江蘇省泰州市姜堰中學(xué)(225300) 王立振

構(gòu)建解題思路 反思課堂教學(xué)—一類二元變量證明題的解題策略

江蘇省泰州市姜堰中學(xué)(225300) 王立振

1、前言

當(dāng)下,高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最大的困難是不知如何解題、怎樣解題,數(shù)學(xué)概念基本能聽懂,習(xí)題課的效果也不錯(cuò),但是學(xué)生一旦自己動(dòng)手解題時(shí),往往就束手無(wú)策,不知從何入手,導(dǎo)致功夫沒少下,效果并不佳的情況,從而喪失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力.

著名數(shù)學(xué)家波利亞解題理論告訴我們——解題要做“七分構(gòu)思”(讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納),“三分表達(dá)”(書寫、運(yùn)算、訂正、反思與回顧).高三復(fù)習(xí)教學(xué)無(wú)外乎就是教會(huì)學(xué)生如何解題、怎樣解題及課后的自我整理消化.不只是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地把一道題目講清楚講明白,而是教會(huì)學(xué)生如何構(gòu)建條件與目標(biāo)之間的關(guān)系,并引導(dǎo)學(xué)生在課后進(jìn)行自我消化與總結(jié),這才是高三復(fù)習(xí)教學(xué)的重中之重.

2、難在何處

二元變量的證明問(wèn)題在每年的全國(guó)各地的大型考試、模擬試卷甚至高考試卷都出現(xiàn)過(guò).學(xué)生心有余悸的二元變量證明題到底“難”在何處?一般來(lái)說(shuō),一是難在證明形式的復(fù)雜(2016屆陜西師大附中高三下第十次模擬文科試題);二是難在無(wú)從下手(2016屆安徽六安一中高三下模擬四理科試題);三是難在知識(shí)與方法的綜合(2015-2016學(xué)年江蘇如皋中學(xué)高二下月考試).

3、賞析解題策略

例1 已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,證明:當(dāng)a＜?1時(shí),對(duì)任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有|f(x1)?f(x2)|+4|x1?x2|≥0.

策略1 從目標(biāo)結(jié)構(gòu)出發(fā),轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性的證明.如果我們單純從結(jié)論出發(fā),求|f(x1)?f(x2)|+4|x1?x2|的最小值恒大于等于零.首先討論x1,x2的大小關(guān)系,去掉絕對(duì)值,再求含有兩個(gè)變量的表達(dá)式最小值,且表達(dá)式較為復(fù)雜,可想而知這樣的解題是繁瑣的.那么有無(wú)簡(jiǎn)化的可能?該如何簡(jiǎn)化解題?事實(shí)上,我們觀察不等式的結(jié)構(gòu)可以發(fā)現(xiàn),含有x1的多項(xiàng)式中只有x1,x2,也是一樣的.可將含有x1,x2的多項(xiàng)式左右分離,分別置于不等號(hào)的左右兩邊,再利用新函數(shù)的單調(diào)性就可證明.

解析因?yàn)閍＜?1,所以對(duì)于x∈(0,+∞),f′(x)＜0,有f(x)單減.不妨設(shè)0＜x1＜x2,

轉(zhuǎn)化為

令g(x)=f(x)?4x,當(dāng)0＜x1＜x2時(shí),有g(shù)(x2)≥g(x1),則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單減.即證明g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)在(0,+∞)恒有

因?yàn)閍＜?1,x＞0,所以有則有?x∈(0,+∞),g′(x)≤0,故結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)將不等式進(jìn)行變形后,使得含有x1,x2式子分別置于不等式的左邊和右邊,形如:g(x1)＜g(x1).從而將兩個(gè)變量的不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)單調(diào)性的證明問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為學(xué)生易知、易求的問(wèn)題.

例2 已知函數(shù)f(x)=xlnx,證明,對(duì)于任意的x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)+f(x2)+x1+x2＞f(x1+x2).

策略2 從變量形式出發(fā),轉(zhuǎn)化為一元變量的恒成立問(wèn)題.從目標(biāo)中變量所給的形式出發(fā),若二元變量可通過(guò)適當(dāng)變形,使得x1,x2都以的整體形式出現(xiàn),那么我們可以通過(guò)整體換元,達(dá)到減元的目的,起到減少變量的效果.

解析將不等式進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化:

不等式兩邊同時(shí)除以x2,可得

令函數(shù)

其導(dǎo)函數(shù)

令h′(t)=0,易知存在t0,有

且h(t)在(0,t0)單調(diào)減,(t0,+∞)單調(diào)增.則有

點(diǎn)評(píng)改變思考問(wèn)題的角度.通過(guò)對(duì)不等式的變形和轉(zhuǎn)化,不等式中兩個(gè)變量都是的形式出現(xiàn),將整體換元,從而將二元變量的不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元變量的恒成立問(wèn)題,使難解的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,熟悉化.

