賀天龍，陳憲麥，徐磊

?

基于輪軌時(shí)變接觸剛度的車輛?軌道系統(tǒng)垂向振動(dòng)分析

賀天龍1, 2，陳憲麥1, 2，徐磊3

(1. 中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2. 高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410075；3. 西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川成都，610031)

采用輪軌時(shí)變接觸剛度代替輪軌非線性接觸力的動(dòng)力效應(yīng)，模擬輪軌之間的自然接觸狀態(tài)，將有限元理論和能量變分法用于建立車輛?軌道系統(tǒng)垂向統(tǒng)一方程。通過(guò)輸入脈沖型短波及中、長(zhǎng)波不平順激勵(lì)，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，驗(yàn)證本文模型的正確性，并與國(guó)內(nèi)常用的輪軌密貼模型進(jìn)行比較分析。研究結(jié)果表明：輪軌密貼模型在分析中、長(zhǎng)波不平順激勵(lì)工況下的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)是可行的；但在短波不平順激勵(lì)工況下，輪軌之間的剛性處理方法將放大短波激勵(lì)效應(yīng)，車輪“跳軌”處理方法尚需改進(jìn)。

車輛?軌道耦合系統(tǒng)；時(shí)變接觸剛度；垂向振動(dòng)；能量變分法；統(tǒng)一方程

車輛?軌道系統(tǒng)的耦合振動(dòng)分析是鐵路動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域非常重要的研究?jī)?nèi)容，國(guó)內(nèi)的車/軌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模工作以車輛?軌道耦合動(dòng)力學(xué)[1]為基本理論指導(dǎo)，已日趨完善。針對(duì)車輛?軌道系統(tǒng)的橫向相互作用，應(yīng)該考慮非線性蠕滑力及輪軌橫向相對(duì)位移。然而，對(duì)于車輛?軌道系統(tǒng)的垂向相互作用，國(guó)內(nèi)主要采用輪軌密貼[2?4]和輪軌彈性接觸(基于Hertz非線性接觸理論)[1]這2種建模方法。由于鐵路鋼軌存在的磨耗、扣件失效、軌道板離縫及路基沉降等一系列鐵路軌道基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能演變問(wèn)題都與車/軌系統(tǒng)的垂向動(dòng)力作用密切相關(guān)，所以，有必要對(duì)這2種垂向輪軌關(guān)系作用下的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行比較分析。為此，本文作者基于有限元方法對(duì)不同鐵路線路工況的強(qiáng)模擬性能及求解軌道結(jié)構(gòu)任意位置的動(dòng)力響應(yīng)，采用有限元方法，同時(shí)考慮輪軌之間的彈性接觸剛度(即考慮輪軌相對(duì)位移)，以板式軌道結(jié)構(gòu)為例，對(duì)這2種垂向輪軌關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際上，人們對(duì)軌道的有限元?jiǎng)恿M(jìn)行了大量研究，如：羅震等[5]基于多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)原理建立了車輛動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型，以梁?板?板有限元模擬板式軌道，通過(guò)輪軌界面形成車/軌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)耦合，分別采用新型快速顯示積分方法[6]和Newmark-β法[7]求解了車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)；向俊等[8]采用橫向有限條和板段單元模型分析了車/軌垂向動(dòng)力響應(yīng)，在正常行車時(shí)為輪軌密貼，而在車輪跳軌時(shí)，考慮輪軌相對(duì)位移。此外，人們?cè)诳紤]輪軌接觸彈性時(shí)，常將輪軌非線性接觸彈簧時(shí)不變等效成線性化處理[9?12]。這些方法均沒有在輪軌接觸非線性、有限元方法及動(dòng)力系統(tǒng)方程的統(tǒng)一求解上達(dá)到統(tǒng)一。本文作者采用輪/軌時(shí)變接觸剛度的方法模擬輪軌之間的自然接觸狀態(tài)，通過(guò)能量變分和有限元建立車輛?軌道系統(tǒng)的統(tǒng)一方程，驗(yàn)證模型的正確性。建立能考慮車輪“跳軌”的輪軌密貼模型，比較本文模型與輪軌密貼模型在脈沖型短波及中、長(zhǎng)波不平順激勵(lì)下的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。

