張煒

[摘 要] “學(xué)為中心”的教育觀就是將教師“以教論學(xué)”轉(zhuǎn)變成“以學(xué)論教”的課堂教學(xué)模式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體. 在這樣的教育觀的指導(dǎo)下，教學(xué)探索的重點(diǎn)目標(biāo)是“學(xué)什么，為什么學(xué)，怎樣學(xué)”等重要內(nèi)容.

[關(guān)鍵詞] 教育觀；學(xué)為中心；教學(xué)探索

“學(xué)為中心”的教育觀是教與學(xué)的辯證關(guān)系的一種看法. 初中數(shù)學(xué)“學(xué)為中心”教育觀的基本觀點(diǎn)是：首先，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者. 其次，學(xué)生的學(xué)是課堂教學(xué)的核心，學(xué)什么、為什么學(xué)、怎樣學(xué)等應(yīng)成為教學(xué)探索的重要內(nèi)容. 特別是在學(xué)習(xí)過程中，除了獲得相應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的提升，更重要的是學(xué)習(xí)之后問題探索思維上的提升，基本數(shù)學(xué)思想方法及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的收獲. 但筆者在浙江省象山縣舉行的以浙教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)“5.2 分式的基本性質(zhì)”為載體的“同課異構(gòu)”式“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，課堂教學(xué)存在著共同的問題：學(xué)什么、為什么學(xué)、怎樣學(xué)等內(nèi)容存在缺失或者顯得突兀. 這有悖于“學(xué)為中心”的教育觀，不能滿足教與學(xué)和諧發(fā)展的需要. 基于此，筆者對(duì)本節(jié)課重新進(jìn)行了進(jìn)一步地教學(xué)探索，本文簡(jiǎn)錄其教學(xué)過程，并提供教后反思，以饗讀者.

教學(xué)過程簡(jiǎn)錄

第一階段：以探索有價(jià)值的“數(shù)學(xué)題材”為載體的活動(dòng)

環(huán)節(jié)1：課前預(yù)習(xí)——自主探索

課前，教師設(shè)計(jì)如下的“先行組織者”供學(xué)生課前預(yù)習(xí)，并允許合作探討.

（3）已知這樣一個(gè)表達(dá)式：+2b，請(qǐng)同學(xué)們?nèi)我饨o出你喜歡的a，b的值. 老師馬上就能給出答案，你知道其中的奧妙嗎？

反思：在問題（1）中每一組左邊的分式化成右邊的分式體現(xiàn)了什么思想？其數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

在問題（2）中，根據(jù)圖1和圖2的聯(lián)系，能給你哪些啟示？

在問題（3）中，你能發(fā)現(xiàn)老師速算的秘訣嗎？你從中獲得哪些啟發(fā)？根據(jù)分?jǐn)?shù)與分式的類比性，你從中獲得分式的哪些不變性？

環(huán)節(jié)2：匯報(bào)交流——矯正互學(xué)

上課一開始，教師出示課前布置的問題，要求學(xué)生匯報(bào)預(yù)習(xí)成果，并進(jìn)行交流. 必要時(shí)，教師進(jìn)行追問、激勵(lì)與評(píng)析. 在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行總結(jié).

問題（1）中的每一組彼此相等，前兩個(gè)等式的左邊，分子、分母采用擴(kuò)大倍數(shù)，分子、分母擴(kuò)大的倍數(shù)分別是6倍、10倍；后三個(gè)等式的左邊采用分子、分母縮小倍數(shù)，縮小的倍數(shù)分別是2a3，x，a-b. 每個(gè)分式從左邊到右邊是化歸的思想，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是將分式的變形轉(zhuǎn)化成分子、分母中整式的變形. 分子、分母的系數(shù)從分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，在變化中存在不變性. 后三個(gè)等式中從左到右的變形體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的簡(jiǎn)約性.

在問題（2）中圖1的寬=，圖2的寬=，在寬不變的前提下，面積與長(zhǎng)擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)一致，這是后續(xù)研究正比例與反比例的關(guān)鍵. 圖形的直觀性有利于直觀認(rèn)識(shí)周圍世界的變化，從變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；“數(shù)”的抽象通過“形”的直觀來刻畫，有利于學(xué)生用直觀、多維度的眼光看世界.

