李帥兵 楊 睿 羅喜勝 司 廷

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，合肥230027)

氣流作用下同軸帶電射流的不穩(wěn)定性研究1)

李帥兵 楊 睿 羅喜勝 司 廷2)

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，合肥230027)

通過對氣體驅(qū)動同軸電流動聚焦的實驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行簡化，開展了電場力和慣性力共同作用下同軸帶電射流的不穩(wěn)定性理論研究.在流動為無黏、不可壓縮、無旋的假設(shè)下，建立了三層流體帶電射流物理模型并得到了擾動在時間域內(nèi)發(fā)展演化的解析形式色散關(guān)系，利用正則模方法求解色散方程發(fā)現(xiàn)了流動的不穩(wěn)定模態(tài)，進(jìn)而分析了主要控制參數(shù)對不穩(wěn)定模態(tài)的影響.結(jié)果表明，在參考狀態(tài)下軸對稱模態(tài)的最不穩(wěn)定增長率最大，因此軸對稱擾動控制整個流場.外層氣流速度越高，氣體慣性力越大，射流的界面越容易失穩(wěn).內(nèi)外層液--液同軸射流之間的速度差越大，射流越不穩(wěn)定.表面張力對射流不穩(wěn)定性起到促進(jìn)作用.軸向電場對射流不穩(wěn)定性具有雙重影響：當(dāng)加載電場強(qiáng)度較小時，射流不穩(wěn)定性被抑制;當(dāng)施加電壓大于某一臨界值時，軸向電場會促進(jìn)射流失穩(wěn).臨界電壓的大小與界面上自由電荷密度和射流表面擾動發(fā)展關(guān)系密切.這些結(jié)果與已有的實驗現(xiàn)象吻合，能夠?qū)嶒灥倪^程控制提供理論指導(dǎo).

同軸射流,帶電射流,電流動聚焦,射流不穩(wěn)定性,過程控制

引言

電流體力學(xué)(electrohydrodynamics,EHD)是流體力學(xué)和電動力學(xué)之間的交叉學(xué)科.隨著納米技術(shù)、微機(jī)電系統(tǒng)和生物技術(shù)的迅猛發(fā)展，EHD研究在納米材料、微流動、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域顯示了巨大的應(yīng)用價值.電霧化(electrospray，ES)是EHD的一個重要分支，可描述為利用單軸或復(fù)合結(jié)構(gòu)的毛細(xì)管，在電場力作用下促使流體界面拉伸成微細(xì)射流[13].在ES中，帶電液體射流周圍的氣體是靜止的.不同于ES，近年來另一種有效的微細(xì)液體射流產(chǎn)生方法被提出，稱之為流動聚焦( fl ow focusing，F(xiàn)F)，也就是從毛細(xì)管流出的液體由高速運(yùn)動的氣體驅(qū)動，經(jīng)小孔聚焦后形成穩(wěn)定的錐射流結(jié)構(gòu)[35].可以看出，在FF中液體射流周圍的氣體是高速運(yùn)動的.FF和ES形成的液體射流將破碎成微納米量級的液滴、顆?；蚰z囊，具有相似的射流不穩(wěn)定性機(jī)理.Ga?n′an-Calvo等[6]和司廷等[7]將FF與ES相結(jié)合，提出了電流動聚焦(electro- fl ow focusing，EFF)技術(shù)，能夠使霧化更穩(wěn)定，制備的產(chǎn)物尺寸更小，因而具有重要的應(yīng)用前景.

單軸結(jié)構(gòu)的ES,FF和EFF相對簡單，目前實驗和不穩(wěn)定性理論研究都已取得一定進(jìn)展[5,89].Si等[1011]采用時間線性不穩(wěn)定性方法分析了各個參數(shù)對不穩(wěn)定模的影響，采用時空線性不穩(wěn)定性方法分析了參數(shù)對鞍點(diǎn)的位置以及雷諾數(shù)--韋伯?dāng)?shù)(Re-We)平面上絕對和對流不穩(wěn)定性的轉(zhuǎn)換曲線的影響，均取得了一定成果.Li等[12]采用時間不穩(wěn)定性方法進(jìn)行了軸向電場作用下有黏及無黏單軸射流不穩(wěn)定性研究.理論和實驗結(jié)果吻合，一定程度上證明了不穩(wěn)定性理論分析方法的可靠性.