1 垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型

將車輛?板式軌道作為一個(gè)整體，建立如圖1所示的車輛?板式軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型。高速車輛模型采用具有二系懸掛的車輛模型。板式軌道因其結(jié)構(gòu)左右對(duì)稱，可取一股軌道進(jìn)行研究，以鋼軌模擬無(wú)限長(zhǎng)且離散黏彈性點(diǎn)支承的Bernoulli?Euler梁，彈性支承在鋼軌扣件處的軌下襯墊上；將軌道板模擬成連續(xù)黏彈性支承的有限長(zhǎng)Bernoulli-Euler梁，CA砂漿等效為連續(xù)分布線性彈簧和阻尼器。

圖1 車輛?板式軌道垂向耦合動(dòng)力學(xué)模型

2 垂向耦合振動(dòng)方程的建立

對(duì)于車/軌系統(tǒng)的垂向或橫向振動(dòng)，輪軌相互作用力確是車輛?軌道系統(tǒng)的內(nèi)力，翟婉明[1]將每一積分步的輪軌力“顯示”表達(dá)，分別將其作用于車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)，獲得了與實(shí)測(cè)值接近的結(jié)果，得到廣泛應(yīng)用。曾慶元[2]認(rèn)為輪軌相互作用力是“隱式”的，由于輪軌作用力與輪軌相對(duì)位移存在強(qiáng)非線性關(guān)系，對(duì)輪軌作用力在相對(duì)位移上的做功無(wú)法有效地進(jìn)行一階變分，只能采用輪軌密貼及線性蠕滑的假定。

在車?軌(橋)系統(tǒng)的數(shù)值積分步長(zhǎng)內(nèi)，所有的力及動(dòng)力參數(shù)是基本不變的。本文假定輪軌之間存在1個(gè)輪/軌接觸彈簧，隨著積分步變化，其接觸彈簧剛度是時(shí)變的，但在1個(gè)積分步長(zhǎng)內(nèi)，認(rèn)為此彈簧接觸剛度為定值，這符合輪軌之間的真實(shí)接觸狀態(tài)。

2.1 輪軌接觸關(guān)系的處理方法

2.1.1 輪軌時(shí)變接觸剛度模型

根據(jù)Hertz非線性彈性接觸理論，可以確定輪軌之間的相互作用力()為

式中：為輪軌接觸常數(shù)(m/N2/3)；δ()為輪軌間的彈性壓縮量(m)。采用磨耗型踏面車輪，則

圖2 輪軌時(shí)變接觸剛度與輪軌相對(duì)位移kwr(t)的關(guān)系

輪軌時(shí)變接觸剛度的計(jì)算基于Hertz非線性接觸理論，這種方法完全將車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)耦合成一個(gè)整體，輪軌之間的彈性變形能可由輪軌接觸剛度和輪軌相對(duì)位移計(jì)算獲得。這是一種輪軌力“隱式”表達(dá)的方法，輪軌力作為輪軌之間的相互作用力是車輛?軌道系統(tǒng)的1個(gè)內(nèi)力。當(dāng)采用能量原理建立系統(tǒng)的平衡方程時(shí)，只需將輪軌變形能計(jì)入系統(tǒng)總能量即可，這兼顧了輪軌非線性接觸本質(zhì)和振動(dòng)方程解適定性的要求[13]。

2.1.2 輪軌密貼模型

曾慶元等[2?3]采用的模型均為輪軌密貼模型。曾慶元[2]認(rèn)為軌道不平順不是時(shí)間的函數(shù)，軌道不平順附加速度及加速度均為0 m/s2；婁平等[3]采用較復(fù)雜的輪軌約束方程，不僅考慮了軌道不平順的附加速度及加速度項(xiàng)，而且加入了形函數(shù)矩陣的時(shí)間求導(dǎo)項(xiàng)。本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上，采用簡(jiǎn)化的輪軌約束方程：

輪軌密貼模型在時(shí)域數(shù)值積分過(guò)程中，輪軌力是不計(jì)算和代入系統(tǒng)動(dòng)力方程荷載列陣的。其輪軌力可根據(jù)每一步的計(jì)算結(jié)果，基于達(dá)朗貝爾原理進(jìn)行計(jì)算：

