陳凌云++王立東

【摘要】 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)之一，針對(duì)不少學(xué)生在解答過程中思路混亂或者根本找不到出發(fā)點(diǎn)下手這一實(shí)際教學(xué)現(xiàn)狀，筆者提出“從點(diǎn)出發(fā)”這一解題策略，主要幫助學(xué)生能找準(zhǔn)這類問題的切入口或下手點(diǎn)，并能對(duì)方程求解作出正確的處理，并在實(shí)際教學(xué)過程的檢驗(yàn)中取得較好的效果。

【關(guān)鍵詞】解題策略；點(diǎn)；方程

【中圖分類號(hào)】G634.6

解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要組成部分，也是歷年高考解答題中的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，同時(shí)又是不少學(xué)生的“難題”之一。之所以“難”， 主要涉及兩方面原因，一方面， 解析幾何需要運(yùn)用坐標(biāo)法的思想通過代數(shù)的方法解決幾何問題，學(xué)生對(duì)這一思維模式的認(rèn)知比較缺乏，在坐標(biāo)表征的策略上也會(huì)顯的相對(duì)欠缺；另一方面，解析幾何問題的處理過程往往和函數(shù)思想、方程思想等結(jié)合，而學(xué)生綜合運(yùn)用這些思想處理問題的能力還是比較薄弱。因而，教師應(yīng)充分了解學(xué)生認(rèn)知過程的特點(diǎn)，順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的模式，研究有針對(duì)性的、適宜操作的、通用性強(qiáng)的有效解題策略，來幫助引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)和思維的構(gòu)建。本文就一類直線與圓錐曲線位置問題的教學(xué)展開研究和設(shè)計(jì)。

一、陷入困境，追尋根源

（一）、 教學(xué)現(xiàn)狀

在直線與圓錐曲線位置關(guān)系的教學(xué)過程中，無論是平時(shí)的作業(yè)還是檢測(cè)，對(duì)不少學(xué)生而言前一小題基本沒有問題，但后一小題就只能做一部分甚至是一點(diǎn)都做不了，只有為數(shù)較少的學(xué)生才能完整的做下來（還不算完全正確的）。雖然對(duì)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的解答題到了最后關(guān)頭都會(huì)有考查較強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力這一關(guān)，但學(xué)生們更多的是還沒走到這一關(guān)就已早早的偃旗息鼓，停滯不前了。可見，學(xué)生對(duì)這類問題的解題障礙更多的還是思路的欠缺。而教師在平時(shí)的課堂教學(xué)過程中往往會(huì)把重心放在抓后續(xù)的計(jì)算能力這一關(guān)上，對(duì)問題本質(zhì)及思路方法的引導(dǎo)卻略有欠缺，于此同時(shí)，市面上的教輔資料對(duì)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的教學(xué)方案主要側(cè)重內(nèi)容上的分類，如取值范圍問題、定值定點(diǎn)問題、探索性問題等等，給出的方法指引僅是針對(duì)這幾種類型的常用方法的羅列或特定步驟的歸納，很少有對(duì)問題的共通性進(jìn)行提煉，對(duì)思路的形成方式進(jìn)行引導(dǎo)等等。于是，學(xué)生盡管做了很多題，也見識(shí)了很多方法，但仍無法順利的讓自己形成系統(tǒng)的思路網(wǎng)絡(luò)，真正等到自己獨(dú)立做的時(shí)候，就只能“望題興嘆”了。因此，對(duì)學(xué)生進(jìn)行有效易行的解題策略的指引就顯的尤為必要和重要。

（二）、 原因分析

那么，具體在解題過程中是什么阻礙了這部分學(xué)生思維的前行？針對(duì)他們平時(shí)存在的問題，我總結(jié)了以下幾點(diǎn)原因： 1、缺乏對(duì)解析幾何本質(zhì)的理解，對(duì)曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解不到位，所以面對(duì)條件中的諸多點(diǎn)和線時(shí)思路模糊，一籌莫展。2還未形成一套明確的思路模式考慮這類問題 ，所以題目做的雖多，但只是就題論題，碰到新的問題不能觸類旁通，或者出現(xiàn)有時(shí)會(huì)做有時(shí)又不會(huì)做了等等現(xiàn)象。3、坐標(biāo)表征策略薄弱，導(dǎo)致產(chǎn)生不恰當(dāng)?shù)奶幚砀姆绞健?/p>

