coefficients

分析不同分數(shù)階階次p的影響，選取K1=1,p分別取0.1,0.25,0.5,0.75,0.9時的幅頻曲線如圖4所示．如圖可知，隨著p的逐漸增大，導致等效線性阻尼也隨之增大，系統(tǒng)的共振幅值隨之減弱，固有頻率也逐漸減??；當p達到一定程度時系統(tǒng)的多解和跳躍現(xiàn)象將會消失．因此，分數(shù)階微分項的階次p對系統(tǒng)的共振振幅和共振頻率同樣有重要影響．

圖4 不同分數(shù)階階次下幅頻曲線的比較Fig.4 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional orders

選取另一組基本參數(shù)m=5,k=45,c=0.2,α1=15,F1=2,F2=200,K1=1,p=0.5,根據(jù)式(8)和式(35)便可以得到該系統(tǒng)的幅頻曲線如圖5所示，圖5中整數(shù)階曲線為K1=0時的情況．由圖5可見，當?shù)谝患頕1小于第二激勵F2數(shù)倍時，該系統(tǒng)出現(xiàn)了與分數(shù)階達芬振子亞諧共振相似的情況，表現(xiàn)出1/3次亞諧共振[35]的特性．即分數(shù)階微分項引起了該系統(tǒng)等效線性阻尼和等效線性剛度的增大，使系統(tǒng)幅頻曲線中的振幅減小及共振頻率增大，幅頻曲線向右偏移．

圖5 傳統(tǒng)整數(shù)階與分數(shù)階振子的幅頻曲線比較Fig.5 Comparison of amplitude-frequency curves of the traditional integer-order and the fractional-order oscillators

選取 p=0.5,K1分別取0.5,1,1.5時的幅頻曲線如圖6(a)所示；K1=1,并且p分別取0,0.5,1時的幅頻曲線如圖6(b)所示．分析圖6(a)可知，隨著分數(shù)階微分項系數(shù)K1逐漸增大，導致系統(tǒng)等效線性阻尼及等效線性剛度也隨之增大，因此系統(tǒng)的響應幅值逐漸減小、系統(tǒng)的共振頻率逐漸增大，同時系統(tǒng)的共振區(qū)域逐漸減小且幅頻曲線向右偏移．分析圖6(b)可知，隨著分數(shù)階微分項階次p逐漸增大，系統(tǒng)等效線性阻尼逐漸增大、等效線性剛度逐漸減小，因此系統(tǒng)的響應幅值及共振頻率逐漸減小，同時系統(tǒng)的共振區(qū)域顯著減小，并且在不同參數(shù)下幅頻曲線出現(xiàn)了相交現(xiàn)象．通過上述分析可知，分數(shù)階微分項系數(shù)與階次對系統(tǒng)的動力學特性有著重要影響．

圖6 不同分數(shù)階參數(shù)下幅頻曲線的比較Fig.6 Comparison of amplitude-frequency curves under di ff erent fractional-order parameters

改變系統(tǒng)的基本參數(shù)為m=2,k=15,c=0.2,α1=80,F1=3000,F2=15000,K1=0,該系統(tǒng)為傳統(tǒng)整數(shù)階達芬振子的3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振，圖7(a)和圖7(b)分別給出了聯(lián)合共振下的幅頻曲線．由圖可知，這種聯(lián)合共振最多可同時出現(xiàn)7個解，這與單個解存在時的情況有明顯的不同．分析圖中的多解情況可得：(1)1個非平凡的穩(wěn)定解；(2)3個非平凡解，其中一個是不穩(wěn)定的；(3)5個非平凡解，其中兩個是不穩(wěn)定的；(4)7個非平凡解(P1～P7)，其中3個是不穩(wěn)定的．將這種聯(lián)合共振與單獨存在的3次超諧共振和1/3次亞諧共振進行比較后可以看出，圖7中B和C兩枝類似于亞諧共振，而A和D兩枝則類似于超諧共振[36]．