在問題（3）中分式約分之后為a-b，再合并同類項(xiàng)a-b+2b=a+b. 在運(yùn)算的過程中，分式的合理變形是分式運(yùn)算化難為易的重要環(huán)節(jié). 如何合理變形？如何學(xué)以致用？分式的基本性質(zhì)蘊(yùn)涵在分式的運(yùn)算中，類比不僅在分式基本性質(zhì)的產(chǎn)生中，同時(shí)也在分式的運(yùn)算中. 類比不能局限在分式基本性質(zhì)產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)上，應(yīng)具有全面性，既要與分?jǐn)?shù)變形上的橫向類比，也應(yīng)該注意與整式甚至是代數(shù)式的縱向比較.

第二階段：以生成“數(shù)學(xué)方法和理論”的引導(dǎo)探究

環(huán)節(jié)3：引導(dǎo)探究——合作研討

師：既然分式的基本性質(zhì)是形成分式變形的關(guān)鍵，是分式的約簡(jiǎn)和分式混合運(yùn)算中分母變形的核心依據(jù)，這決定了從數(shù)學(xué)角度來認(rèn)識(shí)分式性質(zhì)的必要性. 這節(jié)課的研究對(duì)象就是分式的基本性質(zhì)（揭示課題）.

接著教師提出以下具有挑戰(zhàn)性的問題：分式的性質(zhì)可以類比分?jǐn)?shù)，那么你認(rèn)為分式的基本性質(zhì)在運(yùn)用中會(huì)出現(xiàn)哪些易錯(cuò)點(diǎn)？請(qǐng)大家合作研討并發(fā)表自己的觀點(diǎn)，結(jié)合具體的實(shí)例來說明.

以下是學(xué)生在獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上小組合作交流后的匯報(bào)結(jié)果：

師：非常好，在變化中尋求不變性是研究數(shù)學(xué)的基本思想，但需要科學(xué)的方法. 分式的基本性質(zhì)從書寫形式上可以根據(jù)分子、分母的整式特點(diǎn)分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式；根據(jù)運(yùn)算的變形特點(diǎn)分為特殊（符號(hào)變化）到一般（字母系數(shù)的變形）；從運(yùn)算的類別可以劃分為分式的約分（縮小倍數(shù)）和分式的通分（擴(kuò)大倍數(shù)）；從運(yùn)算的題型可以劃分為三種表現(xiàn)形式，第一種是字母系數(shù)符號(hào)的變形，第二種是字母最高次項(xiàng)的系數(shù)的變形，第三種是分式的約分與通分. 這些都是認(rèn)識(shí)分式基本性質(zhì)的視角.

環(huán)節(jié)4：建構(gòu)理論，綜合概括

在此基礎(chǔ)上，進(jìn)行分式基本性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的概括.

把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，叫作分式的約分，約分要約去分子、分母所有的公因式. 分子、分母沒有公因式的分式叫作最簡(jiǎn)分式.

（1）本質(zhì)是同變與不變，即：分子與分母同時(shí)乘以或者除以不為零的整式（簡(jiǎn)稱同變），分式的值不變（簡(jiǎn)稱不變）.

（2）蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：從特殊（具體的實(shí)例）到一般（抽象的字母）；化歸（從分式整體的變形化為分式的分子、分母中整式的變形）；類比（分式的基本性質(zhì)類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)）.

（3）研究方法：觀察、猜想、歸納、概括、驗(yàn)證.

（4）數(shù)學(xué)價(jià)值：將分式的運(yùn)算化歸到整式的運(yùn)算，分式的簡(jiǎn)潔美.

（5）研究分式的基本性質(zhì)的基本過程是“三部曲”：①學(xué)什么——分式的基本性質(zhì). 即在分式的值不變的前提下，分式的變化化歸到分子、分母中整式的變化. ②為什么學(xué)——解決含有分式的運(yùn)算、變形等問題. ③怎樣學(xué)——方案1：類比分?jǐn)?shù)的除法法則，猜想、歸納、概括、驗(yàn)證、歸納法的運(yùn)用，從特殊到一般，化歸思想. 方案2：從生活材料的問題解決進(jìn)行抽象、概括、猜想、驗(yàn)證，數(shù)形結(jié)合思想.endprint

（6）分式與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖（圖3）.