同軸結(jié)構(gòu)的ES、FF和EFF變得復(fù)雜，不僅多了一層流體，還增加了一層界面[1315].目前相應(yīng)的實驗研究已經(jīng)開展，但是同軸帶電射流不穩(wěn)定性的理論和實驗研究仍十分有限[5,1623].在ES方面，根據(jù)加載電場方向的不同，Li等分別就徑向[18]、軸向[19]電場作用下同軸射流無黏穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析，取得了一定成功.根據(jù)射流流體性質(zhì)的不同，Li等[19]將軸向電場同軸射流分成4種情況，并針對每種情況進(jìn)行了射流的不穩(wěn)定性分析.本文是這一工作的延續(xù)，選取內(nèi)層為導(dǎo)體外層為電介質(zhì)的同軸射流在軸向電場作用下的情況，進(jìn)一步研究慣性力和電場力共同作用下的同軸帶電射流不穩(wěn)定性，為氣體驅(qū)動同軸EFF實驗提供理論指導(dǎo).

本文采用的不穩(wěn)定性研究方法為模態(tài)展開法(即正則模法).在穩(wěn)定性分析過程中，當(dāng)考慮黏性對流體影響時，控制方程存在非線性項，使得求解過程變得較復(fù)雜[24].李廣濱等[25]在單軸EFF研究中，采用無黏假設(shè)研究了表面張力、外層氣體流速等參數(shù)對射流的影響，取得了一定研究成果，對實驗結(jié)果進(jìn)行了定性預(yù)測.本文采用類似的基本假設(shè)和無黏情況下的時間不穩(wěn)定性分析方法，將小擾動展開成Fourier級數(shù)的形式，推導(dǎo)并求解出解析形式的色散方程，從而分析擾動在時間域中的發(fā)展，開展同軸結(jié)構(gòu)的EFF理論研究.

1 理論模型

1.1 模型簡化及基本假設(shè)

完全按照實驗情況建立物理模型需要考慮的因素較多且十分復(fù)雜，因此在開展理論研究之前需要對物理模型進(jìn)行簡化.在前期工作中，Li等[1819]建立了同軸ES中的同軸帶電射流模型，Li等[12]建立了單軸EFF中的氣體作用下的帶電射流模型，取得一定進(jìn)展.本文在以上兩個模型基礎(chǔ)上，開展同軸射流在外部氣流裹挾下向下游運(yùn)動的理論建模和不穩(wěn)定性分析.由于復(fù)合液體射流流出小孔后在一段距離內(nèi)穩(wěn)定運(yùn)動，直徑幾乎保持不變，可以將其近似為圓柱形內(nèi)部液體，環(huán)形中間層液體以及外部高速氣流，如圖1所示.

與Li等[12]的假設(shè)類似，本模型給出下列假設(shè)或近似并對符號含義進(jìn)行說明.同軸射流由半徑為R1的圓柱射流(內(nèi)層流體)和半徑為R2的環(huán)形射流(中間層流體)組成；同軸射流外部為壓強(qiáng)差推動的氣體(外層流體).本文假設(shè)流動無旋、無黏、不可壓，忽略流體間溫度差異，假設(shè)三種流體等溫且不互溶，界面無質(zhì)量傳遞.忽略磁場對射流的作用，假設(shè)內(nèi)層流體為導(dǎo)體，電導(dǎo)率為σ1，電容率為ε1；中間層流體為電介質(zhì)，電容率為ε2.內(nèi)層流體以及中間層流體之間界面為“界面1”，中間層流體以及外層氣體射流之間界面為“界面2”.內(nèi)層、中間層以及外層流體密度分別為ρ1,ρ2,ρ3，速度為u1,u2,u3.流體無擾動情況下的速度型為均勻速度型；射流處在場強(qiáng)為E0的理想軸向電場下.