式中：w1，w2，w3和w4分別為第1~4輪/軌接觸力；1，2，3和4分別為第1~4輪對(duì)的靜輪載；其他變量含義見文獻(xiàn)[1]。

2.2 車輛和軌道系統(tǒng)矩陣的建立

2.2.1 Hamilton原理

Hamilton原理是力學(xué)中應(yīng)用最廣泛和最重要的積分形式的變分原理，提供了從所有可能運(yùn)動(dòng)中找出真實(shí)運(yùn)動(dòng)的1個(gè)準(zhǔn)則。對(duì)于完整的保守系統(tǒng)，Hamilton最小作用量原理定義為[14]

式中：為拉格朗日泛函。實(shí)際上，從Hamilton最小作用量原理成立的基本條件來(lái)說(shuō)，由于車/軌系統(tǒng)存在黏滯阻尼力、庫(kù)侖摩擦力及干擾力等非有勢(shì)力，不再符合上述Hamilton完整保守系統(tǒng)的定義。但當(dāng)積分時(shí)間足夠小(1→0)時(shí)，進(jìn)行瞬時(shí)處理。在某一瞬時(shí)，所有的內(nèi)外力及應(yīng)力是不變的，只產(chǎn)生滿足勢(shì)能駐值原理[15]的位移及應(yīng)變，此時(shí)，非有勢(shì)力(黏滯阻尼力、摩擦力及干擾力)可近似作有勢(shì)力處理。曾慶元[16]基于這種瞬時(shí)狀態(tài)的理想化處理，建立了彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢(shì)能不變值原理，在車輛?軌道(橋梁)振動(dòng)分析領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。這里的拉格朗日泛函可為

式中：M為系統(tǒng)的動(dòng)能；I為系統(tǒng)的彈性勢(shì)能；C為系統(tǒng)的阻尼力勢(shì)能；F為外力勢(shì)能。

由式(3)可得

根據(jù)式(9)的基本表達(dá)形式及“對(duì)號(hào)入座”法則[2]，可以建立車輛和軌道的系統(tǒng)矩陣。

2.2.2 車輛系統(tǒng)矩陣

車輛系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣可參考文獻(xiàn)[17]中的方法獲得。這里以車輛系統(tǒng)剛度矩陣為例，簡(jiǎn)單說(shuō)明其形成過(guò)程。在車輛－軌道系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)值積分過(guò)程中，將輪軌之間的接觸彈性變形能在車輛系統(tǒng)矩陣的分析過(guò)程中予以考慮。

車輛系統(tǒng)的初始振動(dòng)位移參數(shù)列陣如下：

式中：c，gq和gh分別為車體、前構(gòu)架、后構(gòu)架的沉浮自由度；c，gq和gh分別為車體、前構(gòu)架、后構(gòu)架的點(diǎn)頭自由度；w1，w2，w3和w4為第1~4輪對(duì)的沉浮自由度；r1，r2，r3和r4為第1~4輪對(duì)對(duì)應(yīng)的鋼軌振動(dòng)位移；irr1，irr2，irr3和irr4為第1~4輪對(duì)對(duì)應(yīng)的軌道垂向不平順。

需指出的是：鋼軌振動(dòng)位移及軌道不平順在原則上是屬于軌道系統(tǒng)的振動(dòng)位移參數(shù)，本文為編制程序方便，將輪軌接觸點(diǎn)處對(duì)應(yīng)輪對(duì)位移、鋼軌位移及鋼軌不平順均納入車輛系統(tǒng)中。

對(duì)于多剛體的車輛系統(tǒng)，其剛度矩陣的形成主要通過(guò)彈簧單元變形能的位移變分獲得，故本文的車輛系統(tǒng)共10彈簧變形單元，如車體與前構(gòu)架、前構(gòu)架與第1輪對(duì)、第1輪/軌接觸彈簧的彈性變形能(以彈簧受壓為正)分別為

式中：s1，gq1和wr1分別為車體與前構(gòu)架、前構(gòu)架與第1輪對(duì)、第1輪/軌接觸點(diǎn)之間的彈簧剛度；c和t分別為車輛二構(gòu)架中心距之一半、同一構(gòu)架所屬二輪對(duì)軸距之一半。對(duì)式(18)進(jìn)行位移變分，得

