趙麗芳

【摘 要】一年級新生入學(xué)前已經(jīng)接受過對數(shù)的認識教育，存在著“早、快、多”的教育“搶跑”現(xiàn)象，但現(xiàn)行教材編排意圖是“零起點”學(xué)習(xí)，很多家長與一線教師在“感性經(jīng)驗”上覺得教材安排不合理，不應(yīng)該“零起點”。但通過相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對數(shù)概念有一定的積累，但還是不系統(tǒng)、不全面，還需要教師有針對性地、深入地讓學(xué)生掌握數(shù)概念。

【關(guān)鍵詞】零起點 新生 數(shù)概念

兒童數(shù)概念的發(fā)展體現(xiàn)著兒童從具體形象思維逐漸向抽象思維的過渡，這不僅是兒童思維能力發(fā)展變化的重要方面，也是兒童思維發(fā)展成熟的一個顯著標志。而在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)的認識不僅是整個數(shù)學(xué)教學(xué)的開端，而且也是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，換句話說數(shù)概念是整座數(shù)學(xué)大廈的根基。因此，在數(shù)概念的具體教學(xué)中，教師應(yīng)該幫助學(xué)生將數(shù)從具體形象的數(shù)量中抽離出來，從而感悟到數(shù)的本質(zhì)。

一、調(diào)查背景

國內(nèi)學(xué)者林崇德（1982）在研究中提出0～7歲兒童對數(shù)概念的掌握一般包括：計數(shù)前感知水平、口頭數(shù)數(shù)水平、給物數(shù)數(shù)水平、按數(shù)取物水平和掌握數(shù)的概念的水平。根據(jù)著名心理學(xué)家皮亞杰對個體認知發(fā)展階段的劃分，小學(xué)階段兒童的認知發(fā)展水平已經(jīng)進入具體運算階段，并且形成了數(shù)量守恒的概念，這些認知能力的發(fā)展有助于小學(xué)兒童對數(shù)字進行排序分類等，都將促進他們對數(shù)概念的進一步掌握。

筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)概念最基礎(chǔ)的就是10以內(nèi)數(shù)的認識，在新生第一學(xué)期就有半個多學(xué)期學(xué)習(xí)兩個單元近70頁這方面的內(nèi)容，教材的編排意圖是“零起點”背景下教學(xué)。而在筆者對一線教師所做的調(diào)查“你認為學(xué)生在上小學(xué)前對數(shù)有哪些認識？”中，79%的教師認為：現(xiàn)在孩子入學(xué)前無論是知識層面還是能力層面對數(shù)都有一定的認識，都不是零起點。他們認為教材安排顯然是不合理的。在對80個一年級新生家長做的調(diào)查中，有15%的家長認為學(xué)前教育已經(jīng)很不錯了，還有3個家長說100以內(nèi)的加減已經(jīng)很熟練，那么學(xué)生在第一學(xué)期該學(xué)什么呢？

兒童在學(xué)前教育和日常生活中已經(jīng)對10以內(nèi)數(shù)的概念有了初步認識，但是在現(xiàn)實中存在著“早、快、多”的教育“搶跑”現(xiàn)象，學(xué)生對于數(shù)概念具體某些方面依舊存在著各種問題。因此筆者試圖通過采用筆試和口試兩種方法來比較精確地了解學(xué)生頭腦中存在的原有關(guān)于數(shù)的概念的圖式和結(jié)構(gòu)，以此來幫助小學(xué)階段的兒童在廣度、深度、準確度和熟練度等方面進一步掌握數(shù)的概念，一線教師要從“感性的直覺”變?yōu)椤袄硇缘姆治觥薄?/p>

【調(diào)查對象】

以隨機抽樣的方式分別抽取了來自城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)和農(nóng)村的入學(xué)時間為一周的一年級新生，共141人。

【調(diào)查過程設(shè)計】

本次調(diào)查具體分為筆試與口試兩個過程，兩個過程均由學(xué)生單獨完成。

筆試部分主要是讓學(xué)生書寫“0～9”共10個數(shù)字，調(diào)查者在課桌旁觀察學(xué)生書寫10個數(shù)字的順序及握筆姿勢?？谠嚥糠钟烧{(diào)查者根據(jù)預(yù)編試題在教師辦公室對學(xué)生單獨施測。此外，為了使整個調(diào)查結(jié)果能準確反映學(xué)生獨立解決問題的真實情況，調(diào)查者在筆試和口試過程中均遵循統(tǒng)一的指導(dǎo)語要求，只對相關(guān)問題進行必要的文字說明。