圖1 氣流作用下液--液同軸帶電射流的簡化模型，其中1,2,3分別表示內(nèi)層、中間層和外層流體Fig.1 Simpli fi ed model of electri fi ed coaxial liquid-liquid jet in a co fl owing gas stream.1,2 and 3 stand for the inner,middle and outer fl uids

下面從量綱分析的角度解釋忽略重力、體電荷以及流體黏性的合理性.在流體力學(xué)中無量綱參數(shù)Fr數(shù) (慣性力/重力)以及 Bo數(shù) (重力／表面張力)與重力相關(guān).取一組同軸射流實驗[26]的參數(shù)作為參考狀態(tài)：速度 U0=2m/s；長度 L0=30μm；密度ρ0=1000kg/m3；黏度 μ0=10?3kg/(s·m)；氣體壓力差?pg=5kPa，液體流量速度Q0=50mL/h，表面張力系數(shù)γ0=7.17×10?2N/m,重力加速度g=9.8m/s2.可得

可見在同軸射流中，重力相對于慣性力以及表面張力均為可忽略的小量.雷諾數(shù)量級為102，當(dāng)液體流量速度或氣體壓力差繼續(xù)增大時，雷諾數(shù)量級可以增大到103.因此，本文不考慮重力以及黏性影響是合理的.

水的電導(dǎo)率為 σw=1.4×10?4S/m，介電常數(shù)εwε0≈ 7.1×10?10C2/(N·m2).可得電松弛時間以及對流運(yùn)動特征時間為

可見電松弛時間相對于對流運(yùn)動特征時間很小.又因內(nèi)層流體為導(dǎo)體，中間層流體為電介質(zhì)，由電磁場知識可知，在軸向電場作用下，電荷有充足時間松弛到內(nèi)層和中間層流體間的界面上并保持平衡狀態(tài).因此，可以認(rèn)為內(nèi)層、中間層及外層流體中不存在體電荷，電荷存在于導(dǎo)體和電介質(zhì)之間的界面(即內(nèi)界面)上.而電荷的這種分布一方面會在最內(nèi)層流體中提供徑向電場，另一方面會和軸向電場相互作用產(chǎn)生切向電應(yīng)力.在不考慮黏性剪切力情況下，該切向電應(yīng)力將孤立存在[16].為此本文假設(shè)模型中自由電荷密度足夠小，以致可以忽略其對射流穩(wěn)定性的影響.

1.2 控制方程及邊界條件

由于假設(shè)流體為不可壓流體，射流滿足連續(xù)性方程為：▽·ui=0.其中i=1,2,3分別表示內(nèi)層、中間層以及最外層流體.因為流動無旋，故可引入速度勢函數(shù)?i

忽略重力，電場力，磁場力以及黏性作用的動量方程為

忽略磁場和體電荷的Maxwell方程為

本文假設(shè)射流處于定常狀態(tài)，故只需對模型提出邊值條件.

(1)射流對稱軸上的擾動量有限以及無窮遠(yuǎn)處的擾動為零其中為速度勢擾動量，為電勢擾動量.

(2)交界面上的運(yùn)動學(xué)邊界條件

假設(shè)擾動后界面i(i=1,2表示界面1,2)離開平衡位置距離為ηi，則因分界面為一個物質(zhì)面，可得

展開上式，去掉二階及二階以上的小量得到線性化后的運(yùn)動學(xué)邊界條件

(3)交界面動力學(xué)邊界條件

界面1上法向應(yīng)力有壓力、電場力以及表面張力，三力滿足平衡關(guān)系

同樣在界面2上有

其中n為界面上法向單位矢量，T為水動力學(xué)張量Th與電應(yīng)力張量Te之和T=Th+Te

其中ε為介電常數(shù)，δ為Kronecker函數(shù).

將Th以及Te代入平衡方程(8)和式(9)得

(4)電場邊界條件

Ei(i=1,2,3)分別表示內(nèi)層、中間層以及外層流體中的電場強(qiáng)度，εi表示介質(zhì)的絕對介電常數(shù)，Di=εiEi表示電位移矢量，qs為界面1上的自由電荷密度，σi為物質(zhì)的電導(dǎo)率，Ji=σiEi表示電流密度.忽略磁場作用，由法拉第感應(yīng)定律得

上式也是電場分量在切向方向連續(xù)的條件.

