徐麗琴, 范 琳, 張 霞

(1.西安郵電大學 電子工程學院, 陜西 西安 710121; 2.西安郵電大學 計算機學院, 陜西 西安 710121)

多輸入多輸出(multiple input multiple output， MIMO)雷達利用多個發(fā)射天線發(fā)射相互正交的信號，在接收端利用多個接收天線對回波信號進行處理，通過匹配濾波分離出各個通道的信號。由于MIMO雷達擁有傳統(tǒng)相控陣雷達不可比擬的優(yōu)勢，因此引起了國內外學者的廣泛關注[1-2]。

波達方向(direction of arrival， DOA)估計是雷達參數(shù)估計的一個重要內容，其主要任務是從接收數(shù)據(jù)中提取目標的空間信息，實現(xiàn)對空間目標的檢測和定位。近年來，有關MIMO雷達目標角度估計的研究取得了重要的進展[3-6]。多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[7]和旋轉不變子空間算法[8]是高分辨DOA估計算法的典型算法。其中，MUSIC算法適用于任意結構的陣列，但需要通過進行譜峰搜索來得到目標的角度估計，因此計算復雜度較高。文獻[9]將MUSIC方法應用到MIMO雷達角度估計中，該方法涉及全維協(xié)方差矩陣的特征值分解，且需要在全角度范圍譜峰搜索，導致其計算復雜度較高。文獻[10]提出降低復雜度MUSIC算法(RC-MUSIC)，利用降維變換將接收數(shù)據(jù)降至低維空間，再利用MUSIC算法進行DOA估計，該方法雖然降低了矩陣運算維度，但仍需要在全角度范圍進行譜峰搜索。文獻[11]將半實值MUSIC方法應用到雙基地MIMO雷達的角度估計中，該方法可將角度搜索區(qū)域減半，適用于任意陣列，但需要進行一維搜索，因此計算量仍然很大。文獻[12]將多項式求根MUSIC方法運用到雙基地MIMO雷達的角度估計中，避免了譜峰搜索，并且能實現(xiàn)DOA和DOD的自動配對，但當收發(fā)陣元數(shù)較大時，其運算量仍然很大。

為降低MUSIC算法的復雜度，本文提出一種用于單基地MIMO雷達目標角度估計的低復雜度降維求根MUSIC方法，該方法通過降維變換，將接收數(shù)據(jù)降至低維空間，然后在低維空間中通過導向矢量和噪聲子空間的正交性，構造基于MUSIC的求根多項式，最后通過多項式求根代替譜峰搜索來獲得目標的DOA估計。

1 信號模型

考慮由均勻等距線陣組成的單基地MIMO雷達系統(tǒng)，M個發(fā)射陣元和N個陣元接收陣元等間隔排布，假設陣元間距為半波長。在發(fā)射端，各發(fā)射陣元發(fā)射同頻且相互正交的編碼脈沖信號。假設遠場存在P個不相關的目標，且目標距離遠大于陣列孔徑。在接收端，對接收到的回波信號進行匹配濾波并進行數(shù)據(jù)重排，可得接收數(shù)據(jù)[9]

x(t)=As(t)+n(t),

(1)

式中，A=[ar(θ1)?at(θ1),ar(θ2)?at(θ2),…,ar(θP)?at(θP)]∈MN×P為導向矢量矩陣，at(θp)=[1,ejπ sin θp,…,ej(M-1)π sin θp]T為發(fā)射導向矢量，ar(θp)=[1,ejπ sin θp,…,ej(N-1)π sin θp]T為接收導向矢量，θ1,θ2,…,θP分別為P個目標的方位角，“?”表示Kronecker積；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T為目標反射系數(shù)矩陣；n(t)假設為高斯白噪聲向量，其均值為零，方差為σ2。搜集L個快拍的接收數(shù)據(jù)，可得接收數(shù)據(jù)矩陣

X=AS+N,

(2)

式中，X=[x(t1),x(t2),…,x(tL)],S=[s(t1),s(t2),…,s(tL)]T,N=[n(t1),n(t2),…,n(tL)]T。

2 降維求根MUSIC算法

2.1 降維變換

在M個發(fā)射陣元和N個接收陣元所組成的MIMO雷達系統(tǒng)中，其虛擬通道數(shù)為MN個，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣維數(shù)為MN×MN維。若直接采用該數(shù)據(jù)矩陣進行DOA估計，則子空間估計所需的計算復雜度為O(M3N3)，其計算復雜度隨著陣元數(shù)的增加呈立方次增長。為降低算法的復雜度，可采用降維變換將接收數(shù)據(jù)降至低維空間，使得后續(xù)的運算都是在低維空間中進行，可以大大減輕算法的運算量。

令zp=ejπ sin θp，則發(fā)射-接收聯(lián)合導向矢量可以表示為

(3)

ar(θp)?at(θp)=Tg(θp),

(4)

導向矩陣A可以表示為

A=TG,

(5)

其中，G=[g(θ1),g(θ2),…,g(θP)]∈Me×P。

將式(5)代入式(2)可得

X=TGS+N。

(6)

從式(6)不難看出，信號位于由G張成的低維空間中。因此，可以構造降維變換矩陣，將接收數(shù)據(jù)降至低維空間，再進行目標的DOA估計，這樣可以從整體上大幅度降低運算復雜度。為使降維后噪聲方差保持不變，降維矩陣需選取為正交陣。此處，降維變換矩陣選取為U=W-1/2TH,其中

(7)