第三階段：以解決“具體問題”為載體的數(shù)學(xué)應(yīng)用

環(huán)節(jié)5：嘗試應(yīng)用——檢測(cè)評(píng)價(jià)

教師提出3個(gè)問題，學(xué)生在獨(dú)立學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上交流合作，必要時(shí)教師進(jìn)行積極地認(rèn)知干預(yù)及解題過程的示范.

問題1：填空.

（3）用分式表示下列各式的商，并約分：①14ab÷（-21ab2）；②（3a2+a）÷（1+6a+9a2）.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步鞏固綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)解決實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化“為什么學(xué)”.

環(huán)節(jié)6：反思拓展——深化認(rèn)識(shí)

問題1：分式的分母中字母的系數(shù)化為整數(shù)要乘的倍數(shù)是怎樣確定的？

問題2：分式的分子與分母中含有字母最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，通常將負(fù)號(hào)放在哪里？

問題3：分式的分子與分母什么情形下適合約分？什么情形下適合通分？約分和通分與分式的基本性質(zhì)的關(guān)系是什么？

第四階段：以交流“問題清單”內(nèi)容為載體的反思總結(jié)

環(huán)節(jié)7：回顧思考——交流合作

教師在解題后反思的基礎(chǔ)上，列出“問題清單”，要求學(xué)生在思考的基礎(chǔ)上匯報(bào).

（1）分式的基本性質(zhì)是什么？學(xué)習(xí)分式的基本性質(zhì)有何意義？

（2）分式的約分與分式的基本性質(zhì)的關(guān)系是什么？你認(rèn)為約分時(shí)的注意事項(xiàng)有什么？

（3）分式的通分與分式基本性質(zhì)的關(guān)系是什么？你認(rèn)為分式通分時(shí)的注意事項(xiàng)是什么？

（4）分式的基本性質(zhì)中數(shù)學(xué)思想方法有哪些？

（5）你在學(xué)習(xí)的過程中獲得了哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？有何感觸？

（6）你認(rèn)為分式還應(yīng)該研究什么呢？

環(huán)節(jié)8：歸納提煉——課堂總結(jié)

教師在傾聽學(xué)生匯報(bào)后，讓學(xué)生欣賞分式的基本性質(zhì)的自述，這部分內(nèi)容可以移至課后.

Hi！我是分式的基本性質(zhì). 我的本質(zhì)是整式除法運(yùn)算的變化特點(diǎn). 我是在分式的值不變的前提下的一種書寫變形. 從運(yùn)算的方式上我的出現(xiàn)有兩種，一種是分子與分母擴(kuò)大倍數(shù)，通分的需要；另一種是分子與分母縮小倍數(shù)，約分的需要. 我的親緣是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，你想熟悉我的性格可以和我的兄弟（分?jǐn)?shù)）進(jìn)行類比. 從整式的特點(diǎn)細(xì)化我為三種形式：第一種是特殊的倍數(shù)（-1），也稱為符號(hào)變化，含有字母的最高次項(xiàng)的系數(shù)從負(fù)數(shù)變?yōu)檎龜?shù)；第二種是含有字母的系數(shù)從分?jǐn)?shù)（或小數(shù)）化為整數(shù)，這樣我的外表可以更簡(jiǎn)潔、靚麗；第三種是我在分式值不變的前提下，可以增肥也可以瘦身，也稱為通分（或約分）. 你們之所以喜歡我，因?yàn)槲沂欠质竭\(yùn)算的源泉. 沒有我的出現(xiàn)，分式的任何運(yùn)算都會(huì)失靈. 我的變形具有多樣性，但也具有不變性，抓住不變與同變是關(guān)鍵. 不變是分式的值不變，同變是指分子與分母同時(shí)改變. 你可以用認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的變形來理解我，也可以用化歸的思想，從整式除法的特點(diǎn)來認(rèn)識(shí)我的變化. 正確掌握我的變化，是后續(xù)分式運(yùn)算的依據(jù). 你在認(rèn)識(shí)我的過程中，還能發(fā)展智力、能力和個(gè)性.