二、調(diào)查內(nèi)容

（一）口試部分

根據(jù)林崇德提出的兒童數(shù)概念的發(fā)展水平，筆者針對一年級新生編制如下有關(guān)口試部分試題。

口試部分試題：

[水平層次 主要標準 前測題 前測方式 口頭數(shù)數(shù)水平 水平1：能從1開始連串數(shù)，但數(shù)與對象無法一一對應(yīng)

水平2：數(shù)與對象可以一一對應(yīng)

水平3：從指定數(shù)倒數(shù)

水平4：會幾個幾個地群數(shù)，能用數(shù)數(shù)幫助運算 1.數(shù)出桌面上棋子的數(shù)量（9顆）

2.相鄰數(shù)數(shù)：4（8）前面/后面的數(shù)字是幾

3.倒數(shù)：從9（12）數(shù)到2

4.2個2個地數(shù)；3個3個地數(shù) 一對一訪談 給物數(shù)數(shù)水平 水平1：能從1開始指著對象一一對應(yīng)數(shù)

水平2：能幾個幾個數(shù)，最終數(shù)出總顆數(shù)，但仍是按物點數(shù)

水平3：直接報總顆數(shù) 數(shù)出桌上散亂棋子的顆數(shù)（9顆） 按數(shù)取物水平 水平1：能說出3所表示的含義，不能區(qū)分基數(shù)與序數(shù)

水平2：能區(qū)分基數(shù)與序數(shù)，不能說出3所表示的含義

水平3：能說出3所表示的含義，且能區(qū)分基數(shù)與序數(shù) 桌上擺9顆棋子

要求：指出第3（5）顆與3（6）顆，并說出3表示的具體含義 掌握數(shù)的概念水平 水平1：能掌握一種組合方法

水平2：能掌握多種組合方法但無序

水平3：能掌握所有組合方法但無序

水平4：能掌握所有組合方法且有序 擺出8顆棋子

要求：把8顆棋子分成任意2堆，你有幾種方法 ]

調(diào)查結(jié)果：

[水平層次 達標百分比 典型表現(xiàn) 口頭數(shù)數(shù)水平 水平1：100%

水平2：5%

水平3：5%

水平4：10% 1.唱數(shù)水平高，群數(shù)水平低

2.不能理解“相鄰”“前后”意思 給物數(shù)數(shù)水平 水平1： 100%

水平2： 50%

水平3： 25% 數(shù)和物體能一一對應(yīng)，但仍是按物點數(shù) 按數(shù)取物水平 水平1：83%

水平2：21%

水平3：5% 不能正確理解序數(shù)的意義，仍用基數(shù)的意義來回答。學(xué)生對數(shù)含義停留在具體形象思維階段 掌握數(shù)的概念水平 水平1：100%

水平2：80%

水平3：54%

水平4：12% 能在具體情境中將數(shù)組合，但大部分學(xué)生采用無序的組合方式 ]

（二）筆試部分

（觀察筆順、握筆姿勢）

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

結(jié)果顯示，在書寫順序方面，書寫數(shù)字順序的整體正確通過率比較高，表明大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了“0～9”這10個數(shù)字的書寫順序。但是如“0”和“8”封閉圖形的數(shù)字以及如“5”和“4”筆畫為兩筆的數(shù)字的通過率明顯較低。而在握筆姿勢方面，大部分學(xué)生的握筆姿勢是錯誤的，主要表現(xiàn)在握筆力度太大，握筆的位置錯誤等方面。

三、成因分析

（一）大部分學(xué)生已經(jīng)具備了初步的數(shù)感，數(shù)數(shù)能力有所區(qū)分

從口頭數(shù)數(shù)來看，大部分學(xué)生是“按物點數(shù)”，只有部分學(xué)生會“群數(shù)”。好多學(xué)生不懂“相鄰”的概念，更是分不清“前”“后”。前測中有95%的學(xué)生“前”“后”是顛倒的，而且學(xué)生根本不知道自己錯了，如果我們舉例子告知什么是前、后，學(xué)生幾乎都能正確解答。這表明兒童在入學(xué)前，大多數(shù)已經(jīng)學(xué)會了簡單的數(shù)數(shù)，有了初步的數(shù)概念，但“以群計數(shù)”、倒數(shù)的能力還比較弱，由此反映出對數(shù)數(shù)能力培養(yǎng)需要重視，不能死記硬背，需要在操作中積累經(jīng)驗，讓學(xué)生不僅會順、倒數(shù)，還會2個2個、5個5個等“以群計數(shù)”。同時教師在教學(xué)方位這單元，需要重點教學(xué)“前”“后”的概念，在教學(xué)中借助實際問題不斷加強對“前”“后”概念的認識。