將降維變換矩陣U左乘接收數(shù)據(jù)矩陣X，可得

XT=W1/2GS+NT,

(8)

式中XT表示降維后的接收數(shù)據(jù)矩陣，NT=UN為降維后的噪聲矩陣。

2.2 降維求根MUSIC算法

降維變換后，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可通過下式進行估計得到

(9)

對式(9)進行特征值分解，可得

(10)

其中，Σs為由RT的P個較大特征值構成的對角矩陣，Es為由P個較大特征值對應的特征向量組成的信號子空間；Σn為由剩余的(Me-P)個小特征值構成的對角矩陣，En為與(Me-P)個小特征值對應的特征向量構成的噪聲子空間。

根據(jù)導向矢量和噪聲子空間的正交性，可以在低維空間中構造降維MUSIC譜為

(11)

傳統(tǒng)的MUSIC算法通過搜索MUSIC空間譜的譜峰，進而得到目標的DOA估計。由于需要在全角度范圍內進行譜峰搜索，導致計算復雜度較高。為進一步降低計算量，可在低維空間中構造基于MUSIC的求根多項式，再采用多項式求根代替譜峰搜索來獲得目標的角度估計值。令

g(z)=[1,z,…,z(Me-1)]T，

則可以構造求根多項式為

(12)

求解該多項式的根，即可得到目標的DOA估計。

gH(z)Bg(z)=0。

(13)

若Bmn表示矩陣B的第m行第n列元素，則式(13)可改寫為

(14)

θi=arcsin(angle (zi)/π)(i=1,2,…,P)

(15)

式中angle(·)表示取相位操作。

依據(jù)上述降維求根MUSIC算法，其實施步驟如下。

1) 構造降維矩陣U，左乘接收數(shù)據(jù)X，得到低維接收數(shù)據(jù)矩陣XT；

2) 計算XT的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RT，通過特征值分解估計得到其噪聲子空間En；

3) 在低維空間中構造基于MUSIC求根多項式，計算多項式系數(shù)矩陣B；

4) 求解式(14)所示(2Me-2)階多項式，得到(Me-1)對關于單位圓共軛對稱根；

5) 尋找P個最靠近單位圓的根z1,z2,…,zP；

6) 根據(jù)式(15)獲得目標的角度估計值θ1,θ2,…,θP。

3 計算復雜度分析

4 仿真實驗

為了驗證本文RC root-MUSIC算法的有效性，進行以下仿真實驗來進行功能驗證并與MUSIC算法和RC-MUSIC算法進行比較。仿真中，MUSIC算法和RC-MUSIC算法的角度搜索間隔為0.01°。假設單基地MIMO雷達系統(tǒng)的發(fā)射天線和接收線性均采用均勻線陣，各陣元等距分布且陣元間距為半波長。考慮位于方位θ1=10°,θ2=20°,θ3=30°的3個非相干遠場目標。仿真進行500次蒙特卡羅實驗，仿真結果取其統(tǒng)計平均值。用均方根誤差

(16)

圖1顯示了MUSIC空間譜和RC-MUSIC空間譜及采用降維求根MUSIC算法得到的目標角度估計值。其中，發(fā)射陣元數(shù)M=8，接收陣元數(shù)N=6，快拍數(shù)L=20，目標信噪比為10 dB。從圖中可以看出，RC-MUSIC譜比MUSIC譜具有更尖的譜峰和更低的旁瓣。同時可以看出，采用RC root-MUSIC算法，無需進行譜峰搜索，就可以精確地確定RC-MUSIC譜對應的譜峰位置，進而得到目標的DOA估計。

圖1 MUSIC譜和RC-MSUIC譜比較

圖2顯示了在M=8,N=6,L=20條件下，用本文RC root-MUSIC算法進行100次仿真實驗估計得到的3個目標的DOA。從圖中可以看出，本文算法可以同時對多個非相干目標進行精確定位。

圖3為角度估計的均方根誤差隨信噪比的變化的關系曲線。實驗中，發(fā)射陣元數(shù)M=8，接收陣元數(shù)N=6，快拍數(shù)L=20，進行500次蒙特卡羅實驗。從圖中可以看出，在低信噪比區(qū)域，RC root-MUSIC算法可以獲得比MUSIC算法和RC-MUSIC算法更高的估計精度。三種MUSIC算法的估計性能均隨著信噪比的增加而提高，且具有相同的漸進估計性能。

圖2 100次仿真實驗角度估計值

圖3 角度估計精度隨信噪比變化關系

圖4是在快拍數(shù)L=100，目標個數(shù)P=5，且假定收發(fā)陣元數(shù)相同情況下，3種算法的運算復雜度隨陣元數(shù)的變化關系曲線。由圖可見，降維求根MUSIC算法的計算復雜度比MUSIC算法和RC-MUSIC算法都低，這是由于該算法在低維空間中進行目標角度的估計，且避免了耗時的譜峰搜索，所以，算法復雜度大大降低。

圖4 運算復雜度隨陣元數(shù)變化關系

5 結語

提出了一種基于降維求根MUSIC算法的低復雜度單基地MIMO雷達目標角度估計方法。該方法采用降維變換降低接收數(shù)據(jù)的維數(shù)，在低維空間中構造旋轉不變結構估計目標的DOA，算法通過多項式求根得到目標的角度估計，避免了譜峰搜索。仿真結果表明，與常規(guī)MUSIC算法和RC-MUSIC算法相比，該算法具有更低的運算復雜度，可以有效地提高MIMO雷達目標角度估計的速度，且在低信噪比條件下具有更高的角度估計精度。