教學(xué)反思

1. “學(xué)為中心”的課堂教學(xué)應(yīng)還給學(xué)生真實(shí)的“學(xué)習(xí)過程”

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）指出，有效的課堂教學(xué)在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求解決問題的過程. “學(xué)為中心”就是把學(xué)生對(duì)于知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的認(rèn)識(shí)過程作為課堂的核心，教學(xué)設(shè)計(jì)圍繞學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的思考過程. 有專家指出，有效的課堂教學(xué)本質(zhì)就是過程與結(jié)果的和諧關(guān)系. 知識(shí)的獲得既要有結(jié)果，也要有相應(yīng)的過程. 應(yīng)當(dāng)既有認(rèn)知的“前半段”，即：學(xué)什么，也要有認(rèn)知的“后半段”，即為什么學(xué)、怎樣學(xué). 認(rèn)知過程的前半段是感性到理性的認(rèn)識(shí)過程，以獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問題）；認(rèn)知過程的后半段是理性認(rèn)識(shí)的加深并反作用于實(shí)踐.

通過反思來欣賞數(shù)學(xué)結(jié)果，感悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等過程. 具體講，首先通過在預(yù)習(xí)先行組織者中提出問題，思考問題揭示課題的現(xiàn)實(shí)意義：學(xué)什么、怎樣學(xué). 其次，通過問題解決和解題后的反思揭示課題的數(shù)學(xué)意義：為什么學(xué). 課堂教學(xué)的最終目的是實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題思維的升華，是在以學(xué)習(xí)材料為載體的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的提升，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)象看本質(zhì)，體會(huì)解題過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法與解題經(jīng)驗(yàn)的提煉過程；是在“做中學(xué)”中實(shí)現(xiàn)“授之魚”到“授之漁”的發(fā)展過程.

在感受問題解決的全部過程中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是過程教育，揭示了課題學(xué)習(xí)的教育意義：數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，科學(xué)的認(rèn)識(shí)是需要探究過程的，是滿載著疑惑，不斷地進(jìn)行思維詮釋的憤悱的啟發(fā)過程. 這個(gè)過程不是教師教、學(xué)生聽、機(jī)械模仿的被動(dòng)式教學(xué)，是以學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷過程為核心，從不知到知之，再到熟知的歷程. 通過學(xué)生參與問題互動(dòng)式過程，得到問題的解決、方法的歸納，問題解決后方法、經(jīng)驗(yàn)的反思總結(jié)與提煉.

其具體操作方法有以下幾個(gè)特點(diǎn). ①類比結(jié)合確定學(xué)什么——分式的基本性質(zhì)，并初步形成理論. ②數(shù)形結(jié)合確定為什么學(xué)——分式的基本性質(zhì)現(xiàn)實(shí)意義化，化抽象為直觀. ③化歸結(jié)合確定怎樣學(xué)——分式的基本性質(zhì)，類比到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以溫故而知新，轉(zhuǎn)化到整式的認(rèn)識(shí)，提煉分式基本性質(zhì)的本質(zhì)——不變與同變. 這符合學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的認(rèn)識(shí)，通過從知識(shí)的形成、發(fā)展、理解、應(yīng)用的認(rèn)識(shí)過程使學(xué)生不僅知其然，更知其所以然，有利于教與學(xué)的和諧發(fā)展.

2. “學(xué)為中心”的課堂教學(xué)注重“四基”的落實(shí)

新課標(biāo)指出，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想與方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱四基）. 本節(jié)課在“學(xué)為中心”理論的指導(dǎo)下，注重“四基”的落實(shí). 一是通過課前預(yù)習(xí)體會(huì)課題學(xué)習(xí)的必要性，改變多數(shù)教師采用開門見山的導(dǎo)入模式，雖然開門見山入題比較快捷，但這樣的模式是教師“逼著”學(xué)生接受學(xué)習(xí)的內(nèi)容，成為學(xué)習(xí)的“容器”. 二是采用類比反思代替了學(xué)生高強(qiáng)度、大容量的訓(xùn)練，通過學(xué)生的自我總結(jié)，揭示分式基本性質(zhì)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的目標(biāo). 三是注重學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)會(huì)解題反思，反思問題中蘊(yùn)含的從現(xiàn)象看本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想的總結(jié)歸納、解題中蘊(yùn)含的“核心思想”. 四是實(shí)現(xiàn)從學(xué)生之間、師生之間解題經(jīng)驗(yàn)的分享，知識(shí)上的“導(dǎo)富濟(jì)貧”. 五是在課題學(xué)習(xí)中獲得“共同富?！?、通過鞏固練習(xí)后的問題清單式的課堂小結(jié)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，舉一反三，達(dá)到做一題、通一片的課堂效果.endprint

