馬長(zhǎng)剛，李 青，陳 明，陳 麗

（空軍勤務(wù)學(xué)院航材管理系，江蘇徐州221000）

基于濾波模型的航空制導(dǎo)彈藥剩余壽命分布

馬長(zhǎng)剛，李 青，陳 明，陳 麗

（空軍勤務(wù)學(xué)院航材管理系，江蘇徐州221000）

如何更好地利用技術(shù)檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)航空制導(dǎo)彈藥剩余壽命，這是彈藥質(zhì)量控制研究中的一個(gè)重要方向。利用動(dòng)態(tài)主成分分析法提取了航空制導(dǎo)彈藥狀態(tài)檢測(cè)參數(shù)主成分，解決了彈藥檢測(cè)參數(shù)冗余、相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，為剩余壽命分布研究奠定了基礎(chǔ)?；跒V波模型和威布爾分布以及正態(tài)分布，建立了航空制導(dǎo)彈藥剩余壽命分布模型。通過(guò)實(shí)例，就能很好地將彈藥剩余壽命分布與彈藥故障聯(lián)系起來(lái)，并動(dòng)態(tài)掌握其剩余壽命分布情況。

動(dòng)態(tài)主成分分析；濾波模型；參數(shù)估計(jì)；剩余壽命預(yù)測(cè)

彈藥的剩余壽命是指在規(guī)定的環(huán)境條件下能夠貯存的時(shí)限，在此時(shí)限內(nèi)彈藥的性能和可靠性仍可滿(mǎn)足規(guī)定的要求，定義為從檢測(cè)點(diǎn)到下次出現(xiàn)故障的時(shí)間段，稱(chēng)之為彈藥剩余壽命[1]。彈藥是一種一次性使用的裝備物資，出廠之后絕大部分時(shí)間都處于貯存、維護(hù)及檢修狀態(tài)，一次使用便使其壽命結(jié)束。因此，對(duì)于價(jià)格昂貴的彈藥來(lái)說(shuō)，目前技術(shù)保障部隊(duì)采取的定期檢測(cè)方式不夠科學(xué)，很大程度上造成了彈藥壽命的減損和保障經(jīng)費(fèi)的浪費(fèi)。因此，根據(jù)制導(dǎo)彈藥個(gè)體的狀態(tài)檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)其剩余壽命分布情況就很有必要。

傳統(tǒng)主成分分析方法只考慮到了狀態(tài)信息間的互相關(guān)性，沒(méi)有考慮到每種狀態(tài)信息的自相關(guān)。如，制導(dǎo)彈藥的某一項(xiàng)測(cè)試信息，每次測(cè)試是在不同的時(shí)間點(diǎn)，它在每一個(gè)測(cè)試時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)之間是相互影響的。本文基于此，在從大量制導(dǎo)彈藥狀態(tài)檢測(cè)信息中提取關(guān)鍵特征量時(shí)，采用了動(dòng)態(tài)主成分分析的方法，同時(shí)，也考慮到了狀態(tài)信息間的互相關(guān)和自相關(guān)[2]。

用于壽命預(yù)測(cè)研究的模型主要有濾波模型和比例風(fēng)險(xiǎn)模型2種。兩者都能根據(jù)狀態(tài)檢測(cè)信息和壽命信息對(duì)彈藥的剩余壽命進(jìn)行有效地預(yù)測(cè)，比例風(fēng)險(xiǎn)模型主要是利用彈藥當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)信息對(duì)彈藥未來(lái)的故障率進(jìn)行預(yù)測(cè)，而濾波模型則利用彈藥到目前檢測(cè)時(shí)刻為止所有的狀態(tài)檢測(cè)信息預(yù)測(cè)彈藥的壽命分布。濾波模型考慮到了彈藥所有的歷史狀態(tài)檢測(cè)信息，信息較為完備，有大量的歷史測(cè)試數(shù)據(jù)做支撐，預(yù)測(cè)結(jié)果可信度更高。本文基于動(dòng)態(tài)主成分分析提取的特征狀態(tài)主成分，將其作為濾波模型中狀態(tài)檢測(cè)信息參數(shù)，建立了濾波模型，簡(jiǎn)化了濾波模型的計(jì)算復(fù)雜度，最終研究了彈藥的剩余壽命分布。