由高斯定律得

由界面上電流密度連續(xù)條件可得

1.3 基本流場和電場

假設(shè)流動無黏，采用 Kelvin-Helmholtz速度型,Ui(r,θ,z)=(0,0,Uz).

基本電場為軸向均勻電場：Ei=E0ez，i=1,2,3.

2 色散關(guān)系

2.1 線性穩(wěn)定性分析

當(dāng)界面受到任意小擾動時，它們將離開平衡位置發(fā)生微小的位移，新位置可以表示為：ri=Ri+ηi(i=1,2表示界面1和界面2).

內(nèi)層、中間層以及外層流體中，流體速度、壓力、電勢等物理量可以分解成基本量加擾動量的形式式中 uir,uiθ,uiz,pi,Vi,?i分別表示流體 i(i=1,2,3分別表示內(nèi)層、中間層和外層流體)中的徑向速度分量、周向速度分量、軸向速度分量、壓力、電勢以及速度勢.為相應(yīng)物理量的擾動量；Uiz,Pi0,Vi0,Φi,Qis分別表示無擾動情況下的軸向速度分量、壓力、電勢、速度勢、自由電荷密度.

本文采用正則模法處理穩(wěn)定性問題.假設(shè)內(nèi)外界面受到的是任意無限小的擾動.這些擾動相互獨(dú)立，每一個擾動都可以分解成Fourier級數(shù)，寫成擾動量乘以 exp[ωt+i(kz+nθ)]的形式

其中?=ωt+i(kz+nθ).擾動量是r的函數(shù).

其中

將ui代入動量方程(2)得

由式(4)可引入勢函數(shù)Vi：Ei=?▽Vi(i=1,2,3)又由式(3)可得

由式(12)～式(14)得

2.2 色散方程及無量綱化

選擇中間層射流半徑R2，密度ρ2，無擾動速度U2，表面張力系數(shù)γ2以及空氣介電常數(shù)ε3作為特征尺度.設(shè)定無量綱參數(shù)：α=R2k為無量綱波數(shù)；β= ωR2/U2為無量綱復(fù)頻率；ρ12= ρ1/ρ2為內(nèi)層流體與中間層流體密度比；ρ32=ρ3/ρ2為外層流體與中間層流體密度比；U12=U1z/U2z為內(nèi)層流體與中間層流體的速度比；U32=U3z/U2z為外層流體與中間層流體的速度比；a=R1/R2為無擾動時界面1與界面2的位置比；Γ=γ1/γ2為界面1與界面2的張力系數(shù)比；ε13=ε1/ε3為內(nèi)層流體與外層流體的介電常數(shù)比；ε23=ε2/ε3為中間層流體與外層流體的介電常數(shù)比；We= ρ2U22R2/γ2為 Weber數(shù)；Eu= ε3E20/ρ2U22為電Euler數(shù).

將 p1,p2,p3,E1,E2,E3代入動力學(xué)邊界條件(10)和(11)，經(jīng)過運(yùn)算，最終得到無量綱化的色散方程

同時可得擾動后界面偏離平衡位置的距離比

其中φ1?φ2表示界面運(yùn)動的相位差，φ1?φ2=0表示界面同向運(yùn)動，φ1?φ2=π表示界面反向運(yùn)動.

當(dāng)E0=U3z=0時色散方程轉(zhuǎn)化為

此為無黏不帶電同軸射流色散關(guān)系，與李廣濱[26]所得結(jié)果相同.

3 理論結(jié)果

3.1 無量綱參數(shù)的參考值

無量綱色散關(guān)系式(22)是關(guān)于無量綱復(fù)頻率β的四次代數(shù)方程，給定一組(n,α)可得兩對四個復(fù)特征值 β.由 ? =ωt+i(kz+nθ)及 β= ωR2/U2可知，β的實部βr為正值對應(yīng)于射流的不穩(wěn)定狀態(tài).

