廣東省陽春市第一中學(xué)(529600) 吳英穎

函數(shù)的性質(zhì)如何自然地教學(xué)

廣東省陽春市第一中學(xué)(529600) 吳英穎

1.緒論

1.1 問題的提出

高中函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性)對學(xué)生來說是個(gè)全新的概念,學(xué)生在學(xué)習(xí)該性質(zhì)時(shí)感覺從天上掉下一個(gè)概念的感覺,難以理解,更談不上靈活應(yīng)用.

為幫助學(xué)生透徹理解并掌握所學(xué)的概念,關(guān)鍵的問題是不僅要讓學(xué)生知道一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容,更要讓學(xué)生知道為什么要學(xué)這個(gè)內(nèi)容,由“知其然”發(fā)展到“知其所以然”.即使是教師直接告訴學(xué)生課題內(nèi)容,也要作出充分的鋪墊,使得學(xué)生覺得這個(gè)時(shí)候?qū)W習(xí)這個(gè)內(nèi)容是應(yīng)該的,自然而然的.

1.2 函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)現(xiàn)狀

在進(jìn)行高中函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)時(shí),我們都明白函數(shù)圖象是性質(zhì)的突破口,因?yàn)樗菍瘮?shù)性態(tài)的直觀表述.所以很多教師都利用圖象來引入新課,從而得出函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.但由于函數(shù)性質(zhì)概念的抽象性和復(fù)雜性,大部分學(xué)生往往只能通過圖象簡單地體會(huì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性等性質(zhì)的存在,只是被動(dòng)地接受教材和老師所講解的性質(zhì)和概念定義,并沒很好地理解為什么概念要這樣定義,為什么會(huì)有這樣的性質(zhì),這些性質(zhì)如何應(yīng)用.

1.3 本文將要研究的問題

首先,通過文獻(xiàn)分析,闡述了數(shù)學(xué)概念及其特征、分類;探究概念學(xué)習(xí)的方式及其學(xué)習(xí)心理過程;基于概念學(xué)習(xí)的心理過程和數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)對數(shù)學(xué)概念的形成式、同化式、問題引申式進(jìn)行解讀;并對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略進(jìn)行探究.

其次,通過文獻(xiàn)從學(xué)習(xí)的角度分析了函數(shù)性質(zhì)概念的特點(diǎn)及學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的階段性對學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)造成的困難;研讀了課程標(biāo)準(zhǔn)對函數(shù)性質(zhì)教學(xué)的要求,明確教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的目標(biāo);教材是教與學(xué)的依據(jù),因此從教材的編排體系來分析函數(shù)性質(zhì),以期能準(zhǔn)確地把握教學(xué)的重難點(diǎn).

再次,對函數(shù)性質(zhì)的概念教學(xué)進(jìn)行探討,提出函數(shù)性質(zhì)教學(xué)的思路和教學(xué)的具體建議:數(shù)形結(jié)合,優(yōu)化思維過程;巧妙的設(shè)置探究問題;教學(xué)方式多樣化;多角度的理解概念;形成概念系,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);滲透數(shù)學(xué)思想方法.

1.4 研究的理論基礎(chǔ)(數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì))

人類獲得概念的主要方式是概念的形成和概念的同化.概念的形成是指從大量的具體例子出發(fā),歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程,這是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程.概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程,這是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的過程.不論是通過概念的形成方式還是通過概念的同化方式來獲得新的概念,其最終目標(biāo)都是掌握同類事物的關(guān)鍵屬性,使學(xué)生在頭腦里建構(gòu)起良好的概念認(rèn)知圖式.

1.5 本研究的價(jià)值及創(chuàng)新點(diǎn)

只有自然,才能使其對學(xué)生而言是“可以理解的”、“可以學(xué)到手的”和“可以推廣應(yīng)用的”.也只有是自然的,教學(xué)活動(dòng)才能向?qū)W生展現(xiàn)“活生生”的研究工作,而不是死的知識(shí),才能幫助學(xué)生真正理解有關(guān)的教學(xué)內(nèi)容,而不是囫圇吞棗,死記硬背;也只有是自然的,才能幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)內(nèi)在的思維方法,內(nèi)在的思想觀念.

2.函數(shù)性質(zhì)概念生成分析

2.1 從知識(shí)內(nèi)在發(fā)展規(guī)律看

教材體現(xiàn)了“螺旋式上升”的新課程特點(diǎn).初中階段學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù),重點(diǎn)從直觀圖形和自然文字的角度,讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)感知和形象描述“函數(shù)的增減性”、“函數(shù)的對稱性”,而沒有運(yùn)用符號(hào)語言進(jìn)行抽象概括.當(dāng)高中再次研究性質(zhì)時(shí),則將重點(diǎn)放在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言抽象概括出和“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”的一般定義.讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中,不斷地在認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)“感性認(rèn)識(shí)—理性認(rèn)識(shí)—感性再認(rèn)識(shí)—理性再認(rèn)識(shí)”的過程.

