張永順，葛啟超，丁姍姍

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陣元缺損下的波達方向估計算法

張永順1,2，葛啟超1，丁姍姍1

(1. 空軍工程大學防空反導學院 西安 710051；2. 信息感知技術協(xié)同創(chuàng)新中心 西安 710077)

為解決在均勻線陣中陣元降采樣或其他因素引起的陣元損壞導致角度估計精度下降的問題，該文對缺損的采樣數(shù)據(jù)矩陣進行Hankel矩陣變換，利用Hankel矩陣變換的性質(zhì)以及矩陣填充理論，將不滿足矩陣填充理論的接收數(shù)據(jù)矩陣變換為適用于矩陣填充理論的數(shù)據(jù)矩陣，通過不定增廣拉格朗日乘子法精確重構(gòu)出完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，實現(xiàn)了精確的波達方向估計。仿真實驗驗證了該方法在均勻線陣陣元出現(xiàn)損毀的情況下，仍能實現(xiàn)對角度的精確估計，同時給出了算法隨陣元缺損程度變化的性能變化趨勢。

矩陣填充; Hankel矩陣; 不定增廣拉格朗日乘子法; 波達方向估計

隨著陣列天線廣泛應用于軍事領域，陣列信號處理技術得到了迅速地發(fā)展，波達方向(direction of arrival, DOA)估計作為陣列信號處理的一個重要組成部分，得到了眾多學者的廣泛關注。經(jīng)過幾十年的不斷研究，先后提出了如多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法這類子空間類算法以及其他算法[1-3]。但隨著陣列規(guī)模的不斷增加，整個信號處理過程處理的數(shù)據(jù)量不斷增加，使得算法的實時性變差，因此，人們在探測少量目標時常常會關閉部分陣元進行陣元降采樣以降低運算復雜度，但是會降低角度估計精度。同時，隨著陣列規(guī)模的擴大，提高了陣元損壞的概率，一旦陣元出現(xiàn)損壞，將會影響系統(tǒng)的角度估計精度。這兩種情況可認為是相應位置上的陣元出現(xiàn)缺損，陣元接收數(shù)據(jù)未知，傳統(tǒng)估計未知采樣數(shù)據(jù)的方法如內(nèi)插和學習[4-5]方法過于依賴先驗知識，限制了在實際中的應用，如何解決這類問題成為了目前的研究熱點。

文獻[6-7]提出的矩陣填充(matrix completion, MC)理論利用矩陣少量的已知元素，通過對矩陣低秩性的約束可精確重構(gòu)出原始矩陣。MC理論廣泛應用于雷達成像[8]、多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)體制雷達[9]以及波達方向估計中[10-11]，并取得了大量富有成效的成果。但在實際處理過程中，對陣元的降采樣或可能出現(xiàn)的陣元損壞會導致接收數(shù)據(jù)矩陣的某一行上缺失全部數(shù)據(jù)，而傳統(tǒng)的MC方法要求采樣矩陣的每一行或每一列至少有一個非零元素，以保證準確恢復出原始的接收數(shù)據(jù)矩陣。因此，文獻[11]將單次快拍下接收到的列向量數(shù)據(jù)變換為等效低秩矩陣，通過MC理論有效地恢復了原始數(shù)據(jù)，但由于僅利用單次觀測數(shù)據(jù)，估計精度較低，而且系統(tǒng)自由度受到陣元數(shù)量的限制，限制了其在實際中的應用。

本文對均勻線陣陣元缺損位置的接收數(shù)據(jù)做置零處理，使接收數(shù)據(jù)矩陣出現(xiàn)全零行，將接收數(shù)據(jù)矩陣每一列變換成一個Hankel矩陣，并將所有生成的Hankel矩陣構(gòu)成一個二重塊Hankel矩陣，獲得一個全新的數(shù)據(jù)矩陣。通過對變換后的矩陣進行填充恢復，再通過反變換獲得完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，因此，實現(xiàn)了在陣列接收存在陣元缺損的情況下，獲得了高精度的角度估計值。

1 陣列信號接收模型

由式(1)可知，在理想情況下當同時接收個信源目標的信號時有：

(2)

可簡寫式(2)為：

由于個遠場窄帶目標相互獨立，可知：

(5)

對于多次快拍的情況，則有：

(7)

由式(6)可知：

因此，本文認為陣列天線接收到的數(shù)據(jù)矩陣是低秩的；一般情況下，在接收信號時會有一定的噪聲進入，一般表示為：

(9)

當存在噪聲時，一般認為數(shù)據(jù)矩陣滿足近似低秩性，仍然適用MC理論[12]。

2 基于Hankel矩陣變換的矩陣填充算法在DOA估計中的應用

2.1 矩陣填充基本模型

由于數(shù)據(jù)矩陣的低秩性，當滿足強不相干性[12](strong incoherence property, SIP)條件時，可通過最小秩約束利用已知元素求解出唯一存在的原始矩陣，這個約束優(yōu)化問題可表示為：

(11)

或

不定增廣拉格朗日乘子法[14](inexact augmented Lagrange multiplier, IALM)相對于經(jīng)典的奇異值閾值(singular value thresholding, SVT)算法[7]穩(wěn)定性更好、運算量更小，因此，本文選擇使用IALM算法對數(shù)據(jù)矩陣進行重構(gòu)恢復。算法的具體步驟和參數(shù)選擇見文獻[15]。

2.2 Hankel矩陣變換

定義一個二重塊Hankel矩陣結(jié)構(gòu)，如：

(14)