L′opez-Herrera等[27]以水作為導(dǎo)體以及葵花籽油作為電介質(zhì)開展了同軸ES實驗.相應(yīng)試劑的物理參數(shù)見表1.葵花籽油與空氣之間界面表面張力系數(shù)γ2為 32.8mN/m，葵花籽油與水之間界面張力系數(shù)γ1為16.6mN/m.實驗裝置包括內(nèi)外直徑為200μm和 400μm的內(nèi)部針管以及內(nèi)外直徑為 420μm和800μm的外部針管.這樣內(nèi)層流體為半徑約100μm的圓柱射流，中間層流體為半徑約10μm的環(huán)形射流.作為中間層流體的葵花籽油流速U2≈1m/s，又因R2≈110μm.加在同軸射流上的電壓約為1kV，電極距離約為1cm[19]，可得E0≈105V/m.空氣的絕對介電常數(shù)為 εair=8.85× 10?12C2/(N·m2). 根據(jù)實驗參數(shù)，本文擬設(shè)定無量綱參數(shù)的參考值近似為ρ12=1.19,ρ32=0.001,ε13=80,ε23=3.4,Γ =0.51,a=0.9,U12=1.25,U32=2,We=3,Eu=10?4.

表1 實驗試劑的物理特性Table 1 Physical property of the tested material

3.2 周向波數(shù)的影響

n代表周向波數(shù)，n=0表示軸對稱不穩(wěn)定性，n≥1代表第n類非軸對稱不穩(wěn)定性.由圖2可知在參考狀態(tài)下只存在軸對稱不穩(wěn)定性.為方便，本文主要圍繞軸對稱不穩(wěn)定模態(tài)開展相關(guān)的研究.

圖2 周向波數(shù)n對擾動增長率βr的影響Fig.2 E ff ect of the azimuthal wave number n on the temporal growth rate βrof perturbations

3.3 電歐拉數(shù)的影響

電場對射流穩(wěn)定性影響是通過電歐拉數(shù)Eu來體現(xiàn)的，對色散方程賦不同的Eu，在給定(n,α)情況下得到不同的β.通常會有一至兩個β實部為正，對應(yīng)同軸帶電射流的不穩(wěn)定狀態(tài).色散關(guān)系的曲線存在一個最大擾動軸向波數(shù)及其對應(yīng)的最大擾動增長率：(αmax,βrmax).同時存在若干區(qū)間 (α1,α2)，使得對于任意α∈(α1,α2)，對應(yīng)的擾動增長率實部βr＞0.本文采用李芳[16]的模態(tài)分析法將不穩(wěn)定波數(shù)區(qū)間劃分為不同模態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定性分析.將實部為正的無量綱復(fù)頻率β代入關(guān)系式(23)中發(fā)現(xiàn)κ2并不嚴(yán)格地等于0和π.如圖3所示：相位差約為0的模態(tài)稱為類反對稱模，相位差約為π的部分稱為類對稱模，而相位差隨著軸向波數(shù)不同在0和π之間連續(xù)變化的對應(yīng)過渡模.

圖3 (a)類反對稱模,(b)類對稱模,(c)過渡模Fig.3(a)parasinuous mode,(b)paravaricose mode,(c)transitional mode

當(dāng)Eu≈10?4甚至更小時，存在類反對稱模、類對稱模以及過渡模 3種模態(tài)[16]，所得結(jié)果與文獻(xiàn)[19]所得結(jié)果相近.此時類反對稱模對應(yīng)的擾動增長率顯著大于另兩種模態(tài)的擾動增長率起主導(dǎo)作用.圖4(a)顯示的是Eu＜10?3時的類反對稱模.由圖4(a)可知電歐拉數(shù)Eu從0增長到10?3時，擾動增長率βr變化很小，且擾動增長率βr隨著Eu增大而減小.可見界面電荷密度以及加載軸向電場很小時，軸向電場雖然能夠抑制射流不穩(wěn)定性但其作用較小.司廷等[7]在其單軸射流實驗中研究了電場對射流穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)加載電壓V0從0kV提高到0.5kV時射流破碎長度增大，表明加載電場較小時電場強(qiáng)度的增大有助于抑制射流不穩(wěn)定性.本文結(jié)果與實驗結(jié)論吻合.