1 狀態(tài)檢測(cè)信息特征量提取模型

1.1 多維自回歸確定模型階數(shù)

設(shè)對(duì)某制導(dǎo)彈藥進(jìn)行狀態(tài)檢測(cè)信息的采集，共收集到m種狀態(tài)信息，用Zt表示t時(shí)刻狀態(tài)檢測(cè)信息向量，zt是各狀態(tài)檢測(cè)信息的值，則Zt=(z1t,z2t,…,zmk)是一個(gè)k維的隨機(jī)列向量，而且假設(shè)每種狀態(tài)檢測(cè)參數(shù)的歷史測(cè)試數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為n。應(yīng)該考慮到t,t-1,…,t-p時(shí)刻的狀態(tài)Zt,Zt-1,…,Zt-p之間的自相關(guān)關(guān)系。由于制導(dǎo)彈藥檢測(cè)參數(shù)多，數(shù)據(jù)量較大，如果考慮到t時(shí)刻前所有狀態(tài)檢測(cè)信息，會(huì)給計(jì)算帶來(lái)很大麻煩，所以本文提取狀態(tài)檢測(cè)信息特征量的關(guān)鍵是確定滯后期p。本文利用時(shí)序分析中多維自回歸（AR）確定彈藥狀態(tài)檢測(cè)信息在時(shí)序上的滯后期p，具體步驟如下。

步驟1：數(shù)據(jù)預(yù)處理。對(duì)均值不為零的原始狀態(tài)監(jiān)測(cè)信息做如下處理：

步驟2：差分平穩(wěn)化檢驗(yàn)。經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理，此時(shí)的狀態(tài)檢測(cè)信息滿(mǎn)足均值為0的條件，對(duì)其進(jìn)行差分平穩(wěn)化處理，使其成為平穩(wěn)序列，先對(duì)其進(jìn)行一階差分得到一階差分序列[3]?Zt=(?Zt1,?Zt2,…,?Zt(n-1))：

一階差分之后，利用自協(xié)方差式（3）判斷是否滿(mǎn)足平穩(wěn)序列要求：

若Ck衰減至0或接近于0，則可認(rèn)為滿(mǎn)足平穩(wěn)條件，否則，利用二階差分式（4）對(duì)一階差分序列再進(jìn)行差分，得二階差分序列：

依次類(lèi)推，直至滿(mǎn)足條件。

步驟3：確定AR模型的階數(shù)。由步驟2差分變換后得到彈藥狀態(tài)檢測(cè)信息的平穩(wěn)時(shí)間序列，建立k維狀態(tài)變量的AR模型[4]。

定義：設(shè)有k維AR(p)模型：是k×1維零均值平穩(wěn)序列，φj(j=1,2,…p)是k×k維矩陣，at是k×1維白噪聲序列，at～N(0,)，并且具有零均值和方差的隨機(jī)變量，則{zt}就稱(chēng)為k維自回歸AR(p)序列，p稱(chēng)為模型的階[5]。

根據(jù)以上定義，建立本文狀態(tài)檢測(cè)信息條件下的AR(p)模型：

文獻(xiàn)[6]中提到的最小二乘估計(jì)法，對(duì)式（5）中的μ、φ1,φ2,…,φp、未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，并根據(jù)估計(jì)值取顯著性水平α對(duì)AR(p)模型進(jìn)行F檢驗(yàn)，直至模型通過(guò)檢驗(yàn)，AR模型的階數(shù)p得以確定。

1.2 DPCA提取主成分

主成分分析法（PCA）利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)，即主成分，其中每個(gè)主成分都能夠反映原始變量的大部分信息，且所含信息互不重復(fù)[7]。PCA方法中僅僅考慮到了狀態(tài)監(jiān)測(cè)信息間的互相關(guān)關(guān)系，而動(dòng)態(tài)主成分（DPCA）不僅考慮到了狀態(tài)檢測(cè)信息間的互相關(guān)而且考慮到同一狀態(tài)檢測(cè)信息不同時(shí)序時(shí)刻間的自相關(guān)。