2.2 從初、高中銜接角度看

教材遵循學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律,立足初中學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象性質(zhì),從具體到抽象,從特殊到一般,引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”概念的發(fā)現(xiàn)、概括過程.從知識(shí)、學(xué)法、教法三方面為“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”概念的初、高中銜接創(chuàng)造了有利條件.

2.3 從培養(yǎng)抽象概括能力看

波利亞指出:“學(xué)習(xí)任何知識(shí)的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn),因?yàn)檫@種發(fā)現(xiàn)理解最深,也是容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系.”因此在單調(diào)性和奇偶性概念的形成過程中,要引導(dǎo)學(xué)生通過具體函數(shù)的感知,自主觀察分析、抽象概括,自覺領(lǐng)悟“上升、下降”和“關(guān)于y軸對稱、關(guān)于原點(diǎn)對稱”的本質(zhì)屬性,從而形成新的嚴(yán)密的“函數(shù)的單調(diào)性”和“函數(shù)的奇偶性”概念.

3.自然地教學(xué)的設(shè)計(jì)實(shí)例

自然的教學(xué),需要一個(gè)極具強(qiáng)烈對比,極易產(chǎn)生認(rèn)知沖突的問題,用這個(gè)問題去引導(dǎo)學(xué)生,去誘使學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想、構(gòu)造,在學(xué)習(xí)過程中,自己給自己提出下一步要研究什么的問題,這樣才會(huì)使學(xué)生跨越認(rèn)知障礙,發(fā)展自我探求知識(shí)的能力,自然生發(fā)出新的概念結(jié)構(gòu).自然的教學(xué)更重要的內(nèi)涵,是指教學(xué)是依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的客觀規(guī)律進(jìn)行的,不是教師灌輸?shù)?而是在教師的恰當(dāng)?shù)皿w的引導(dǎo)下,學(xué)生依靠自己的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)自然而然建構(gòu)出知識(shí).

3.1 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1.1 創(chuàng)設(shè)生活實(shí)際情境,引入課題

如圖1為某市一天內(nèi)的氣溫變化圖:

圖1

(1)觀察這個(gè)氣溫變化圖,說出氣溫在這一天內(nèi)的變化情況.

(2)怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫在這一天內(nèi)“隨著時(shí)間的增大,氣溫逐漸升高或下降”這一特征?

引導(dǎo)學(xué)生識(shí)圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考.

思考(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時(shí)達(dá)到;

(2)在某時(shí)刻的溫度;

(3)某些時(shí)段溫度升高,某些時(shí)段溫度降低.

(4)還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?

設(shè)計(jì)意圖從生活中的實(shí)際例子感知函數(shù)單調(diào)性的存在,完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識(shí).

3.1.2 利用學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引入函數(shù)單調(diào)性概念

對于自變量變化時(shí),函數(shù)值是變大還是變小,初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識(shí),但是沒有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.

1.借助圖象,直觀感知

問題分別作出函數(shù)y=x+2,y=?x+2,y=x2,的圖象,并且觀察自變量變化時(shí),函數(shù)值有什么變化規(guī)律?

思考(1)我們學(xué)過區(qū)間的表示方法,如何用區(qū)間的概念來表述函數(shù)y=x2圖象的變化規(guī)律

設(shè)計(jì)意圖從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性的第二次認(rèn)識(shí).

2.探究規(guī)律,理性認(rèn)識(shí)

問題1 圖2是函數(shù)的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?(電腦顯示,學(xué)生分組討論)

圖2

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.

問題2 如何從解析式的角度說明f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù)?

思考(1)能否在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù),例如1和2,因?yàn)?2＜22,所以f(x)=x在[0,+∞)為增函數(shù).

(2)若僅僅兩個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不能說明函數(shù)y=x2在區(qū)間[0,+∞)上為單調(diào)遞增函數(shù),那舉出無數(shù)個(gè)呢?

對于學(xué)生錯(cuò)誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析.

如:函數(shù)y=x2(x∈[?1,+∞))中有無數(shù)個(gè)隨x的增大而增大的實(shí)數(shù),是不是也可以說函數(shù)y=x2在區(qū)間[?1,+∞)上是增函數(shù)?可這與圖象矛盾啊?

使學(xué)生認(rèn)識(shí)到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量.

當(dāng)x1,x2∈[0,+∞)且x1＜x2,由圖象可知,即給自變量一個(gè)增量

函數(shù)值的增量為所以f(x)=x2在[0,+∞)為增函數(shù).

進(jìn)一步尋求自變量的增量與函數(shù)值的增量之間的變化規(guī)律,判斷函數(shù)單調(diào)性.注意這里的“都有”是對應(yīng)于“任意”的.

設(shè)計(jì)意圖把對單調(diào)性的認(rèn)識(shí)由感性上升到理性認(rèn)識(shí)的高度,完成對概念的第三次認(rèn)識(shí).事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊.