策略3 從變量個(gè)數(shù)出發(fā),變量轉(zhuǎn)參數(shù)構(gòu)造新函數(shù).

有多元變量不等式的證明問(wèn)題,即有兩個(gè)變量且變量間沒有內(nèi)在的聯(lián)系.如果我們從變量個(gè)數(shù)出發(fā),把x2看成變量x,x1看成參數(shù),這樣不僅減少變量的個(gè)數(shù),而且轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的、易入手的一元變量的不等式問(wèn)題.

解析1 將參數(shù)x2變?yōu)槲粗獢?shù)x,記

其導(dǎo)函數(shù)

令f′(x0)=0,存在

使得f(x)在(0,x0)單調(diào)減,在(x0,+∞)單調(diào)減.所以

有?x2∈D,f(x2)＞0,易知

即結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)將不等式中x2轉(zhuǎn)化為變量x,x1看作參數(shù),使得上述不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化含有一個(gè)變量不等式恒大于零的問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值,即可得證.而解題的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)換參數(shù)與變量的角色.(構(gòu)造的新函數(shù)不唯一,本題還可有如下構(gòu)造)

解析2 當(dāng)x1=x2時(shí),結(jié)論顯然成立,否則不妨設(shè)0＜x1＜x2,設(shè)

當(dāng)0＜x＜x1時(shí),F′(x)＜0,F(x)在(0,x1)上為減函數(shù),當(dāng)x＞x1時(shí),F′(x)＞0,F(x)在(x1,+∞)上為增函數(shù),則有

當(dāng)x2＞x1時(shí),有

化簡(jiǎn)可得:

即

故結(jié)論成立.

解析3 對(duì)于m＞0,令F(x)=f(x)+f(m?x),0＜x＜m,則當(dāng)即F′(x)＜0時(shí),F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,當(dāng)即F′(x)＞0時(shí),F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增;因而對(duì)所有的0＜x＜m,都有即

取x=x1,m?x=x2,得

故有

結(jié)論成立.

一種漂亮解法的得出,需要我們對(duì)以往思路構(gòu)思及經(jīng)驗(yàn)的不斷總結(jié),更需要我們對(duì)問(wèn)題有更深層的剖析.

4、教學(xué)啟示

任何數(shù)學(xué)問(wèn)題都存在于某類問(wèn)題的共性之中,利用數(shù)學(xué)中這種共性結(jié)果處理數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的困難.通過(guò)這類題目解法及其分析可知,這類題目思維角度較小,解題方法固化,所用知識(shí)也是常規(guī)的,但學(xué)生做題還是問(wèn)題不斷,漏洞百出.在平時(shí)教學(xué)中我們需要多關(guān)注的是什么呢?

4.1 解題應(yīng)以“構(gòu)思”為綱

在現(xiàn)代任職心理學(xué)中,人的任職活動(dòng)并非是對(duì)外部世界的簡(jiǎn)單被動(dòng)的反映,而是一個(gè)主體在其中發(fā)揮主觀積極能動(dòng)性的過(guò)程.因此,高三復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)不應(yīng)看成教師教授知識(shí),學(xué)生被動(dòng)接受,而是啟發(fā)學(xué)生在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上,主動(dòng)構(gòu)建解題思路的過(guò)程.教師可根據(jù)每節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容不同,尋找一個(gè)引發(fā)問(wèn)題的“生長(zhǎng)點(diǎn)”,啟發(fā)學(xué)生,積極構(gòu)思,培養(yǎng)學(xué)生勤于思考,善于構(gòu)思的習(xí)慣,使學(xué)生具有悟性.

4.2 課堂教學(xué)應(yīng)以“反思”為魂

反思是什么?反思就是在解決完一道數(shù)學(xué)題后還需認(rèn)真進(jìn)行如下的探索:該題的命題意圖是什么?考查了哪些基本知識(shí)和基本方法?解題過(guò)程是否合理、是否完善?有無(wú)其他解法?該題的解法是否具有一般性(即舉一反三、一題多變、一題多解)?以上的思考就是教學(xué)反思.教學(xué)反思有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性,提高思維的靈活性,最終幫助學(xué)生提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,從而真正實(shí)現(xiàn)羅增儒老師倡導(dǎo)的“通過(guò)有限典型例題的學(xué)習(xí)領(lǐng)悟解無(wú)數(shù)道題的數(shù)學(xué)機(jī)智”.