在求得模型階次p的基礎(chǔ)上，考慮到制導(dǎo)彈藥狀態(tài)檢測(cè)信息間既互相關(guān)又在不同時(shí)序上自相關(guān)，采用動(dòng)態(tài)主成分分析法提取狀態(tài)檢測(cè)信息的主成分，步驟如下。

步驟1：計(jì)算協(xié)方差矩陣。通過(guò)1.1中時(shí)序模型的計(jì)算檢驗(yàn)，確定模型的階次為p，狀態(tài)檢測(cè)信息間的協(xié)方差矩陣由互相關(guān)協(xié)方差矩陣C(0)，以及自相關(guān)協(xié)方差矩陣C(1),C(2),…,C(p)組成，此時(shí)的協(xié)方差矩陣為一個(gè)由(p+1)×(p+1)個(gè)m×m矩陣塊組成的協(xié)方差矩陣，即C。每一矩陣塊表示為：

式（6）中：i,j=1,2,…,p+1；Zit表示t時(shí)刻狀態(tài)檢測(cè)信息i的檢測(cè)值；表示其檢測(cè)值的平均值。

步驟2：確定相關(guān)矩陣。由協(xié)方差矩陣求出矩陣C的相關(guān)矩陣R=(rij)，i,j=1,2,…,m×(p+1)：

步驟3：計(jì)算相關(guān)矩陣的特征值。假設(shè)λ1≥λ2≥…≥λm(p+1)是相關(guān)矩陣R的m×(p+1)個(gè)特征值，且已按大小順序進(jìn)行排序。

步驟4：提取主成分。主成分的提取，通過(guò)主成分的綜合貢獻(xiàn)率進(jìn)行確定，根據(jù)步驟3中的特征值的大小排序，前k個(gè)主成分的綜合貢獻(xiàn)率[8]為：

根據(jù)綜合貢獻(xiàn)率要求就可確定出k個(gè)主成分，即滿(mǎn)足貢獻(xiàn)率條件的前k個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的測(cè)試參數(shù)。

2 濾波模型

由卡爾曼（R.E.Kalman）1960年首次提出的卡爾曼濾波是一種線性最小方差估計(jì)，適用于多維隨機(jī)估計(jì)及非平穩(wěn)過(guò)程。由于這些特點(diǎn)，卡爾曼濾波理論一經(jīng)提出即受到了工程應(yīng)用的重視[9]。

2.1 模型建立

在制導(dǎo)彈藥剩余壽命預(yù)測(cè)中，xi為所要預(yù)測(cè)的剩余壽命，yi為所獲得的檢測(cè)狀態(tài)信息，Yi為到ti時(shí)刻為止所獲得的累積信息，在xi-1＞ti-ti-1的前提下，ti時(shí)刻的剩余壽命等于ti-1時(shí)刻的剩余壽命減去在時(shí)刻ti和時(shí)刻ti-1之間的間隔時(shí)間；目標(biāo)是確定剩余壽命分布p(xi|Yi)，濾波模型[6]就是基于這樣的思路建立的。要求p(xi|Yi)，就是求p(xi|Yi,xi-1＞ti-ti-1)的值，即：

根據(jù)式（9）～（12）可得：

為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，能夠更好地利用動(dòng)態(tài)主成分分析提取得到當(dāng)前制導(dǎo)彈藥的狀態(tài)檢測(cè)主成分信息，建立制導(dǎo)彈藥剩余壽命預(yù)測(cè)模型，對(duì)式（13）作進(jìn)一步推導(dǎo)，可得p種狀態(tài)檢測(cè)主成分信息下制導(dǎo)彈藥的剩余壽命分布模型[10]。

只要p(x0|Y0)和p(yi|xi)已知，便可求出p(xi|Yi)，這樣，在制導(dǎo)彈藥主成分信息檢測(cè)值不斷更新的情況下剩余壽命分布形式也不斷更新，能夠動(dòng)態(tài)掌握彈藥的剩余壽命分布情況。