前構(gòu)架與第1輪對(duì)之間的彈簧剛度矩陣和第1輪軌接觸對(duì)的彈簧剛度矩陣可按類似方法獲得。

仿照上述方法，根據(jù)位移參數(shù)在矩陣中的位置，可以組裝車輛系統(tǒng)的總剛度矩陣。質(zhì)量矩陣與阻尼矩陣的形成與此類似。

2.2.3 軌道系統(tǒng)矩陣

取2個(gè)扣件之間的軌段為軌道系統(tǒng)的1個(gè)有限單元，若不考慮軌道板與軌道板之間的縫隙，則無(wú)論多長(zhǎng)的軌道系統(tǒng)矩陣，均可以基于此有限單元的質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣快速組裝形成整個(gè)軌道系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣。

由于考慮輪軌之間的時(shí)變接觸剛度，在整個(gè)數(shù)值積分計(jì)算過(guò)程中，車/軌系統(tǒng)矩陣是非線性變化的，此時(shí)，有限單元?jiǎng)澐珠L(zhǎng)度需要滿足一定的精細(xì)化要求，否則將得不到正確的計(jì)算結(jié)果。

梁?jiǎn)卧獜澢魏瘮?shù)采用Hermitian三次插值函數(shù)，梁?jiǎn)卧獌?nèi)任意一點(diǎn)的豎向位移都可以通過(guò)節(jié)點(diǎn)的豎向位移和轉(zhuǎn)角位移表示：

軌道系統(tǒng)矩陣的形成見文獻(xiàn)[18?19]。

2.2.4 車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的耦合

與文獻(xiàn)[1]中每一步顯示求解輪軌力的方法不同，本文的車輛系統(tǒng)與軌道系統(tǒng)的垂向耦合通過(guò)輪/軌之間的時(shí)變剛度系數(shù)分配的方法實(shí)現(xiàn)。通過(guò)對(duì)第1~4輪軌接觸彈簧變形能的位移變分，可獲得輪軌之間彈簧剛度矩陣。如第1輪軌接觸對(duì)的彈性變形能變分為

經(jīng)過(guò)重分配后的第1輪軌接觸剛度矩陣為

通過(guò)式(23)~(25)實(shí)現(xiàn)了輪對(duì)垂向振動(dòng)位移、輪對(duì)所在的鋼軌接觸單元節(jié)點(diǎn)位移及輪/軌接觸點(diǎn)的軌道不平順等位移參數(shù)的銜接。其余3個(gè)輪/軌接觸對(duì)的剛度矩陣可按類似方法獲得。這樣，便解決了車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)的垂向耦合問(wèn)題。

需要注意的是：式(26)并非最終的車輛?軌道耦合振動(dòng)方程，因?yàn)轳詈舷到y(tǒng)的剛度矩陣中含有非獨(dú)立位移參數(shù)的彈性變形能，如式(17)中的后8個(gè)振動(dòng)位移參數(shù)。應(yīng)將軌道不平順實(shí)測(cè)或反演值代入式(26)，形成車輛?軌道系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)，然后劃去非獨(dú)立矩陣方程，形成最終的耦合振動(dòng)方程，其具體原理見文獻(xiàn)[2]。本文采用wilson?法求解此振動(dòng)方程，積分步長(zhǎng)為0.05 ms。

采用較小的積分步長(zhǎng)及輪軌密貼的方法，相當(dāng)于給定了輪軌之間的約束條件，在較大的時(shí)間步長(zhǎng)(如0.001~0.010 s)[2?3]時(shí)也能得到收斂解。而采用輪軌時(shí)變接觸剛度完全模擬輪軌之間的自然接觸狀態(tài)，在時(shí)域數(shù)值積分時(shí)，每一積分步內(nèi)所有的力素是不變的，而實(shí)際上此步長(zhǎng)內(nèi)的輪軌力是非線性變化的，時(shí)間步長(zhǎng)越長(zhǎng)，與實(shí)際的輪軌接觸狀態(tài)差別越大。通過(guò)仿真計(jì)算，認(rèn)為采用輪軌時(shí)變接觸剛度時(shí)，積分時(shí)間0.05 ms較合理。

3 模型驗(yàn)證結(jié)果與計(jì)算結(jié)果比較

3.1 脈沖型短波不平順激勵(lì)

