葉素勤+伍惠儀

背景分析：

“模型思想”是新教材的十大核心詞之一。廣義地講，數(shù)學(xué)中各種概念、算法、解決問(wèn)題的方法等，都可以叫做數(shù)學(xué)模型。二模型思想就是針對(duì)要解決的問(wèn)題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的研究來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。查閱了一些資料后發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的建模思想較早適用于大學(xué)的學(xué)習(xí)，在小學(xué)中的應(yīng)用并不廣泛。然而在新教材的使用中，“模型”再一次被提出來(lái)，并作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵詞。小學(xué)生的年齡特征影響著他們對(duì)模型建構(gòu)的效率，所以在新教材理念下的數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，更加多的是使用數(shù)形結(jié)合的方式去構(gòu)建數(shù)學(xué)模式。結(jié)合這段時(shí)間區(qū)開(kāi)展的新教材使用學(xué)習(xí)，其中所學(xué)習(xí)研討的課例及自己在使用新教材中如何使用數(shù)形結(jié)合，建立模型，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

案例回放：

片段（一）

節(jié)選自海北小學(xué)朱子健老師的《乘法分配律》一課

一、創(chuàng)設(shè)情境、感知模型。

1、出示情境圖

春裝一套78元，

小劉買(mǎi)2套，小李買(mǎi)3套

兩家一共要付多少錢(qián)？

學(xué)生反饋解法：

（1）75×2×3

（2）75×2+75×3

（3）75×（2+3）

指導(dǎo)分析算式表達(dá)的意義

（2）75×2+75×3

中75×2表示什么意思，75×3有表示什么意思。

學(xué)生反饋：75×2表示小劉要付的錢(qián)，75×3表示小李要付的錢(qián)。

為什么最后要再相加？表示他們合一起的錢(qián)。

（3）75×（2+3）

=75×5

在這里（2+3）是什么？表示一共的套數(shù)。

75×5表示什么？表示一共要付的錢(qián)。

在剛才的幾個(gè)算式中都出現(xiàn)了乘法，它們?yōu)槭裁炊加贸朔▉?lái)解決問(wèn)題呢？

75×2表示什么：2個(gè)75相加。

75×3表示什么：3個(gè)75相加。

75×5表示什么：5個(gè)75相加的和

這兩個(gè)算式的結(jié)果怎么樣？“=”

如果不需要計(jì)算，你可以談?wù)勏旅娴年P(guān)系是否相等嗎？為什么？

75×2+75×3（=）75×（2+3）

因?yàn)椋?個(gè)75相加+3個(gè)75相加就是5個(gè)（2+3）75相加。所以左邊與右邊的算式表達(dá)的意義相同，結(jié)果也一定相等。

【設(shè)計(jì)意圖：利用學(xué)生生活中經(jīng)常經(jīng)歷的經(jīng)驗(yàn)去思考和提出解決的方法，在閱讀、分析、探討中初步感受解決這類問(wèn)題的模型方法，用意義來(lái)初步構(gòu)建出乘法分配律的基本模型。從感知中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。】

二、數(shù)形結(jié)合，驗(yàn)證模型。

結(jié)合圖，與同桌說(shuō)說(shuō)等式（6+4）×3=6×3+4×3為什么會(huì)成立。

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生基本感知兩數(shù)的和乘一個(gè)數(shù)=這兩個(gè)數(shù)分別乘同一個(gè)數(shù)的關(guān)系后，通過(guò)出示具體的直觀的方格圖，用形象的圖形，直觀清晰的讓學(xué)生明確為什么（6+4）×3=6×3+4×3，借用“形”來(lái)確立“數(shù)”的關(guān)系。使四年級(jí)的孩子更容易的接受抽象的乘法分配律，更形象的理解和建立乘法分配律。】