當(dāng)Eu在10?3和10?2之間時只出現(xiàn)類反對稱模.此時不同 Eu下 βr與 α關(guān)系如圖 4(b)所示.隨著Eu的增大，最大擾動增長率βrmax減小，即軸向電場的增大對擾動不穩(wěn)定性仍有抑制作用.值得關(guān)注的是，圖4(b)中當(dāng)Eu→0.1時，Eu的變化對最大擾動增長率的影響迅速減小，即?βrmax/?Eu逐漸減小，所以Eu→ 0.1時電場對不穩(wěn)定性的抑制作用減小.而當(dāng)Eu＞0.1時(圖4(c))，最大擾動增長率βrmax顯著變大，且對應(yīng)的最不穩(wěn)定波數(shù)αmax變大，不穩(wěn)定模由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)換.

圖4 電歐拉數(shù)Eu對擾動增長率βr的影響Fig.4 E ff ect of the electric Euler number Eu on the temporal growth rate βr

由上述分析可知在Eu=0.1附近存在臨界點(diǎn)Eu=Ecri，當(dāng)Eu? Ecri時3種不穩(wěn)定模態(tài)共存，類反對稱模起到主導(dǎo)作用；當(dāng)0?Eu＜Ecri時只存在類反對稱模；在這兩種情況中軸向電場對射流的不穩(wěn)定性起到抑制作用.當(dāng)Eu＞Ecri時軸向電場能夠促進(jìn)射流的不穩(wěn)定性.司廷等[7]在其實驗中發(fā)現(xiàn)，加載電場小于0.5kV時能夠抑制射流不穩(wěn)定性，但加載電場大于0.5kV時有助于促進(jìn)射流不穩(wěn)定性.在本文所列參數(shù)下，臨界點(diǎn)Ecri在0.1附近遠(yuǎn)大于實驗中Eu的臨界值.原因在于：一方面理論中忽略了界面上的自由電荷；另一方面當(dāng)電壓較大時非軸對稱運(yùn)動劇烈，破碎的液體會變形、扭曲并進(jìn)一步破碎，這些情況均會導(dǎo)致臨界點(diǎn)Ecri減小.

3.4 外層氣流的影響

外層流體的流速對射流不穩(wěn)定性的影響是通過改變U32來實現(xiàn)，如圖5所示.當(dāng)U32＜10時最外層流體對射流不穩(wěn)定性的影響較??；U32→0時，擾動增長曲線(α,βr)以U32=0時的擾動增長曲線為界，并不斷趨近于此邊界.當(dāng)U32逐漸變大后，最大擾動增長率βrmax增大且射流不穩(wěn)定模態(tài)由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性演化.可見外層流體低速流出時，對射流不穩(wěn)定性影響較?。划?dāng)其以較高流速裹挾同軸射流流出小孔時，更易使射流破碎.這類似于帶電單軸射流情況中最外層氣流流速對射流不穩(wěn)定性的影響[25].

圖5 外層流體與中間層流體流速比U32對增長率βr的影響Fig.5 E ff ect of the velocity ratio U32between the outer layer fl uid and middle layer fl uid on the growth rate βr

比較圖4(c)及圖5發(fā)現(xiàn)，不同Eu下射流擾動規(guī)律與不同U32下射流擾動規(guī)律相似：長波區(qū)域(α,βr)呈線性關(guān)系；在短波區(qū)域Eu及U32對射流的不穩(wěn)定性影響顯著.Eu及U32對帶電同軸射流的影響主要體現(xiàn)在短波區(qū)域.相較而言射流不穩(wěn)定性更依賴于Eu的變化，但由于實驗條件限制加載較高Eu不切實際，故通過提高外層氣流速度更方便控制射流不穩(wěn)定性.實驗中，往往通過改變氣體壓力差?pg來控制流速u3.定常狀態(tài)下忽略重力對射流的影響，由伯努利方程得：.司廷等[11]在研究單軸流動聚焦時發(fā)現(xiàn)，氣體壓力差?pg對液體射流的形態(tài)影響較大，隨著?pg的增大，在頻閃燈下，實驗圖像表明擾動波長λ不斷減小，振幅不斷變大.李廣濱[26]在研究帶電單軸射流以及不帶電同軸射流的過程中發(fā)現(xiàn)，隨著?pg增大，射流內(nèi)外徑減小，液體射流穩(wěn)定性越差，擾動由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性過渡.本文結(jié)果與上述結(jié)論相符.