為驗(yàn)證基于輪軌接觸時(shí)變剛度系數(shù)的車輛?軌道耦合振動(dòng)分析模型的正確性，采用與文獻(xiàn)[18]中相同的計(jì)算條件，以長(zhǎng)鋼軌焊接區(qū)軌面短波不平順(短波波長(zhǎng)為0.1 m，長(zhǎng)波和短波波幅分別為0.3 mm和0.2 mm)為軌道不平順激勵(lì)波形，見圖3。跟蹤計(jì)算第1輪對(duì)及其對(duì)應(yīng)軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程(如輪軌垂向作用力、鋼軌加速度、軌道板加速度和鋼軌位移等)，計(jì)算結(jié)果見圖4。

圖3 鋼軌焊接區(qū)軌面短波不平順激勵(lì)波形

從圖4及文獻(xiàn)[21]中計(jì)算結(jié)果可知：本文計(jì)算所獲得的輪軌作用力、鋼軌加速度響應(yīng)波幅及鋼軌位移響應(yīng)波形幾乎一致，但軌道板振動(dòng)加速度及鋼軌位移響應(yīng)幅值與文獻(xiàn)[21]中結(jié)果存在較大差別，這與本文有限元模型劃分精度及積分步長(zhǎng)有一定的關(guān)系?？偟膩?lái)說(shuō)，本文的計(jì)算模型是正確的。

同時(shí)，比較本文模型與輪軌密貼模型的計(jì)算結(jié)果(圖5，積分步長(zhǎng)0.5 ms)可知輪軌密貼模型的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[21]中結(jié)果和本文模型計(jì)算結(jié)果均存在較大差異，其輪軌作用力產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)遠(yuǎn)比輪軌彈性接觸模型的的振動(dòng)響應(yīng)大。其原因在于輪軌密貼是一種輪軌剛性接觸的處理方法。同時(shí)，由式(3)~(5)所示的輪軌約束方程可知，脈沖型短波不平順的附加速度及加速度(見圖6)對(duì)輪軌之間的相互作用產(chǎn)生很大的影響，而實(shí)際的輪軌彈性接觸狀態(tài)能極大地弱化這種作用。雖然輪軌密貼模型計(jì)算結(jié)果表明存在跳軌現(xiàn)象，但其跳軌持續(xù)時(shí)間及響應(yīng)幅值沒有得到正確反映。

3.2 軌道隨機(jī)不平順中波和長(zhǎng)波激勵(lì)

這里仍然采用與3.1節(jié)中相同的系統(tǒng)動(dòng)力參數(shù)。通過(guò)統(tǒng)計(jì)、歸納武廣高速鐵路2013年近9月的軌道高低不平順譜，采用逆傅里葉變換方法[22]，反演獲得軌道高低隨機(jī)不平順，波長(zhǎng)范圍為1~60 m，可作為中波和長(zhǎng)波不平順激勵(lì)源，見圖7。2種模型的積分時(shí)間均取為0.05 ms。

(a) 輪軌作用力響應(yīng)；(b) 鋼軌加速度響應(yīng)；(c) 軌道板加速度響應(yīng)；(d) 鋼軌位移響應(yīng)

(a) 輪軌作用力響應(yīng)；(b) 鋼軌加速度響應(yīng)；(c) 軌道板加速度響應(yīng)；(d) 鋼軌位移響應(yīng)

圖6 脈沖短波不平順的附加加速度

圖7 軌道高低不平順波形

3.2.1 車輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)

車體和前構(gòu)架的振動(dòng)位移及振動(dòng)加速度計(jì)算波形及幅值見圖8。由于輪軌時(shí)變接觸剛度系數(shù)模型和輪軌密貼模型對(duì)輪對(duì)位移參數(shù)的考慮完全不同，這里不進(jìn)行不同車輛振動(dòng)系統(tǒng)之間的比較。

從圖8可知：2種模型在中、長(zhǎng)波不平順激勵(lì)下產(chǎn)生的車輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)基本一致。這說(shuō)明在鐵路線路狀態(tài)較緩和、無(wú)短波高頻激勵(lì)時(shí)，輪軌的彈性或剛性接觸對(duì)車輛系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)影響不大。

3.2.2 軌道系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)

某里程處鋼軌及軌道板單元中點(diǎn)的振動(dòng)位移及加速度響應(yīng)波形與幅值比較見圖9。

從圖9可知：2種模型獲得的軌道系統(tǒng)計(jì)算結(jié)果相差不大。但作為輪軌系統(tǒng)的直接接觸單元，輪軌密貼模型的鋼軌位移及加速度響應(yīng)比輪軌彈性接觸模型的稍大。