片段（二）節(jié)選自西關(guān)培正小學(xué) 唐嘉欣老師執(zhí)教的《解決問(wèn)題-鋪地磚》

一、情境導(dǎo)入

問(wèn)：（1）、能用學(xué)過(guò)的面積知識(shí)求出綜合電教室地板的面積嗎？（只列式不計(jì)算）

（2）每塊磚塊的面積能計(jì)算嗎？（只列式不計(jì)算）

（3）綜合電教室里用了多少塊這樣的地磚嗎？

展示兩種不同的鋪磚方法

【設(shè)計(jì)意圖：充分運(yùn)用學(xué)生生活中的情景，感受數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于生活，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題是生活的必要手段。通過(guò)研究學(xué)生身邊的綜合電教室的鋪磚問(wèn)題，初步感知解決鋪磚問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型?！?/p>

二、新授知識(shí)

1、閱讀理解

出示主題圖

請(qǐng)學(xué)生閱讀圖意

2、分析與解答

1）動(dòng)手操作，驗(yàn)證想法

2）匯報(bào)、展示。

3）列式解答。

3、回顧與反思

如何檢驗(yàn)解答結(jié)果是否正確？

通過(guò)電腦平臺(tái)再一次展示鋪磚的兩種方式

4、小結(jié)：

要解決鋪地磚的問(wèn)題可以有哪些方法？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直觀的操作，讓學(xué)生自我實(shí)踐如何鋪地磚，鋪地磚時(shí)要知道什么，鋪的時(shí)候可以怎樣鋪。從而形成解決鋪地磚問(wèn)題的具體方法的模型，從之前的感知模型順利上升到驗(yàn)證模型形成模型。通過(guò)最后的回顧與反思，借助平臺(tái)的顯示，再一次強(qiáng)化了鋪地磚問(wèn)題的解決模型，在學(xué)生形成了深刻的印象，便于學(xué)生理解和掌握。使知識(shí)進(jìn)一步升華。即給予了學(xué)生知識(shí)，更給予學(xué)生思考的方法，更有利于學(xué)生日后的學(xué)習(xí)與提升?！?/p>

片段（三） 長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)66頁(yè)例4及相關(guān)的練習(xí)

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷長(zhǎng)方形、正方形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，獲得從度量到計(jì)算來(lái)研究長(zhǎng)方形、正方形面積的方法。

2、理解長(zhǎng)方形、正方形面積公式的意義，掌握長(zhǎng)、正方形面積計(jì)算公式，能運(yùn)用公式進(jìn)行長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

3、在動(dòng)手操作中體驗(yàn)和激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，再通過(guò)自主探究得出結(jié)論，從中體會(huì)成功的快樂(lè)。

教學(xué)課時(shí)：第一課時(shí)

教學(xué)重難點(diǎn)：

重點(diǎn)：理解并掌握長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算公式。

難點(diǎn)：理解長(zhǎng)方形面積公式的意義。

教學(xué)準(zhǔn)備：

面積單位若干個(gè)（每個(gè)小組一份），方格紙、長(zhǎng)方形圖形等。

教學(xué)過(guò)程endprint

（一）激活舊知，回顧鋪墊。

下面每組圖形是由若干個(gè)面積是1平方厘米的小正方形所拼成的，請(qǐng)說(shuō)出每個(gè)圖形的面積，并比較每組圖形面積的大小，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

1）

（ ）平方厘米 ○（ ）平方厘米

通過(guò)上面的比較，你什么的發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)1：它們都用了6個(gè)1平方厘米大的小正方形所拼成，所以它們的面積一樣。

預(yù)設(shè)2：它們的形狀不同，但面積一樣。

師：為什么形狀不同，可面積還是一樣呢？

預(yù)測(cè)：它們的面積單位的個(gè)數(shù)相同，都是6個(gè)。

師：同學(xué)們真厲害，只有知道了圖形所含面積單位的個(gè)數(shù)，就是這個(gè)圖形的面積。下面看看這個(gè)長(zhǎng)方形，你們是否能求出它的面積？

【設(shè)計(jì)思路：通過(guò)直觀的數(shù)一數(shù)，讓學(xué)生再一次明確，直接給出面積單位時(shí)，可以通過(guò)數(shù)面積單位的個(gè)數(shù)來(lái)確定圖形的大小。通過(guò)形象直觀的數(shù)據(jù)來(lái)比較，從比較中體會(huì)決定圖形的大小，是由圖形所含有面積單位的個(gè)數(shù)來(lái)決定，與形狀無(wú)關(guān)，不同的形狀，面積也有可能相同。使學(xué)生再一次強(qiáng)化守恒的原理?！?/p>