（二）學(xué)前兒童對數(shù)概念的經(jīng)驗有所積累，但有差異

從訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于基數(shù)的經(jīng)驗積累比較豐富，不僅能數(shù)對棋子的顆數(shù)，而且當問“6能表示什么”的時候，他們都能用基數(shù)意義來回答，如6本書、6名男生等，沒有用序數(shù)的意義來說明。在前測中，請學(xué)生找出“第6顆”棋子并說出6的含義時，只有5%的學(xué)生可以正確回答。看來對序數(shù)的認識對學(xué)生來說比基數(shù)要困難。而序數(shù)放在“0～5”的后面，以基數(shù)的含義為基礎(chǔ)，在豐富的現(xiàn)實背景和實際操作活動中，把學(xué)生的活動提升為“序數(shù)”概念。在學(xué)習(xí)中提供豐富的“序數(shù)”資源，讓學(xué)生充分感知，并能與基數(shù)進行區(qū)別。讓學(xué)生能逐漸清楚地區(qū)分第幾和幾個，也就有了“數(shù)感”的最初意識。

（三）數(shù)字書寫不錯，但復(fù)雜的筆畫（2筆）需要關(guān)注

從總體上看，小學(xué)低段學(xué)生的各種認知能力正處于迅速發(fā)展階段。如在感覺和知覺方面，低段學(xué)生在感知事物時往往是籠統(tǒng)的，對信息的加工處理也是不夠精細的，尤其是表現(xiàn)在空間知覺方面。如在筆試測試中學(xué)生往往會產(chǎn)生把上、下、左、右位置搞錯（3寫成“ ”）的現(xiàn)象。在對錯誤握筆姿勢和書寫順序的訪談中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生在學(xué)前階段接受過繪畫學(xué)習(xí)，導(dǎo)致負遷移到寫數(shù)字時依舊保持著握蠟筆的姿勢。他們與其說書寫數(shù)字，還不如說是進行數(shù)字繪畫。

四、教學(xué)對策

（一）避免進入“數(shù)數(shù)”誤區(qū)

大部分一年級新生家長認為學(xué)生在入學(xué)前已經(jīng)掌握了9以內(nèi)的數(shù)，然而實際上大部分一年級新生對數(shù)的理解僅僅是停留在表面水平，是缺乏深度的?？此坪唵蔚?以內(nèi)的數(shù)數(shù)，其實包括了順數(shù)、倒數(shù)、基數(shù)、序數(shù)、按群數(shù)等方面。學(xué)生不同的數(shù)數(shù)方式實質(zhì)上是不同思維方式的體現(xiàn)，如相對采用一個一個數(shù)數(shù)方式的學(xué)生，采用兩個兩個數(shù)數(shù)方式的學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)中已經(jīng)初步具備群的概念。此外，“數(shù)數(shù)”活動還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如按點數(shù)的方式實際上運用了一一對應(yīng)的原則。這種原則在數(shù)學(xué)中是很重要的數(shù)學(xué)思想，它能夠建立起事物與事物之間的對應(yīng)關(guān)系。