3.2.3 輪軌力響應(yīng)

輪軌力是車輛?軌道系統(tǒng)振動(dòng)特征最顯著和最直接的表達(dá)參數(shù)，這里對(duì)2種模型第1輪對(duì)的輪軌力時(shí)域及頻域特征進(jìn)行比較分析，見圖10。

從圖10可知：2種模型的頻率特征分布基本一致；在輪軌力的時(shí)域分布上，輪軌時(shí)變剛度模型的輪軌力基本在輪對(duì)軸重附近波動(dòng)；但由式(6)~(9)計(jì)算獲得的輪軌密貼模型輪軌力的整體波動(dòng)均值比輪軌時(shí)變剛度系數(shù)模型的大(這與鋼軌振動(dòng)響應(yīng)較大的計(jì)算結(jié)果一致)，改變積分步長(zhǎng)及運(yùn)行速度，仍得到類似結(jié)果，并且運(yùn)行速度越快，積分步長(zhǎng)越短，這種差別越明顯。

(a) 車體振動(dòng)位移；(b) 前構(gòu)架振動(dòng)位移；(c) 車體振動(dòng)加速度；(d) 前構(gòu)架振動(dòng)加速度

(a) 鋼軌中點(diǎn)振動(dòng)位移；(b) 軌道板振動(dòng)位移；(c) 鋼軌中點(diǎn)振動(dòng)加速度；(d) 軌道板振動(dòng)加速度

(a) 輪軌力； (b) 輪軌力頻譜幅值

需要指出的是：基于達(dá)朗貝爾原理，采用式(6)~(9)計(jì)算輪軌力是正確的。本文采用輪軌時(shí)變接觸剛度模型，根據(jù)每一積分步獲得的車輛系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)用式(6)~(9)計(jì)算相應(yīng)的輪軌力，并與按赫茲接觸理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，見圖11。

從圖11可知：基于赫茲接觸理論和基于達(dá)朗貝爾原理的輪軌力計(jì)算值基本一致，由此表明式(6)~(9)用于輪軌力計(jì)算的正確性。另一方面，圖11所示計(jì)算結(jié)果表明了力學(xué)原理的統(tǒng)一性，無(wú)論輪軌之間的相互作用多么復(fù)雜，若單獨(dú)隔離車輛系統(tǒng)或軌道系統(tǒng)，則在某一瞬時(shí)，它必定處在動(dòng)力平衡狀態(tài)。文獻(xiàn)[2]采用達(dá)朗貝爾原理計(jì)算的輪軸橫向搖擺力與實(shí)測(cè)結(jié)果接近，說(shuō)明車輛?軌道系統(tǒng)的垂向、橫向振動(dòng)均滿足這一基本原理。

(a) 第1輪對(duì)輪軌力時(shí)程；(b) 第3輪軌輪軌力時(shí)程

4 結(jié)論

1) 對(duì)于輪軌非線性接觸問(wèn)題，采用“局部線性?整體非線性”的方法是可行的，解決了輪軌接觸位移函數(shù)的選取問(wèn)題，便于用能量變分法建立統(tǒng)一的車輛?軌道耦合振動(dòng)方程。

2) 取輪軌相互作用力為內(nèi)力，軌道(橋梁)的邊界條件為車?軌(橋)系統(tǒng)的邊界條件。將輪軌力“隱式”處理為輪軌時(shí)變接觸剛度系數(shù)的動(dòng)力分析方法是可行的。

3) 輪軌時(shí)變剛度模型與輪軌密貼模型在中、長(zhǎng)波不平順激勵(lì)下，產(chǎn)生的系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)基本一致，但當(dāng)輪軌密貼模型在積分步長(zhǎng)較小時(shí)，其剛性接觸的假設(shè)將逐漸脫離輪軌實(shí)際的彈性接觸狀態(tài)，并且動(dòng)力響應(yīng)較大。

4) 輪軌密貼模型中所采用輪軌剛性接觸方法不適合線路短波不平順激勵(lì)工況。

[1] 翟婉明. 車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2007: 32?55. ZHAI Wanming. Vehicle and track coupling dynamics[M]. Beijing: Science Press, 2007: 32?55.