圖7 多值下的幅頻曲線Fig.7 The amplitude-frequency curves of multi-value

圖8為3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振在 p=0.5,K1分別取0,10,20情況下的幅頻曲線．不難看出，這種出現(xiàn)多解現(xiàn)象的幅頻曲線在改變分數(shù)階微分項系數(shù)K1時出現(xiàn)了和上述相似的結(jié)果：隨著K1的增大，導致系統(tǒng)的等效線性阻尼及等效線性剛度也隨之增大，因此幅頻曲線中的幅值減小，系統(tǒng)的共振頻率增大．不僅如此，該系統(tǒng)的多值性也發(fā)生了一系列變化：隨著K1的逐漸增大，導致聯(lián)合共振出現(xiàn)3個解的區(qū)域逐漸減小，5個解的發(fā)生區(qū)域?qū)⑻崆俺霈F(xiàn)并且逐漸擴大，同時7個解的發(fā)生區(qū)域?qū)⑾蚝笸埔疲?/p>

圖8 不同分數(shù)階系數(shù)K1下的幅頻曲線比較Fig.8 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional-order parameters

圖9為3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振在K1=10，p分別取0.25,0.5,1情況下的幅頻曲線．如圖分析可得，當分數(shù)階微分項階次p逐漸增大到1時，系統(tǒng)的等效線性阻尼也隨之增大，不僅降低了系統(tǒng)的幅值，同時對系統(tǒng)的多值性也有很大的影響．隨著p的逐漸增大，此聯(lián)合共振出現(xiàn)3個解的區(qū)域不斷減小，出現(xiàn)5個解的區(qū)域擴大并且7個解的發(fā)生區(qū)域后移．當p增大到一定程度時系統(tǒng)的多解性消失．

圖9 不同分數(shù)階階次p下的幅頻曲線比較Fig.9 Comparison of amplitude-frequency curves in di ff erent fractional-order parameters

4 結(jié)論

本文利用平均法對分數(shù)階達芬振子的3次超諧與1/3次亞諧聯(lián)合共振的響應進行了研究，通過等效線性阻尼及等效線性剛度的概念對該系統(tǒng)在不同分數(shù)階微分項系數(shù)K1及階次p的情況下分別做出了分析，并與傳統(tǒng)整數(shù)階達芬振子進行了比較．結(jié)果發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階微分項階次p和系數(shù)K1通過等效線性阻尼及等效線性剛度對系統(tǒng)起著剛度和阻尼的作用，不僅僅影響著系統(tǒng)的響應幅值、共振頻率，同時還對系統(tǒng)的多值性個數(shù)、發(fā)生區(qū)域面積、發(fā)生先后等有重要影響，對系統(tǒng)動力學特性的研究具有重要意義．

1 Kilbas AA,Srivastava HM,Trujillo JJ.Theory and Applications of Fractional Di ff erential Equations.Amsterdam:Elsevier,2006

2 Petras I.Fractional-order Nonlinear Systems:Modeling,Analysis and Simulation.Beijing:Higher Education Press,2011:18-19

3 Rossikhin YA,Shitikova MV.Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics:novel trends and recent results.Applied Mechanics Reviews,2010,63:010801-1-52

4 Machado JAT,Kiryakova V,Mainardi F.Recent history of fractional calculus.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16:1140-1153

5 陳章耀,王亞茗,張春.雙狀態(tài)切換下BVP振子的復雜行為分析.力學學報,2016,48(4):953-962(Chen Zhangyao,Wang Yaming,Zhang Chun.Complicated behaviors as well as the mechanism in BVP oscillator with switches related to two states.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(4):953-962(in Chinese))

6 蘇二龍,羅建軍.高超聲速飛行器橫側(cè)向失穩(wěn)非線性分岔分析.力學學報,2016,48(5):1192-1201(Su Erlong,Luo Jianjun.Nonlinear bifurcation analysis of lateral loss of stability for hypersonic vehicle.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(5):1192-1201(in Chinese))

7 高雪,陳前,劉先斌.一類分段光滑隔振系統(tǒng)的非線性動力學設計方法.力學學報,2016,48(1):192-200(Gao Xue,Chen Qian,Liu Xianbin.Nonlinear dynamics design for piecewise smooth vibration isolation system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(1):192-200(in Chinese))

