任紅君

[摘 要]

要解決一道復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵就在于思想方法的運(yùn)用，而思想方法的核心就是建立模型，它是問題解決的最重要組成部分，體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。本文簡要提出模型構(gòu)建的3個重要步驟，并以小學(xué)常見的數(shù)學(xué)類型題為例，通過列舉幾種基本的數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)用模型解題的簡便性，突出建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位。

[關(guān)鍵詞]

小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；模型思想

一、模型的構(gòu)建

小學(xué)的數(shù)學(xué)問題，多半是數(shù)學(xué)知識與實(shí)際情況相結(jié)合產(chǎn)生的。一部分包含生活實(shí)際，一部分聯(lián)系數(shù)學(xué)專業(yè)知識。而數(shù)學(xué)建模思想就是根據(jù)問題中所描述的復(fù)雜的已知條件，通過分析問題本質(zhì)，化繁為簡，抽取有用的數(shù)學(xué)信息，從而把生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號或圖像，并用數(shù)學(xué)文字來表示問題的過程。小學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最根本的知識，因此在日常數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，除了讓學(xué)生領(lǐng)會課本上的知識以外，教師更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和解決問題的能力，為以后初中和高中的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

教師在平時的課堂教學(xué)中，可適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生們提出一些他們平時會碰到的問題。比如幫父母賣水果、讓學(xué)生計(jì)算從家到學(xué)校的距離、判斷東西是否會按時送達(dá)等。通過講述一些身邊發(fā)生的情況，激發(fā)學(xué)生興趣，并逐漸上升到數(shù)學(xué)問題。通過觀察、比較、分析、綜合、抽象概括等方式，尋找必要條件，聯(lián)系已學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型，形成初步的建模思想觀念，通過數(shù)學(xué)建模，使小學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)知識與外部世界的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

（二）找出問題本質(zhì)，完成模型構(gòu)建

具體的情境能夠激發(fā)學(xué)生對問題的興趣，但如果沒有將具體情境轉(zhuǎn)化為抽象數(shù)學(xué)知識，那就無法完成建模。以“圓的認(rèn)識”為例，如果只是讓學(xué)生感知象棋、鐘表、車輪等具體的生活素材，而忽略尋找它們本質(zhì)的過程，那么，當(dāng)學(xué)生提取“圓”的模型時，呈現(xiàn)出來的一定是生活中圓形的具體實(shí)物，而不是數(shù)學(xué)意義上的圓。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生找出問題本質(zhì)的能力。從而建立真正意義上的數(shù)學(xué)模型，完成從具體到抽象的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建過程。

（三）拓展模型，回歸生活

從具體情境中構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)模型，再將已構(gòu)建的模型應(yīng)用到實(shí)際生活中，是完整的模型構(gòu)建的過程。通過將模型還原為具體可感的數(shù)學(xué)實(shí)際問題，使已經(jīng)構(gòu)建的模型得到擴(kuò)充和提升。如經(jīng)典的“雞兔同籠”問題模型就是通過研究“雞”“兔”建立起來的，而這個模型也可以用到許多實(shí)際問題中去。例如：自行車與小轎車一共有20輛，它們一共有64個輪子。問自行車有多少輛？小轎車有多少輛？這樣通過解答不同的問題，使模型得以拓展和擴(kuò)充。

二、模型的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型，一般來說，就是根據(jù)某種事物的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，來表示問題的一種特殊的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，許多內(nèi)容的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)模型。比如：一年級下冊書中講述過的圓角分的計(jì)算，其數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是小數(shù)的運(yùn)算；還有在奧數(shù)比賽中經(jīng)常會遇到的雞兔同籠問題，其數(shù)學(xué)模型實(shí)質(zhì)上就是二元一次整數(shù)方程。更進(jìn)一步來說，解決一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，就是對一種比較復(fù)雜抽象的特定情境用數(shù)學(xué)符號簡化成一個具體的模型。本文根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的不同類型總結(jié)了幾種常見的數(shù)學(xué)模型。

（一）數(shù)學(xué)文字模型

數(shù)學(xué)文字型應(yīng)用題，顧名思義，就是純文字的一類應(yīng)用題。這類應(yīng)用題通常比較復(fù)雜抽象，且無關(guān)的條件較多。建立文字型數(shù)學(xué)模型，就是將數(shù)學(xué)應(yīng)用題里一些可以忽略的無用條件去掉，將原題改寫成只有數(shù)學(xué)文字表達(dá)的模型。經(jīng)過這樣的改變后，應(yīng)用題的條件和問題都變得一目了然，解題思路也變得清晰許多。舉一道小學(xué)常見的應(yīng)用題為例：

例1：小華、小明、小剛?cè)齻€同學(xué)共有45個蘋果。如果小華向小明要了三個蘋果，然后又送給小剛5個。那么現(xiàn)在三個人擁有的蘋果數(shù)量恰好相同。問：小華、小明、小剛?cè)齻€同學(xué)原來各擁有多少個蘋果？