[2] 曾慶元. 列車橋梁時(shí)變系統(tǒng)振動(dòng)分析理論與應(yīng)用[M]. 北京: 中國(guó)鐵道出版社, 1999: 49?56. ZENG Qingyuan. Theory of vibration analysis of train-bridge time- variant system and its applications[M]. Beijing: China Railway Press, 1999: 49?56.

[3] 婁平, 曾慶元. 車輛?軌道?橋梁系統(tǒng)豎向運(yùn)動(dòng)方程的建立[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2004, 26(5): 71?80. LOU Ping, ZENG Qingyuan. Formulation of equations of vertical motion for vehicle-track-bridge system[J]. Journal of the China Railway Society, 2004, 26(5): 71?80.

[4] 張敏, 張楠, 夏禾. 大跨度鐵路懸索橋風(fēng)?車?橋耦合動(dòng)力分析[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2013, 34(4): 14?21. ZHANG Min, ZHANG Nan, XIA He. Analysis on wind-vehicle-bridge dynamic interaction for long-span railway suspension bridge[J]. China Railway Science, 2013, 34(4): 14?21.

[5] 羅震, 翟婉明, 蔡成標(biāo), 等. 車輛作用下板式軌道動(dòng)力分析模型及驗(yàn)證[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2010, 32(4): 70?73. LUO Zhen, ZHAI Wanming, CAI Chengbiao, et al. Dynamics model of slab track subjected to moving vehicle and its verification[J]. Journal of the China Railway Society, 2010, 32(4): 70?73.

[6] ZHAI Wanming. Two simple fast integration methods for large-scale dynamic problems in engineering[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1996, 39(24): 4199?4214.

[7] NEWMARK N M. A method of computation for structural dynamics[J]. Journal of the Engineering Mechanical Division, ASCE, 1959, 85(2): 67?94.

[8] 向俊, 赫丹, 曾慶元. 橫向有限條與無(wú)砟軌道板單元的車軌系統(tǒng)豎向振動(dòng)分析法[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2007, 29(4): 64?69. XIANG Jun, HE Dan, ZENG Qingyuan. Analysis method of vertical vibration of train and ballastless track system with the lateral finite strip and slab segment element[J]. Journal of the China Railway Society, 2007, 29(4): 64?69.

[9] 雷曉燕, 張斌, 劉慶杰. 軌道過(guò)渡段動(dòng)力特性的有限元分析[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2009, 30(5): 15?21. LEI Xiaoyan, ZHANG Bin, LIU Qingjie. Finite element analysis on the dynamic characteristics of the track transition[J]. China Railway Science, 2009, 30(5): 15?21.

[10] 楊新文, 宮全美, 周順華, 等. 高速列車作用下雙塊式無(wú)砟軌道與路基垂向耦合振動(dòng)分析[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 2014, 36(8): 75?83. YANG Xinwen, GONG Quanmei, ZHOU Shunhua, et al. Analysis on vertical vibration of coupled double-block ballastless track and subgrade system under high-speed train running[J]. Journal of China Railway Society, 2014, 36(8): 75?83.

[11] 楊宏印, 張海龍, 陳志軍, 等. 考慮徐變影響的車-線-橋耦合有限元分析[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2013, 34(6): 13?19. YANG Hongyin, ZHANG Hailong, CHEN Zhijun, et al. Finite element analysis of train-track-bridge interaction system considering the influence of creep[J]. China Railway Science, 2013, 34(6): 13?19.

[12] CECíLIA VALE, RUI CAL?ADA. A dynamic vehicle-track interaction model for predicting the track degradation process[J]. Journal of Infrastructure Systems, 2014, 20: 1?13.

[13] 周智輝, 曾慶元. 列車-橋梁(軌道)系統(tǒng)振動(dòng)方程解的適定性分析[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2005, 27(5): 46?49. ZHOU Zhihui, ZENG Qingyuan. Well-posedness of vibration equation of train-bridge (track) system[J]. Mechanics in Engineering, 2005, 27(5): 46?49.

[14] 錢偉長(zhǎng). 變分法及有限元[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1980: 26?37. QIAN Weichang. Variational methodand finite element method[M]. Beijing: Science Press, 1980: 26?37.

[15] 普齊米尼斯基. 矩陣結(jié)構(gòu)分析理論[M]. 王德榮,譯. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1974: 25?36. PRZEMIENIECKI J S. Theory of matrix structural analysis[M]. WANG Derong, trans. Beijing: National Defense Industry Press, 1974: 25?36.