8 王浩宇,吳勇軍.1:1內(nèi)共振對隨機振動系統(tǒng)可靠性的影響.力學學報,2015,47(5):807-813(Wang Haoyu,Wu Yongjun.The in fl uence of one-to-one internal resonance on reliability of random vibration system.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2015,47(5):807-813(in Chinese))

9 李占龍,孫大剛,韓斌慧.基于分數(shù)階導數(shù)的黏彈性減振系統(tǒng)時頻特性.應用基礎與工程科學學報,2017,25(1):187-198(Li Zhanlong,Sun Dagang,Han Binhui.Time and frequency features of viscoelastic vibration damping system based on fractional derivative.Journal of Basic Science and Engineering,2017,25(1):187-198(in Chinese))

10 蔡偉,陳文.復雜介質(zhì)中任意階頻率依賴耗散聲波的分數(shù)階導數(shù)模型.力學學報,2016,48(6):1265-1280(Cai Wei,Chen Wen.Fractional derivative modeling of frequency-dependent dissipative mechanism for wave propagation in complex media.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(6):1265-1280(in Chinese))

11 韋鵬,申永軍,楊紹普.分數(shù)階van der Pol振子的超諧共振.物理學報,2014,63(1):47-58(Wei Peng,Shen Yongjun,Yang Shaopu.Super-harmonic resonance of fractional-order van der Pol oscillator.Acta Phys.Sin,2014,63(1):47-58(in Chinese))

12 林世敏,許傳炬.分數(shù)階微分方程的理論和數(shù)值方法研究.計算數(shù)學,2016,38(1):1-24(Lin Shimin,Xu Chuanju.Theoretical and numerical investigation of fractional di ff erential equations.Mathematica Numerica Sinica,2016,38(1):1-24(in Chinese))

13 譚健,周洲,祝小平.飛翼布局無人機分數(shù)階積分滑模姿態(tài)控制.控制理論與應用,2015,32(5):607-614(Tan Jian,Zhou Zhou,Zhu Xiaoping.Attitude control for fl ying wing unmanned aerial vehicles based on fractional order integral sliding-mode.Control Theory and Applications,2015,32(5):607-614(in Chinese))

14 文家燕,高遠,劉傳國.永磁同步電動機的雙閉環(huán)分數(shù)階控制研究.微特電機,2016,44(1):34-38(Wen Jiayan,Gao Yuan,Liu Chuanguo.Control of PMSM via a double closed-loop fractionalorder control strategy.Small and Special Electrical Machines,2016,44(1):34-38(in Chinese))

15 牛江川,申永軍,楊紹普.基于速度反饋分數(shù)階PID控制的達芬振子的主共振.力學學報,2016,48(2):422-429(Niu Jiangchuang,Shen Yongjun,Yang Shaopu.Primary resonance of Duffing oscillator with fractional-order PID controller based on velocity feedback.ChineseJournalofTheoreticalandAppliedMechanics,2016,48(2):422-429(in Chinese))

16 張碧陶,高福榮,姚科.集成神經(jīng)網(wǎng)絡與自適應算法的分數(shù)階滑?？刂?控制理論與應用,2016,33(10):1373-1377(Zhang Bitao,Gao Furong,Yao Ke.Neural network and adaptive algorithm-based fractional order sliding mode controller.Control Theory and Applications,2016,33(10):1373-1377(in Chinese))

17 孫會來,金純,張文明.基于分數(shù)階微積分的油氣懸架建模與試驗分.振動與沖擊,2014,34(17):167-172(Sun Huilai,Jin Chun,Zhang Wenming.Modeling and tests for a hydro-peneumatic suspension based on fractional calculus.Journal of Vibration and Shocck,2014,34(17):167-172(in Chinese))

18 吳光強,黃煥軍,葉光湖.基于分數(shù)階微積分的汽車空氣懸架半主動控制.農(nóng)業(yè)機械學報,2014,45(7):19-25(Wu Guangqiang,Huang Huanjun,Ye Guanghu.Semi-active control of automotive air suspension based on fractional calculus.Transactions of The Chinese Society of Agricultural Machinery,2014,45(7):19-25(in Chinese))