（二）、經(jīng)歷感悟，探究新知

1、提出問(wèn)題，突出度量的本質(zhì)。

出示例4：一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)5厘米、寬3厘米，你能求出它的面積嗎？

5厘米 （為學(xué)生提供足夠數(shù)量的面積單位）

3厘米

請(qǐng)孩子們自己動(dòng)手?jǐn)[一擺，看你能不能求出它的面積。

2、匯報(bào)交流，邊擺邊說(shuō)你是怎樣求的它的面積的。

預(yù)設(shè)1：用小正方形（面積是1平方厘米）鋪滿這個(gè)長(zhǎng)方形，發(fā)現(xiàn)一共要用15個(gè)，所以這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是15平方厘米。

預(yù)設(shè)2：我不需要把這個(gè)長(zhǎng)方形擺滿面積單位，我只擺在長(zhǎng)邊上擺了5個(gè)面積單位，寬上擺了3個(gè)面積單位，因?yàn)槊啃袛[了5個(gè)面積單位，擺了3行，正好能鋪滿，所以用乘法：3×5=15（個(gè)），15個(gè)小正方形的面積之和也就是15平方厘米。

3、根據(jù)擺的兩種現(xiàn)象，思考以下問(wèn)題：

師：通過(guò)剛才的擺一擺，你能夠思考下面兩個(gè)問(wèn)題嗎？1、圖形面積的大小是由什么決定？2、通過(guò)哪兩個(gè)條件可以知道圖形含有多少個(gè)面積單位？

預(yù)設(shè)：圖形面積的大小是由這個(gè)圖形所含有面積單位的個(gè)數(shù)決定。

預(yù)設(shè)：通過(guò)每行的個(gè)數(shù)和行數(shù)就能知道圖形含有多少個(gè)面積單位。

小結(jié)：同學(xué)們都很厲害，能用不同的方法求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的面積就是由這個(gè)長(zhǎng)方形所含面積單位的個(gè)數(shù)決定的。

【設(shè)計(jì)思路：用動(dòng)手?jǐn)[一擺，屏幕根據(jù)學(xué)生的演說(shuō)一一顯示兩種擺放的全過(guò)程，讓學(xué)生明白兩種擺法的不同，讓學(xué)生感受二維面積的度量就是面積計(jì)算的本質(zhì)，知道和掌握用面積單位把圖形鋪滿，所用面積單位的個(gè)數(shù)就是這個(gè)圖形的面積。初步感知每行的個(gè)數(shù)和行數(shù)能幫助計(jì)算面積的大小?！?/p>

4、感悟關(guān)系，探索面積計(jì)算公式。

1）老師為每?jī)晌煌瑢W(xué)提供了12個(gè)大小是1平方厘米的小正方形，每次都要全部用這些小正方形，請(qǐng)各位同學(xué)拼出不同的長(zhǎng)方形，一邊操作，一邊記錄到下表中。

每行的個(gè)數(shù) 行數(shù) 面積 長(zhǎng)方形的長(zhǎng) 長(zhǎng)方形的寬

1

2

3

4

5

分工合作，兩位同學(xué)都要?jiǎng)悠饋?lái)，參與到操作活動(dòng)中。

2）匯報(bào)，尋找面積計(jì)算的方法。

分別匯報(bào)出各自擺放的長(zhǎng)方形的每行的個(gè)數(shù)和相應(yīng)的行數(shù)，數(shù)或算出拼成的長(zhǎng)方形的面積是多少？

3）引導(dǎo)觀察，歸納公式。

用課件一一展示學(xué)生拼成的長(zhǎng)方形，在圖中，讓學(xué)生明確的認(rèn)知到長(zhǎng)方形的每行的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，行數(shù)就是長(zhǎng)方形的寬度，長(zhǎng)方形的面等于每行的個(gè)數(shù)乘行數(shù)，也就是長(zhǎng)×寬。