2.2 參數(shù)估計(jì)

建立了式（14）所示的剩余壽命預(yù)測(cè)模型后，在已有的歷史檢測(cè)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，可通過(guò)參數(shù)估計(jì)的方法確定制導(dǎo)彈藥剩余壽命具體的分布形式。本文選用極大似然估計(jì)法[11]來(lái)估計(jì)分布方程中的未知參數(shù)。

假設(shè)參數(shù)估計(jì)模型中所用歷史檢測(cè)數(shù)據(jù)的樣本對(duì)象數(shù)量為m，第i個(gè)樣本對(duì)象在故障發(fā)生前最近一次檢測(cè)的次數(shù)為ni，第i個(gè)樣本對(duì)象的第j個(gè)檢測(cè)參數(shù)為yij(i=1,2,…,m,j=1,2,…,ni)，在tij時(shí)刻第i個(gè)樣本對(duì)象的第j次檢測(cè)時(shí)的剩余壽命為xij，第i個(gè)對(duì)象的故障時(shí)間為tif，到tij時(shí)刻第i個(gè)樣本對(duì)象的歷史狀態(tài)數(shù)據(jù)為Yi,j，k是由前面提取出來(lái)的主成分種類(lèi)數(shù)。根據(jù)以上假設(shè)，由條件概率密度函數(shù)確定的似然函數(shù)為：

由式（9）～（12）整理可推得k種主成分下的似然函數(shù)為：

由上面的通式，假設(shè)制導(dǎo)彈藥的剩余壽命xi服從威布爾分布[12]，其狀態(tài)信息yi則服從正態(tài)分布，即：

可知，需要估計(jì)的參數(shù)有A、B、C、α、β，將式（17）、（18）代入式（16）可得：

則對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

知道了對(duì)數(shù)似然函數(shù)，只需對(duì)其中各個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)，解方程組就可求解各參數(shù)。

在此基礎(chǔ)上，各參數(shù)值代入式（17）～（20），并將式（17）、（18）代入式（14）可求得制導(dǎo)彈藥剩余壽命的分布函數(shù)為：

至此，完整的制導(dǎo)彈藥剩余壽命分布的預(yù)測(cè)模型就建立好了，只要有制導(dǎo)彈藥完整的歷史檢測(cè)數(shù)據(jù)，就可以求得求解出制導(dǎo)彈藥剩余壽命的動(dòng)態(tài)分布函數(shù)[13]，為制導(dǎo)彈藥狀態(tài)的評(píng)價(jià)和后期剩余壽命的變化趨勢(shì)的分析奠定基礎(chǔ)。

3 制導(dǎo)彈藥剩余壽命預(yù)測(cè)實(shí)例

實(shí)驗(yàn)共收集到5枚某型號(hào)制導(dǎo)彈藥完整歷史檢測(cè)數(shù)據(jù)以及壽命數(shù)據(jù)，由于每枚彈藥的檢測(cè)參數(shù)較多，在求解剩余壽命中，迭代過(guò)程計(jì)算量較大，而且不同參數(shù)以及同一參數(shù)在不同時(shí)刻間都互相影響，因而本例先應(yīng)用動(dòng)態(tài)主成分分析法提取出幾個(gè)關(guān)鍵的主成分，然后再進(jìn)行剩余壽命分布的預(yù)測(cè)。

根據(jù)動(dòng)態(tài)主成分分析算法，利用Matlab編寫(xiě)了狀態(tài)特征信息提取程序，程序輸入每枚彈藥完整的狀態(tài)檢測(cè)數(shù)據(jù)矩陣{Zti}，按大小順序輸出特征值以及AR模型的階數(shù)p，最終根據(jù)式（8）確定主成分。本例中，該型制導(dǎo)彈藥的測(cè)試參數(shù)共有直流供電電流、反饋電壓、導(dǎo)通電阻、XX線電壓等5項(xiàng)，即m=5，總的測(cè)試次數(shù)n=6，最終求得特征值見(jiàn)表1，階數(shù)p=2，i代表不同的測(cè)試參數(shù)。