分析：根據(jù)題意，將有用的數(shù)學(xué)信息抽取出來，用相應(yīng)的數(shù)學(xué)文字模型表達(dá)。三個同學(xué)之間給來給去，沒有給別人。那么三個同學(xué)擁有的蘋果數(shù)相同，也就是現(xiàn)在每個同學(xué)有45÷3=15（個）。因?yàn)樾∪A向小明要了3個蘋果后，小明有15個蘋果。則原來小明的蘋果數(shù)為15+3=18（個）。又因?yàn)樾∪A給了小剛5個蘋果后，小剛有15個蘋果，則小剛原來擁有蘋果數(shù)為15-5=10（個）。則小華擁有的蘋果數(shù)為45-18-10=17（個）。這樣，通過將生活中常見的字眼“要”“送”等轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的“多”“少”，再進(jìn)一步簡化為“+”“-”，就建立起了簡單的數(shù)學(xué)文字型模型。通過建立模型，使解題變得簡單許多。

（二）圖式模型

圖式這一概念最初是由康德提出的。康德認(rèn)為圖式是“潛藏在人類心靈深處的”一種技術(shù)、一種技巧。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)不斷地引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圖式模型解決數(shù)學(xué)問題。建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圖式，有利于找準(zhǔn)問題的難點(diǎn)，化繁為簡、化難為易；有利于解決數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難；有利于學(xué)生形成自己獨(dú)特的知識體系，把腦海中的知識點(diǎn)連成一條線，進(jìn)而形成自己的知識網(wǎng)絡(luò)。以一道典型的線段圖為例：

例2：某校五年級學(xué)生一共有240人。其中男同學(xué)的人數(shù)比女同學(xué)人數(shù)的2倍還多30人。問學(xué)校五年級男生有多少人？女生有多少人？

分析：將女同學(xué)的總?cè)藬?shù)看作1份，則男同學(xué)的人數(shù)是2份+30，由此得到模型

通過線段模型，可以很清楚地看出：女生的人數(shù)為（240-30）÷3=70（人）男生的人數(shù)為70×2+30=170（人）。

（三）算數(shù)模型

算數(shù)方法是小學(xué)生最先接觸的解題方法。在訓(xùn)練學(xué)生的獨(dú)特思維和對數(shù)量關(guān)系的分析方法上，算數(shù)方法是不可替代的。以大家熟悉的問題為例：

例3：在下面空白處填上合適的數(shù)。

（1）2，5，8，11， ，17，20……endprint

（2）5，10，15，20， ，30，35……

（3）1，3，4，7， ，18，29……

分析：通過閱讀此題，我們能夠知道問題中的數(shù)與數(shù)之間有一種關(guān)系。通過觀察三個小問題，我們能夠直觀地看出（1）中后一個數(shù)比前一個數(shù)大3，容易求得（1）空白處的數(shù)字為11+3=14，而14也正好比后一項(xiàng)的數(shù)字17小3。在（2）中顯然數(shù)和數(shù)之間不是一種加法關(guān)系，第1個數(shù)為5×1，第2個數(shù)為5×2，通過歸納總結(jié)，可以得出第N個數(shù)為5×N。所以當(dāng)N為5時，得出（2）中第5個數(shù)為5×5=25。再觀察（3），雖然不能直接看出數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，但通過前后數(shù)字的作和，可得出這樣的關(guān)系式：1+3=4，3+4=7，經(jīng)過總結(jié)，我們能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間奇妙的關(guān)系，即：前兩個數(shù)的和等于后一個數(shù)。求得空白處的數(shù)字為4+7=11。在解決一些問題時，通過建立算數(shù)模型，能夠很容易找到這些看似雜亂的數(shù)字之間的聯(lián)系。

（四）分類模型

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)積極培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。使學(xué)生在面對復(fù)雜問題時，能夠第一時間從腦海里找到此類問題所對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。小學(xué)數(shù)學(xué)中絕大多數(shù)復(fù)雜的應(yīng)用題，我們都可以從中找到一個甚至幾個數(shù)學(xué)模型。也就是說，一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型往往是由幾個簡單的基礎(chǔ)模型組成的。因此，熟練理解并運(yùn)用基本模型解決問題就變得尤為重要。本文總結(jié)了幾個在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中常見的基礎(chǔ)模型：

三、結(jié)語

不同于中學(xué)、大學(xué)旨在培養(yǎng)數(shù)學(xué)高素質(zhì)人才的遠(yuǎn)大目標(biāo)，建模思想在小學(xué)階段的應(yīng)用主要在于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、思維能力、學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在遇到復(fù)雜問題時，能夠主動運(yùn)用建模思想來解決問題、分析問題，形成積極正確的學(xué)習(xí)態(tài)度。《課程標(biāo)準(zhǔn)》曾明確說明：“模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！币簿褪钦f，建立數(shù)學(xué)模型的最基本的目的，就是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看待外部世界，理解數(shù)學(xué)與外界的基本聯(lián)系。從根本來說，擁有建模意識，可以使學(xué)生在分析問題時更接近問題的本質(zhì)，從而考慮問題更精確、更全面。因此，數(shù)學(xué)建模思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用顯得尤為重要。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]姜啟源.數(shù)學(xué)建模[M].北京：北京高等教育出版社，1993.

[2]李羅平.淺談小學(xué)數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)活動中的運(yùn)用[J].新課程學(xué)習(xí)（中），2012（10）.

[3]陳蕾.小學(xué)數(shù)學(xué)建模的三個關(guān)注點(diǎn)[J].上海教育科研，2013（8）.endprint