3.5 同軸射流速度比的影響

同軸射流內(nèi)層流體與中間層流體之間的速度比由U12表示隨著U12變化同軸射流速度比對穩(wěn)定性的影響可分為3個階段.

內(nèi)層流體流速相對于中間層流體流速很小時，即當(dāng)U12較小時，如圖6(a)所示，擾動增長曲線有兩種模態(tài)：在長波區(qū)存在類對稱模(左峰)，短波區(qū)存在過渡模(右峰)，此時最大擾動增長率βrmax往往出現(xiàn)在短波區(qū)域，過渡模起到主導(dǎo)作用.βrmax隨著內(nèi)層射流流速增大而減小，類對稱模逐漸起到主導(dǎo)作用.

內(nèi)層流體流速與中間層流體流速比進(jìn)一步增大，當(dāng)U12～1時只出現(xiàn)類反對稱模.如圖6(b)，U12變化并未對最大擾動增長率和不穩(wěn)定波長區(qū)間產(chǎn)生較大影響，其影響主要在長波區(qū).可見同軸射流內(nèi)外層流體流速相差較小時，也即同軸射流內(nèi)外層流體壓力差較小時，壓力差的變化對射流穩(wěn)定性影響較小.

圖6 同軸射流間速度比U12對增長率βr的影響Fig.6 E ff ect of the velocity ratio U12between the coaxial jet on the growth rate βr

圖6 同軸射流間速度比U12對增長率βr的影響(續(xù))Fig.6 E ff ect of the velocity ratio U12between the coaxial jet on the growth rate βr(continued)

當(dāng)內(nèi)層流體流速相對于中間層流體流速較大時(U12＞1)，在長波區(qū)出現(xiàn)類對稱模，短波區(qū)出現(xiàn)過渡模.如圖6(c)所示，隨著流速U12的增大，過渡模的影響愈來愈顯著，最大擾動增長率βrmax變大，射流不穩(wěn)定性由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化.

可見內(nèi)外層同軸射流流速相差較大時，存在兩個不穩(wěn)定模態(tài)，隨著流速差減小，雙模中過渡模的作用衰減，類對稱模不穩(wěn)定作用凸顯.當(dāng)內(nèi)層以及中間層同軸射流流速差較小時僅存在類對稱模.隨著流速差增大，射流不穩(wěn)定由長波不穩(wěn)定性向短波不穩(wěn)定性過度，最大擾動增長率βrmax增大，射流不穩(wěn)定越明顯.

3.6 表面張力的影響

當(dāng)同軸射流實驗針頭內(nèi)外徑以及實驗材料確定時，兩層界面之間We1與We的關(guān)系只依賴于射流流速U12的大小.上文已研究了同軸射流速度比對射流不穩(wěn)定性的影響，在此我們僅討論界面2上表面張力的影響，即考慮不同We下增長率βr的變化.

圖7 韋伯?dāng)?shù)We對增長率βr的影響Fig.7 E ff ect of the Weber number We on the growth rate βr

如圖7(a)所示，當(dāng)We≤1時存在類反對稱模以及類對稱模，兩種模的不穩(wěn)定波數(shù)區(qū)間相近，但前者起到主導(dǎo)作用.當(dāng)We＞1時，只存在類反對稱模，此時不同We數(shù)下(α,βr)關(guān)系如圖7(b)所示.隨著We不斷增大，表面張力作用逐漸減弱，擾動增長率βr逐漸減小，射流軸對稱不穩(wěn)定性被抑制.說明表面張力對時間不穩(wěn)定性起到促進(jìn)作用，這與單軸情況[25]波數(shù)α＜1時的結(jié)果相同.