表1 相關(guān)矩陣特征值Tab.1 Eigen values of the correlation

根據(jù)貢獻(xiàn)率式（8），以貢獻(xiàn)率0.80為條件，可得第一個(gè)特征值綜合貢獻(xiàn)率為0.8040，滿(mǎn)足貢獻(xiàn)率要求，即它所對(duì)應(yīng)的第4項(xiàng)測(cè)試參數(shù)XX線電壓為本例提取出的主成分。因此，可知濾波模型中歷史檢測(cè)數(shù)據(jù)的樣本對(duì)象數(shù)量為m=5，結(jié)合每枚彈藥完整的狀態(tài)檢測(cè)數(shù)據(jù)矩陣，編寫(xiě)了濾波模型的Matlab計(jì)算程序，估計(jì)了所求分布函數(shù)p(xi|Yi)中各未知參數(shù)，仿真結(jié)果為：A=4.2352，B=15.5427，C=1.6542，σ=1.9965，α=0.0235，β=2.331。將各參數(shù)代入式（21），便可由狀態(tài)主成分在對(duì)應(yīng)100 d、360 d、720 d3個(gè)不同檢測(cè)點(diǎn)狀態(tài)累積后的剩余壽命分布情況。主成分3個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)值如表2所示。

表2 狀態(tài)值Tab.2 State value

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可得到剩余壽命密度分布函數(shù)，如圖1所示，就是p(xi|Yi)的分布曲線。

從圖1中可以看出，曲線的最高點(diǎn)代表了當(dāng)剩余壽命達(dá)到這個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)時(shí)，航空制導(dǎo)彈藥的故障率是最高。根據(jù)這一結(jié)果，在實(shí)際的技術(shù)保障過(guò)程中，完全可以根據(jù)分布曲線合理安排制導(dǎo)彈藥的狀態(tài)檢測(cè)或者維修等保障活動(dòng)，提高保障的有效性，從而很好地避免制導(dǎo)彈藥的過(guò)剩檢測(cè)或者維修檢測(cè)間隔不合理影響保障效果的情況。

4 結(jié)論

本文將動(dòng)態(tài)主成分分析法和濾波模型有效地結(jié)合起來(lái)，提取了航空制導(dǎo)彈藥狀態(tài)檢測(cè)參數(shù)主成分，解決了彈藥檢測(cè)參數(shù)冗余、相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上，建立了航空制導(dǎo)彈藥剩余壽命分布模型?；谕紶栆约罢龖B(tài)分布，利用收集到的航空制導(dǎo)彈藥原始檢測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)例驗(yàn)證了剩余壽命分布預(yù)測(cè)模型的合理性與實(shí)用性。對(duì)航空制導(dǎo)彈藥狀態(tài)檢測(cè)周期的決策優(yōu)化及維修保養(yǎng)活動(dòng)的安排具有重要的參考價(jià)值。

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Residual Life Distribution for Air Guided Ammunition Based on Filtering Model

MA Changgang,LI Qing,CHEN Ming,CHEN Li
（Department of Aviation ammunition Air Force Logistics College Department of Material Management,Xuzhou Jiangsu 221000,China）

How to make better use of test data to predict Residual life of Air Guided Ammunition is an important direction for Ammunition Quality control.We extract principal component for text data of Air Guided Ammunition by Dynamic prin?cipal component analysis(DPCA),which solve the problem as Detection parameter redundancy and inter relating,besides,which lays the foundation for the research of Residual life distribution.The Residual life distribution model was estab?lished based on Filtering model,WEIBULL distribution,and Normal distribution.We can commendably associate Residu?al life distribution with faults,and dynamically grasp of Residual life distribution.

dynamic principal component analysis;filtering model;parameter estimation;residual life prediction

TJ415.+4

A

1673-1522（2017）04-0395-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.04.010

2017-03-22；

2017-05-18

馬長(zhǎng)剛（1992-），男，碩士生。