19 陳丙三,曾壽金,江吉彬.磁流變阻尼器的分數(shù)階模型及其減振系統(tǒng)分析.機械設計與制造,2012(7):219-221(Chen Bingsan,Zeng Shoujin,Jiang Jibin.Fractional calculus modeling of the megnetorheological damper and the analysis of its damping system.Machinery Design and Manufacture,2012(7):219-221(in Chinese))

20 馬冬冬,王志強,王進君.單相逆變器分數(shù)階建模及分析.電測與儀表,2017,54(6):106-112(Ma Dongdong,Wang Zhiqiang,Wang Jinjun.Fractional order modeling and analysis of single phase inverter.Electrical Measurement&Instrumentation,2017,54(6):106-112(in Chinese))

21 何志磊,朱珍德,朱明禮.基于分數(shù)階導數(shù)的非定常蠕變本構(gòu)模型研究.巖土力學,2016,37(3):737-744(He Zhilei,Zhu Zhende,Zhu Mingli.An unsteady creep constitutive model based on fractional order derivatives.Rock and Soil Mechanics,2016,37(3):737-744(in Chinese))

22 段曉夢,殷德順,安麗媛.基于分數(shù)階微積分的黏彈性材料變形研究.中國科學:物理學 ·力學 ·天文學,2013,43(8):971-977(Duan Xiaomeng,Yin Deshun,An Liyuan.The deformation study in viscoelastic materials based on fractional order calculus.Scientia Sinica Physica,Mechanica&Astronomica,2013,43(8):971-977(in Chinese))

23 陳林聰,朱位秋.諧和與寬帶噪聲聯(lián)合激勵下含分數(shù)導數(shù)型阻尼的達芬振子的平穩(wěn)響應.應用力學學報,2010,27(1):517-521(Chen Lincong,Zhu Weiqiu.Stationary response of Duffing oscillator with fractionalderivative damping under combined harmonic and wide band noise excitations.Journal of Applied Mechanics,2010,27(1)：517-521(in Chinese))

24 申永軍,楊紹普,邢海軍.含分數(shù)階微分的線性單自由度振子的動力學分析.物理學報,2012,61(11):158-163(Shen Yongjun,Yang Shaopu,Xing Haijun.Dynamical analysis of linear single degreeof-freedom oscillator with fractional-order derivative.Acta Phys Sin,2012,61(11):158-163(in Chinese))

25 申永軍,楊紹普,邢海軍.含分數(shù)階微分的線性單自由度振子的動力學分析(Ⅱ).物理學報,2012,61(15):55-63(Shen Yongjun,Yang Shaopu,Xing Haijun.Dynamical analysis of linear SDOF oscillator with fractional-order derivative(II).Acta Phys Sin,2012,61(15):55-63(in Chinese))

26 Shen YJ,Yang SP,Xing HJ,et al.Primary resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2012,17(7):3092-3100

27 Shen Yongjun,Yang Shaopu,Xing Haijun,et al.Primary resonance of Duffing oscillator with two kinds of fractional-order derivatives.International Journal of Non-Linear Mechanics,2012,47(9):975-983

28 申永軍,楊紹普,邢海軍.分數(shù)階 Du ff ng振子的超諧共振.力學學報,2012,44(4):762-768(Shen Yongjun,Yang Shaopu,Xing Haijun.Super-harmonic resonance of fractional-order Duffing oscillator.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2012,44(4):762-768(in Chinese))

29 溫少芳,申永軍,楊紹普.分數(shù)階時滯反饋對達芬振子動力學特性的影響.物理學報,2016,65(9):166-175(Wen Shaofang,Shen Yongjun,Yang Shaopu.Dynamical analysis of Duffing oscillator with fractional-order feedback with time delay.Acta Phys.Sin,2016,65(9):166-175(in Chinese))

30 韋鵬,申永軍,楊紹普.分數(shù)階達芬振子的亞諧共振.振動工程學報,2014,28(6):811-818(Wei Peng,Shen Yongjun,Yang Shaopu,Sub-harmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative.Journal of Vibration Engineering,2014,28(6):811-818(in Chinese))