4 結(jié)論

通過對氣體驅(qū)動同軸電流動聚焦的實驗?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行簡化，構(gòu)建了三層流體帶電射流物理模型.利用正則模方法研究射流不穩(wěn)定性，得到解析形式的色散方程.數(shù)值求解色散方程，分析了電歐拉數(shù)Eu，外層氣流流速U32，同軸射流速度比U12，韋伯?dāng)?shù)We等控制參數(shù)對射流穩(wěn)定性的影響.得到如下結(jié)果：

(1)軸向電場對射流不穩(wěn)定性具有雙重影響.電場強(qiáng)度存在臨界值Ecri，當(dāng)電場小于臨界值Ecri時，軸向電場能抑制射流的不穩(wěn)定性；當(dāng)電場大于臨界值Ecri時，軸向電場會大幅增強(qiáng)射流不穩(wěn)定性.臨界值Ecri的大小與界面自由電荷密度以及射流表面擾動發(fā)展關(guān)系有關(guān)；

(2)氣體壓力差?pg增大，外層氣體射流流速提高，慣性力變大，能夠促進(jìn)短波區(qū)域射流不穩(wěn)定性，但對長波區(qū)域穩(wěn)定性影響有限.此結(jié)論與實驗現(xiàn)象及單軸情況下相應(yīng)結(jié)果吻合；

(3)同軸射流流速差越大，不穩(wěn)定性越顯著，過渡模主導(dǎo)作用越強(qiáng).流速差由大向小過渡時類對稱模的不穩(wěn)定性逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位.當(dāng)最內(nèi)層以及中間層同軸射流流速相差很小時，只存在類反對稱模，此時流速差變化對射流不穩(wěn)定性幾乎無影響；

(4)表面張力對射流不穩(wěn)定性起到促進(jìn)作用，與單軸情況所得結(jié)論相同.

下一步我們將嘗試?yán)梅€(wěn)定性分析方法，研究黏性情況下各物理參數(shù)特別是Re對射流不穩(wěn)定性的影響，并探討實驗中觀察到的各種現(xiàn)象的物理機(jī)制.

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INSTABILITY STUDY OF AN ELECTRIFIED COAXIAL JET IN A COFLOWING GAS STREAM1)

Li Shuaibing Yang Rui Luo Xisheng Si Ting2)
(Department of Modern Mechanics，University of Science and Technology of China，Hefei 230027，China)

Instability study of electri fi ed coaxial jet coupling the electric and inertial forces is performed based on the simpli fi ed experimental model of gas-driven coaxial electro- fl ow focusing.Under the assumption that the fl uids are inviscid,incompressible and irrotational,a triple-layer electri fi ed fl uid jet model is established and an analytical dispersion relation in the temporal regime is obtained.The dispersion equation is solved by the normal mode method,the unstable modesofthe fl owarecalculatedand thee ff ectsof mainly controllable parameterson the unstable modes areanalyzed.The results indicate that the axisymmetric mode dominates the complete fl ow as the maximum growth rate of the axisymmetric modeisthelargestamongallunstablemodes.Asthevelocityofoutergasstreamincreases,theinertialforcecande fi nitely promote the jet instability.The jet will become more unstable as the velocity di ff erence between the inner and outer liquid jets increases.The surface tension also promotes the jet instability.The axial electric fi eld has two-fold in fl uence on the axisymmetric jet instabilities.There is a critical value for the axial electric voltage which is related to the free electric charge density at the interface and the perturbation propagations on the jet surfaces.The applied axial electric fi eld can suppress the jet instability when its intensity is smaller than the critical value;otherwise,the applied axial electric fi eld can promote jet instability.These results are in good agreement with the existing experimental results and can provide guidance on the process control of experiments.

coaxial jet,electri fi ed jet,electro- fl ow focusing,jet instability,process control

O361.5

A

10.6052/0459-1879-17-082

2017–03–12收稿，2017–05–26 錄用,2017–06–05 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(11472270,81327803,11621202)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項資金資助項目.

2)司廷，特任教授，研究方向：實驗流體力學(xué)、微納尺度流動、流動穩(wěn)定性.E-mail:tsi@ustc.edu.cn

李帥兵,楊睿,羅喜勝,司廷.氣流作用下同軸帶電射流的不穩(wěn)定性研究.力學(xué)學(xué)報,2017,49(5):997-1007

Li Shuaibing,Yang Rui,Luo Xisheng,Si Ting.Instability study of an electri fi ed coaxial jet in a co fl owing gas stream.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):997-1007