綜上，本文提出的算法可總結(jié)如下：

1) 對接收到的數(shù)據(jù)矩陣在陣元缺損位置做置零處理，獲得數(shù)據(jù)矩陣，并將變換成具有式(14)形式的二重塊Hankel矩陣；

3) 通過反變換獲取完整的接收數(shù)據(jù)矩陣；

4) 利用MUSIC算法估計出信源目標角度。

2.3 性能分析

定理1[16]：矩陣為具有形式(14)的維矩陣，為一個大小為的隨機位置矩陣，假設參數(shù)為小于0.1的正常數(shù)，則存在一個只與相關的正常數(shù)，當：

(17)

3 仿真與分析

為簡化仿真，將對陣元的隨機降采樣等效為陣元出現(xiàn)的隨機缺損。仿真條件設置為：均勻線陣的陣元數(shù)，陣元間距為半波長，采樣快拍數(shù)，設蒙特卡羅實驗次數(shù)為100次。

仿真1 為直觀比較驗證本文算法的有效性，設陣列分別接收來自10°、13°和65° 3個不相干的遠場窄帶目標信號，功率經(jīng)單位化后分別為1.5、1和2，信噪比為20 dB，隨機關閉陣列中的8個陣元。仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 隨機陣元降采樣下的DOA估計

由圖1可知：直接對陣元降采樣數(shù)據(jù)進行矩陣填充處理后再做DOA估計與直接用陣元降采樣數(shù)據(jù)進行DOA估計效果類似，說明此時MC理論失效；而本文算法通過對降采樣數(shù)據(jù)進行變換后再進行MC處理，得到的DOA估計結(jié)果近似于利用完整的陣列接收數(shù)據(jù)直接DOA估計的結(jié)果，獲得的空間譜峰值明顯高于直接利用陣元降采樣數(shù)據(jù)進行DOA估計的情況，角度的分辨率更高，明顯提高了陣元降采樣時DOA估計的精度，而且對于多目標信源功率變化時仍能有效估計出多個目標信源的角度信息。

仿真2 為考慮信噪比的變化對估計性能的影響，設陣列天線接收來自45°的遠場窄帶信號，信噪比以3 dB為間隔、在區(qū)間[-7 dB，21 dB]內(nèi)變化，其余條件設置同仿真1。由于對缺損數(shù)據(jù)直接進行矩陣填充處理是失效的，因此在仿真2中不考慮這一情況，利用角度估計的均方根誤差來反映角度估計性能的變化[17]，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 算法性能隨信噪比的變化曲線

由圖2不難發(fā)現(xiàn)：隨著信噪比的不斷增大，3種情況下算法的估計精度均越來越高；本文算法和完整的接收數(shù)據(jù)直接進行DOA估計性能相近，均優(yōu)于直接利用陣元降采樣數(shù)據(jù)進行DOA估計的性能，進一步說明了本文算法的有效性。

仿真3 為考慮可用陣元數(shù)對陣列角度估計性能的影響，在仿真中設陣元缺損數(shù)量從0～16以2為間隔依次增加，信噪比設定為-5 dB，信號入射方向為45°，以同等陣元數(shù)的均勻線陣的性能為對比，利用角度估計的均方根誤差來反映角度估計性能的變化。仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同陣元數(shù)時角度估計的性能

由圖3可以看出：隨著可用陣元數(shù)目的降低(陣列缺損陣元數(shù)不斷增加)，系統(tǒng)角度估計性能不斷下降。陣列存在陣元缺損時導致可用陣元數(shù)減少，但經(jīng)本文算法處理后仍能獲得等效的完整陣列，陣列孔徑明顯優(yōu)于相同可用陣元數(shù)的均勻線陣，因此，存在陣元缺損的陣列通過本文算法獲得的角度估計性能明顯高于相同可用陣元數(shù)的均勻線陣。因此，在實際使用中，可以采用陣元降采樣的方式估計目標角度，在保證獲取足夠精度的同時，提高系統(tǒng)的利用效率。

4 結(jié)束語

本文提出了一種陣元缺損情況下精確DOA估計的新方法，通過對陣元缺損位置接收數(shù)據(jù)的置零處理，利用Hankel矩陣變換的性質(zhì)，將不滿足SIP條件的接收數(shù)據(jù)矩陣變換為滿足SIP條件的新矩陣，再通過MC理論精確重構(gòu)出了完整的接收數(shù)據(jù)矩陣，最終獲得了陣元缺損情況下的精確DOA估計。本文所提方法適用于多種信號模型，如何解決算法在二維角度估計、相干源目標以及非均勻線陣情況下的應用是下一步需要解決的問題。

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編 輯 稅 紅

A Novel DOA Estimation Algorithm in Conditions of Array Elements Deficiency

ZHANG Yong-shun1,2, GE Qi-chao1, and DING Shan-shan1

(1. Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University Xi’an 710051; 2. Collaborative Innovation Center of Information Sensing and Understanding Xi’an 710077)

In order to solve the accuracy decrease in angle estimation caused by the undersampling or the damage of the array elements in the uniform linear array, the matrix completion theory and Hankel matrix characteristic are exploited to transform the undersampling data matrix into a two-fold Hankel matrix. The completed data matrix is reconstructed by inexact augmented Lagrange multiplier method and the accurate angle estimation is achieved. Simulation results demonstrate that the proposed method is still effective with damaged and missing elements and show the tendency of the proposed method versus the different elements damage of the uniform linear array.

direction of arrival estimation; Hankel matrix; inexact augmented Lagrange multiplier method; matrix completion

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.04.004

2016-04-26；

2017-02-24

國家自然科學基金(61372033，61501501)

張永順(1961-)，男，博士，教授，主要從事雷達陣列信號處理和雷達綜合電子戰(zhàn)技術方面的研究.