板書(shū)：

長(zhǎng)方形的面積=每行的個(gè)數(shù)×行數(shù)

長(zhǎng)方形的面積= 長(zhǎng) × 寬

簡(jiǎn)單介紹字母表示法。

小結(jié)：長(zhǎng)方形的面積由長(zhǎng)與寬的乘積決定。知道了長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，就能求出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少？

【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生自己擺和記錄，使學(xué)生掌握收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)能力，通過(guò)數(shù)據(jù)的分析體會(huì)每行擺的個(gè)數(shù)就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，擺的行數(shù)就是長(zhǎng)方形的寬，長(zhǎng)方行的面積=每行的個(gè)數(shù)×行數(shù)=長(zhǎng)×寬?！?/p>

感悟和反思：

數(shù)學(xué)建模對(duì)學(xué)生的訓(xùn)練和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程相比較很不一樣，建模能培養(yǎng)學(xué)生觀察力、想象力、邏輯思維能力以及分析、解決實(shí)際問(wèn)題的總和素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)建模只用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際現(xiàn)象的過(guò)程，是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的言語(yǔ)和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。

而以上三個(gè)片段中均使用了直觀形象的圖形、鋪磚、擺小正方形等手段，直接演示出所研究知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)建模去構(gòu)建計(jì)算關(guān)系、計(jì)算公式、解決問(wèn)題等不同的知識(shí)點(diǎn)，有效的突破了知識(shí)點(diǎn)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

在建模中可以從以下環(huán)節(jié)入手，構(gòu)建模型：

1、重視情境創(chuàng)設(shè)，為學(xué)生建模構(gòu)出雛形。

數(shù)學(xué)知識(shí)都源于生活，數(shù)學(xué)知識(shí)也服務(wù)于生活。所以從孩子們最為熟悉的環(huán)境入手，充分挖掘他們的生活經(jīng)歷，運(yùn)用這些素材創(chuàng)設(shè)出與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的生活數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生趕到親切和陌生，研究的興致會(huì)更高，憑借孩子的生活經(jīng)驗(yàn)，能夠?qū)λ芯康膯?wèn)題或知識(shí)起到啟蒙或初步感知構(gòu)建，使學(xué)生在心中對(duì)所探討的知識(shí)構(gòu)出雛形，更有利于后面的學(xué)習(xí)和研究。

2、猜測(cè)、驗(yàn)證模型，用數(shù)形結(jié)合強(qiáng)化模型。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，它們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是有些圖形太過(guò)于簡(jiǎn)單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來(lái)，這時(shí)就需要給圖形賦值。在片段中，三位老師均采用了數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)構(gòu)建出知識(shí)的模型，她們主要在猜測(cè)與驗(yàn)證的過(guò)程中，借助直觀的幾何形體，以形塑數(shù)，用幾何形體的內(nèi)在聯(lián)系，塑造出“數(shù)”的關(guān)系，從而形成了模型。

3、鞏固強(qiáng)化模型，從“形”回歸到“數(shù)”。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休?！薄皵?shù)”與“形”反映了事物兩個(gè)方面的屬性。我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過(guò)抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。在課堂教學(xué)中，我們使用直觀的幾何形體構(gòu)建出模型，在強(qiáng)化鞏固模型的過(guò)程中，一定要把“形”回歸到“數(shù)”，才能達(dá)到解法簡(jiǎn)單。形是研討的一個(gè)過(guò)程，數(shù)才是最后要達(dá)到的目標(biāo)。

本人認(rèn)為數(shù)學(xué)建模專業(yè)化程度高，面向的人很少。但用數(shù)形結(jié)合來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，則更適合小學(xué)階段的孩子，更有利于培養(yǎng)孩子由具體到抽象，由空間到數(shù)學(xué)符號(hào)化的發(fā)展。其實(shí)數(shù)學(xué)建模離我們并不遙遠(yuǎn)，只要對(duì)數(shù)學(xué)感興趣，勇于探索，勇于思考。建模則隨時(shí)發(fā)生。endprint