3. 用“預(yù)習(xí)先行者”來提供保障

課前的“先行組織者”有這樣一些功能：一是為學(xué)生提供溫故知新、新知識(shí)探索的平臺(tái)，避免教師上課開門見山，學(xué)生摸不著頭緒. 二是為新知識(shí)提供“導(dǎo)富濟(jì)貧”的先備條件，使得不同層次的學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)之前達(dá)到必要的知識(shí)儲(chǔ)備. 三是避免預(yù)習(xí)流于看書、直奔結(jié)果的膚淺的先行方式. 四是有利于打開理性思維的“閘門”，避免在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)教師主宰思考問題的一切. 五是避免教師唱獨(dú)角戲，操縱問題思考的過程. 六是有利于獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)的有效結(jié)合，調(diào)動(dòng)學(xué)生探求新知識(shí)的積極性，使得數(shù)學(xué)冰冷的美麗成為學(xué)生火熱的思考. 七是幫助學(xué)生克服畏懼心理，數(shù)學(xué)的思考不是少數(shù)人的聰明，而是大多數(shù)人歷經(jīng)千辛萬苦、充滿荊棘的探索，是人人都能嘗試、堅(jiān)持都會(huì)成功的坎坷過程. 八是為貫徹新課標(biāo)理念，面向全體學(xué)生，滿足人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同發(fā)展的需要.

4. 用有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)提升學(xué)習(xí)的有效性

一是通過預(yù)習(xí)先行者感受分式基本性質(zhì)的必要性，如分式的字母系數(shù)化為整數(shù)是為了書寫的需要，提倡數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約性；分式分子分母的擴(kuò)大（或縮小）目的是通分或約分的需要，提倡數(shù)學(xué)的連續(xù)性；不是單一因?yàn)轭惐确謹(jǐn)?shù)而產(chǎn)生，分式的符號(hào)問題也是為了解決分式中分子與分母整式符號(hào)變化的需要，是后續(xù)分式的混合運(yùn)算中符號(hào)變化的依據(jù). 二是通過類比分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的易錯(cuò)點(diǎn)反思分式基本性質(zhì)使用中的易錯(cuò)點(diǎn)，改變教師灌輸、一講到底的現(xiàn)象. 另外通過解題反思，發(fā)現(xiàn)分式的變形化歸到整式的變形，在運(yùn)用中的核心是抓住不變與同變，不變的是值，同變的是分子與分母的擴(kuò)大（或縮小）. 三是通過學(xué)生的自我總結(jié)、歸納，認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)運(yùn)算不是一味地做題，而是發(fā)現(xiàn)題目中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，解題的經(jīng)驗(yàn). 四是從分式出現(xiàn)的三種外在變形，“舉三反一”，提煉分式問題解決中的數(shù)學(xué)本質(zhì)——分式的基本性質(zhì). 揭示本節(jié)課的重點(diǎn)是認(rèn)識(shí)分式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用之一約分. 五是從學(xué)生的反思中化解難點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到分式的基本性質(zhì)中分式的同變與不變.

總之，我們?cè)凇皩W(xué)為中心”課堂理念的教學(xué)模式中駕馭課堂教學(xué)，應(yīng)給學(xué)生“真、實(shí)、細(xì)”的內(nèi)需. “真”的學(xué)習(xí)意義，摒棄為了學(xué)而學(xué)的機(jī)械模仿；“實(shí)”的課堂立意，充實(shí)、真實(shí)為學(xué)生所需；“細(xì)”的學(xué)習(xí)程序，從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，設(shè)置合理有效的問題情境，循序漸進(jìn)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)得輕松，學(xué)得快樂，學(xué)得透徹. 使課堂真正成為學(xué)生成長(zhǎng)的舞臺(tái)，這樣的課堂才會(huì)成為和諧的課堂.endprint