[16] 曾慶元. 彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)總勢(shì)能不變值原理[J]. 華中理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 28(1): 1?3. ZENG Qingyuan. The principle of total potential energy with stationary value in elastic system dynamics[J]. Journal of Huangzhong University of Science and Technology, 2000, 28(1): 1?3.

[17] 李東平. 車輛多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的有限元法[J]. 中國(guó)鐵道科學(xué), 2004, 25(5): 33?38. LI Dongping. The finite element method for establishing dynamical equations of vehicle multi-body system[J]. China Railway Science, 2004, 25(5): 33?38.

[18] 婁平, 曾慶元. 移動(dòng)荷載作用下板式軌道的有限元分析[J]. 交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào), 2004, 4(1): 29?33. LOU Ping, ZENG Qingyuan. Finite element analysis of slab track subjected to moving load[J]. Journal of Traffic and Transportation Engineering, 2004, 4(1): 29?33.

[19] 趙懷耘, 劉建新, 翟婉明. 板式軌道動(dòng)力響應(yīng)分析方法[J]. 交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào), 2007, 7(5): 19?23. ZHAO Huaiyun, LIU Jianxin, ZHAI Wanming. Analysis method of dynamic responses on slab track[J]. Journal of Traffic and Transportation, 2007, 7(5): 19?23.

[20] 曾慶元, 楊平. 形成矩陣的“對(duì)號(hào)入座”法則與桁梁空間分析的桁段單元法[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 1986, 8(2): 48?59. ZENG Qingyuan, YANG Ping. The “set-in-right-position” rule for forming structural matrices and the finite truss-element method for space analysis of truss bridges[J]. Journal of the China Railway Society, 1986, 8(2): 48?59.

[21] 翟婉明, 韓衛(wèi)軍, 蔡成標(biāo), 等. 高速鐵路板式軌道動(dòng)力特性研究[J]. 鐵道學(xué)報(bào), 1999, 21(6): 65?69. ZHAI Wanming, HAN Weijun, CAI Chengbiao, et al. Dynamic properties of high-speed railway slab tracks[J]. Journal of the China Railway Science, 1999, 21(6): 65?69.

[22] 陳果, 翟婉明. 鐵路軌道不平順隨機(jī)過(guò)程的數(shù)值模擬[J]. 西南交通大學(xué)學(xué)報(bào), 1999, 34(2): 138?142. CHEN Guo, ZHAI Wanming. Numerical simulation of the stochastic process of railway track irregularities[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 1999, 34(2): 138?142.

(編輯 陳燦華)

Vehicle-track system vertical vibration analysis based on wheel-railtime-varying contact stiffness

HE Tianlong1, 2, CHEN Xianmai1, 2, XU Lei3

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;2. National Engineering Laboratory for High Speed Railway Construction, Changsha 410075, China;3. Track Power State Key Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

A vertical and unified equation of the vehicle-track system was established with finite element theory and energy variation method, and wheel-rail time-varying contact stiffness replaced wheel-track nonlinear contact force on dynamic effects to simulate the natural contact between wheel and rail. The validity of the model was verified by inputting the long and medium-wave irregularity of track and pulsed shortwave in this model and the dynamic response was calculated. The tight contact model between wheel and rail, which was popular in China was compared and analyzed.The results show that analyzing dynamic response of the vehicle-track system at the tight contact model for the long and medium-wave irregularity of track is feasible. However, the rigid method between wheel and track will amplify the incentive effect of shortwave for the shortwave irregularity of track, the treatment method about jumping rail should be improved.

vehicle-track coupling system; time-varying contact stiffness; vertical vibration; energy variation method; unified equation

10.11817/j.issn.1672?7207.2017.08.023

U213.2；U211.5

A

1672?7207(2017)08?2142?10

2016?08?23；

2016?10?22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51478482)；中國(guó)鐵路總公司科技研究開發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(Z2013-G006)；武漢鐵路局科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(13G04)(Project(51478482) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(Z2013-G006) supported by the Science and Technology Research and Development of China Railway Corporation; Project(13G04) supported by the Science and Technology Development Plan of Wuhan Railway Administration)

陳憲麥，副教授，從事軌道動(dòng)力學(xué)、線路評(píng)估及養(yǎng)護(hù)維修等研究；E-mail：xianmaichen@aliyun.com