（二）經(jīng)歷數(shù)概念形成的過程

教材對學(xué)生數(shù)概念產(chǎn)生形成的過程越來越重視。這個過程分兩個層次：①引導(dǎo)學(xué)生理解自然數(shù)所表示的基數(shù)意義（重點認識“1”）。在“1”的三個層次認識中，學(xué)生能夠把具體實物與自然數(shù)一一建立，又能用具體事物來表示數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷“具體—抽象—具體”的過程。②引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生動的畫面按照數(shù)數(shù)—認識數(shù)字—數(shù)的順序—比較相鄰兩個數(shù)之間的大小—序數(shù)—寫數(shù)—數(shù)的組成的順序認識“6～9”各數(shù)。這個過程不僅為學(xué)生提供了豐富的表象支撐，而且也為數(shù)概念的形成創(chuàng)造了情境和機會。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠在現(xiàn)實背景中抽象出9個數(shù)的概念，從而形成相應(yīng)的數(shù)感和符號意識，抽象出數(shù)又能具體表示出數(shù)（如右圖）。在教學(xué)中還需要重視“基數(shù)”與“序數(shù)”概念的比較，在訪談中只有5%的學(xué)生能完全區(qū)分，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會根據(jù)具體的問題情境來確定。要有意識地讓學(xué)生在正確理解的基礎(chǔ)上加強對比練習(xí)。

（三）重視“齊性”“結(jié)構(gòu)化”的直觀學(xué)具的價值

齊性是指每一種材料的物理特征都是相同的，并且所表示的意義也相同。自然數(shù)概念的形成不單單依靠外在教育力量，更多的是學(xué)生在實際操作中主動感悟、體驗而掌握的。因此教師在教學(xué)中為學(xué)生提供可操作的、直觀化的材料具有重要意義。我們的教材中在數(shù)概念部分運用最多的教具是小棒、計數(shù)器、點子圖、直尺，相對于糖果等教具，小棒、計數(shù)器等教具不會分散學(xué)生的注意力，且有利于學(xué)生抽象出“數(shù)量”的意義。如點子圖不僅有利于學(xué)生對數(shù)意義的理解，而且有利于學(xué)生在潛移默化中逐漸掌握加減的意義。此外，在學(xué)前調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生“前面、后面”的錯誤率高達89%，但是通過借助動態(tài)撥珠、直尺圖、跳格子圖等教具可以幫助學(xué)生加深對“前面、后面”的理解，五個一種顏色的計數(shù)框架還利于學(xué)生對加法的理解（見下圖，如數(shù)7，學(xué)生能快速先撥5個再撥2個，而不需要一個個撥）。小棒、計數(shù)器在各種教材都從“1”就出現(xiàn)，只是2011年版更加生動、有針對性。我們在教學(xué)時要充分重視利用這些直觀、“齊性”的學(xué)具，使學(xué)生在操作中理解抽象的“數(shù)位”，進而理解用印度—阿拉伯十進位值制記數(shù)法表示的自然數(shù)。

（四）彈性安排課時，開展數(shù)學(xué)“思維1+”活動

由于個體在成長過程中受遺傳和環(huán)境因素的交互影響，因此同一年齡階段、不同的地區(qū)的不同個體在智力表現(xiàn)上也會有所差異，如在智力表現(xiàn)早晚方面，有的“早慧”，有的“大器晚成”；在智力結(jié)構(gòu)方面，有的擅長形象思維，而有的在理性思維方面占有優(yōu)勢。此外，數(shù)學(xué)和游戲是相互滲透和相互統(tǒng)一的，以游戲為載體的教學(xué)方式，在一年級的數(shù)學(xué)課堂中是符合學(xué)生認知發(fā)展特點的。因此在實際教學(xué)中，教學(xué)者要根據(jù)本班的學(xué)生對數(shù)概念的理解實際，彈性安排課時。如果學(xué)生基礎(chǔ)比較好，可以在每周上好常規(guī)數(shù)學(xué)課的同時根據(jù)不同學(xué)生的思維特點安排相應(yīng)數(shù)學(xué)游戲課來拓展學(xué)生的思維，一般包括數(shù)學(xué)繪本、數(shù)獨、魔方等豐富的思維拓展課程。

總之，學(xué)生對數(shù)概念有一定的積累，但還是不系統(tǒng)、不全面，“零起點”教學(xué)也不是盲目地從“零”開始，而是需要我們在了解學(xué)生實際情況后，設(shè)計符合這個年齡段身心及認知發(fā)展規(guī)律的內(nèi)容，讓學(xué)生有針對性地、深入地學(xué)習(xí)數(shù)概念，真正開始學(xué)數(shù)學(xué)的新篇章。

參考文獻：

[1] 周欣.兒童數(shù)概念的早期發(fā)展[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2004.

[2] 林崇德. 小學(xué)兒童數(shù)概念與運算能力發(fā)展的研究[J].心理學(xué)報，1981（3）.

[ （注：本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）]

（浙江省杭州江南實驗學(xué)校 310000）