31 Atanackovic TM,Konjik S,Pilipovic S.Variational problems with fractional derivatives:Euler-Lagrange equations.Journal of Physics A Mathematical&Theoretical,2011,41(9):1937-1940

32 王學彬.拉普拉斯變換方法解分數(shù)階微分方程.西南師范大學學報(自然科學版),2016,41(7):7-12(Wang Xuebin.On laplace transform method for solving fractional di ff erential equations.Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition),2016,41(7):7-12(in Chinese))

33 陳明杰.分數(shù)階傅里葉變換的數(shù)值實現(xiàn).重慶大學學報(自然科學版),2003,26(5):129-132(Chen Mingjie.A numerical algorithmsoffractionalfouriertransform.JournalofChongqingUniversity(Natural Science Edition),2003,26(5):129-132(in Chinese))

34 奈弗AH,穆克DT.非線性振動.北京:高等教育出版社,1980(Nayfeh AH,Mook DT.Nonlinear oscillations.Beijing:High Education Press,1980(in Chinese))

35 胡海巖.應用非線性動力學.北京:航空工業(yè)出版社,2000(Hu Haiyan.Applied Nonlinear Dynamics.Beijing:Aviation Industry Press,2000(in Chinese))

36 褚亦清,李翠英.非線性振動分析.北京:北京理工大學出版社,1996(Chu Yiqing,Li Cuiying.Nonlinear Vibration Analysis.Beijing:Beijing Institute of Technology Press,1996(in Chinese))

SUPER-HARMONIC AND SUB-HARMONIC SIMULTANEOUS RESONANCES OF FRACTIONAL-ORDER DUFFING OSCILLATOR1)

Jiang Yuan Shen Yongjun2)Wen Shaofang Yang Shaopu
(School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China)

The super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative is studied in this paper.The fi rst-order approximate analytical solution is obtained by averaging method.The de fi nitions of equivalent linear damping coefficient and equivalent linear sti ff ness efficient for super-harmonic and subharmonic simultaneous resonance are presented.The analytical amplitude-frequency equation for steady-state solution of simultaneous resonance is established.A comparison of the analytical solution with the numerical results is made,and their satisfactory agreement veri fi es the correctness and higher-order precision of the approximately analytical results.Then,a further comparison between the fractional-order and traditional integer-order Duffing oscillator is ful fi lled through the de fi nitions of equivalent linear damping coefficient and equivalent linear sti ff ness coefficient,and the results prove that the fractional-order parameters has the e ff ects of both damping and sti ff ness,which is similar in other fractionalorder system.At last the numerical simulation is used to analyze the e ff ects of di ff erent fractional-order parameters on multi-value characteristics and jumping phenomena of the amplitude-frequency curve under simultaneous resonance,and the di ff erences between the super-harmonic and sub-harmonic resonances under single-frequency excitation are analyzed in detail.It could be found that the fractional-order parameters not only a ff ect the response amplitude and resonant frequency of the system,but also has signi fi cant in fl uence on the number,existing area and the occurrence order of periodic solutions.Moreover,single super-harmonic resonance,single sub-harmonic resonance and both existing of these two resonances could be respectively found under di ff erent basic parameters,which is important to study the dynamic characteristics of the similar system.

fractional-order derivative，Duffing oscillator，simultaneous resonance，averaging method

O313，O322

A

10.6052/0459-1879-17-105

2017–03–28收稿，2017–06–29 錄用,2017–06–29 網(wǎng)絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金(11372198,11602152)和河北省高等學校創(chuàng)新團隊領軍人才計劃(LJRC018)資助項目.

2)申永軍，教授，主要研究方向：機械系統(tǒng)的動力學與振動控制.E-mail：shenyongjun@126.com

姜源,申永軍,溫少芳,楊紹普.分數(shù)階達芬振子的超諧與亞諧聯(lián)合共振.力學學報,2017,49(5):1008-1019

Jiang Yuan,Shen Yongjun,Wen Shaofang,Yang Shaopu.Super-harmonic and sub-harmonic simultaneous resonances of fractionalorder Duffing oscillator.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1008-1019

附錄：方程(35)關(guān)于ˉa的多項式系數(shù)