3.抽象思維,形成概念

問題你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述出增函數(shù)的定義嗎?

師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義思考:

(1)由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)＜f(x2)能否推出x1＜x2(x1＞x2),

(2)我們來比較一下增函數(shù)與減函數(shù)定義中?x,?y的符號(hào)規(guī)律,你有什么發(fā)現(xiàn)沒有?

(3)如果將增函數(shù)中的“當(dāng)?x=x2?x1＞0時(shí),都有?y=f(x2)?f(x1)＞0”改為當(dāng)?x=x2?x1＜0時(shí),都有?y=f(x2)?f(x1)＜0結(jié)論是否一樣呢?

(4)減函數(shù)的定義是否也可以進(jìn)行這樣修改?

(5)根據(jù)剛才的分析,你們有沒有發(fā)現(xiàn)自變量的差量與函數(shù)值的差量之間的關(guān)系?

(6)那你們能否將定義修改地更為簡潔呢?如:如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1,x2,

設(shè)計(jì)意圖這一階段教師領(lǐng)導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了剖析,帶領(lǐng)學(xué)生深入定義的表達(dá)形式,探索概念的本質(zhì).實(shí)現(xiàn)學(xué)生將概念從具體的圖形表達(dá)形式化到一般的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的轉(zhuǎn)化.事實(shí)上,這一階段是對函數(shù)單調(diào)性的概念進(jìn)行了第四次歸納——由數(shù)學(xué)符號(hào)敘述抽象到了形式化.

4.理解概念,操作演練

問題判斷題:

(2)若函數(shù)f(x)滿足f(2)＜f(3)則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上為增函數(shù).

(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).

通過判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):

(1)單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.

(2)對于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù)).

(3)單調(diào)性是對定義域的某個(gè)區(qū)間上的整體性質(zhì),不能用特殊值說明問題.

(4)函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增(減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在A∪B上是增(或減)函數(shù).如圖3所示.

思考如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學(xué)生對定義的理解,完成對概念的第五次認(rèn)識(shí).

圖3

3.2 函數(shù)的奇偶性教學(xué)設(shè)計(jì)

3.2.1 通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)引入奇函數(shù)、偶函數(shù)概念

學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn),可在學(xué)生腦海中留下深刻印象.取一張紙,在其上畫出平面直角坐標(biāo)系,并在第一象限任畫一可作為函數(shù)圖象的圖形,然后按如下操作并回答相應(yīng)問題:

(1)以y軸為折痕將紙對折,并在紙的背面(即第二象限)畫出第一象限內(nèi)圖形的痕跡,然后將紙展開,觀察坐標(biāo)系中的圖形;

問題將第一象限和第二象限的圖形看成一個(gè)整體,則這個(gè)圖形可否作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,若能請說出該圖象具有什么特殊的性質(zhì)?函數(shù)圖象上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特殊的關(guān)系?

答案①可以作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,并且它的圖象關(guān)于y軸對稱;②若點(diǎn)(x,f(x))在函數(shù)圖象上,則相應(yīng)的點(diǎn)(?x,f(x))也在函數(shù)圖象上,即函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn),它們的縱坐標(biāo)也一定相等.

(2)以y軸為折痕將紙對折,然后以x軸為折痕將紙對折,在紙的背面(即第三象限)畫出第一象限內(nèi)圖形的痕跡,然后將紙展開,觀察坐標(biāo)系中的圖形:

問題將第一象限和第三象限的圖形看成一個(gè)整體,則這個(gè)圖形可否作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,若能請說出該圖象具有什么特殊的性質(zhì)?函數(shù)圖象上相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特殊的關(guān)系?

答案①可以作為某個(gè)函數(shù)y=f(x)的圖象,并且它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;

②若點(diǎn)(x,f(x))在函數(shù)圖象上,則相應(yīng)的點(diǎn)(?x,?f(x)))也在函數(shù)圖象上,即函數(shù)圖像上橫坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn),它們的縱坐標(biāo)也一定互為相反數(shù).

像上面實(shí)踐操作(1)中的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)即是偶函數(shù);操作(2)中圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù)即是奇函數(shù)的.

注意

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);

②由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是,對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,則?x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱).

4.結(jié)束語

教法自然,意味著教學(xué)是自然天成的,不是人為的,不是偽造的,不是強(qiáng)加于人的.自然的教學(xué)首先是指知識(shí)是有內(nèi)在邏輯的,知識(shí)的學(xué)習(xí)是依據(jù)知識(shí)發(fā)展的內(nèi)在邏輯順序依次進(jìn)行,不是隨意的.

與其它設(shè)計(jì)相比,本設(shè)計(jì)的引導(dǎo)過程、問題的提出與解決過程更加自然,有效地突破了函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),學(xué)生更容易接受,因而教學(xué)效果更有效！