針對(duì)這些情況，我對(duì)這類直線與圓錐曲線位置問題的解題策略進(jìn)行了探尋。

二、 尋找策略，突破困境

（一）、回歸本質(zhì)，緊抓核心思想

要解好一類題，如果沒有對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生往往抓不住問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，這不利于解題思路的形成。 所以，要解好直線與圓錐曲線位置的問題，首先就要明確解析幾何的學(xué)科本質(zhì)，掌握其核心思想。

解析幾何，又叫做坐標(biāo)幾何，是用代數(shù)方法研究幾何圖形的一門學(xué)科。要用代數(shù)方法研究幾何圖形，首先需要把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式，然后才能用代數(shù)方法進(jìn)行計(jì)算，在獲得代數(shù)結(jié)果以后，又需要把代數(shù)結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.一個(gè)解析幾何問題的解決是通過“幾何圖形代數(shù)化與代數(shù)結(jié)果幾何化”和代數(shù)計(jì)算來實(shí)現(xiàn)的，圖形問題代數(shù)化是解析幾何的核心思想，它把幾何中的點(diǎn)與代數(shù)中的有序?qū)崝?shù)對(duì)——坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，把曲線與二元方程進(jìn)行對(duì)應(yīng)，通過平面直角坐標(biāo)系這座橋梁，使兩種數(shù)學(xué)形式根據(jù)需要可以“互化”，然后可以通過對(duì)方程的研究來研究曲線的性質(zhì)，這是解析幾何的理論基礎(chǔ)。

因此，根據(jù)解析幾何學(xué)科的這一本質(zhì)思想，要解好題目，首先就要具備代數(shù)、幾何互相轉(zhuǎn)化的思想，具體就是點(diǎn)與坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化 ，曲線與方程的轉(zhuǎn)化。

（二）、從點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)建思路網(wǎng)絡(luò)

直線與圓錐曲線位置的解答題一般都包含了各種條件之間的復(fù)雜聯(lián)系，需要清晰的掌握各個(gè)條件之間的關(guān)系，才能形成合適的解題思路，如何搭建好一張思路的網(wǎng)絡(luò)，可以通過分析已知條件中各個(gè)元素與元素之間的關(guān)聯(lián)。

點(diǎn)是解析幾何問題中的最基本的元素，在直線與圓錐曲線相交的問題里， 很多問題都是由直線與圓錐曲線的交點(diǎn)來展開，通過分析這些點(diǎn)的產(chǎn)生方式或者其他元素的構(gòu)成形式，就可以將條件中的點(diǎn)、線等元素串聯(lián)成網(wǎng)，所以，點(diǎn)是這類問題的聚焦和聯(lián)系，求解直線與圓錐曲線相交問題可以看成是求這些點(diǎn)的過程，只要能將點(diǎn)“求得”，問題就可以解決，因此，不妨可以從這些“點(diǎn)”入手，分析這些點(diǎn)的產(chǎn)生來源，以求解這些點(diǎn)作為解題過程的驅(qū)動(dòng)。

分析：此題中涉及的元素有一個(gè)橢圓，三條直線，三個(gè)點(diǎn)，最后要求的是直線EF的斜率，則只要將E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)“求”得，問題就可解決。

第一步，分析E、F這兩點(diǎn)的產(chǎn)生方式，以E點(diǎn)為例， E點(diǎn)既可以看成是直線AE與橢圓的交點(diǎn)，也可看成是直線EF與橢圓的交點(diǎn)，這樣，求解E點(diǎn)的過程就非常自然，而且產(chǎn)生了兩條途徑。

第二步，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將求交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為求解對(duì)應(yīng)的方程組。途徑一是將E點(diǎn)看成是直線AE與橢圓的交點(diǎn)，由此便應(yīng)先產(chǎn)生直線AE方程， 再與橢圓C的方程聯(lián)立求之； 途徑二是將E點(diǎn)看成是直線EF與橢圓的交點(diǎn)，那么也可以由直線EF的方程與橢圓C的方程聯(lián)立求之。

（三）、解易設(shè)難，沖破求解障礙

如上所說，聯(lián)立方程是為了求出直線與曲線的交點(diǎn)，所以處理方程的方式就要以求方程的解為目標(biāo)，根據(jù)求解方程的不同情況及后續(xù)計(jì)算的難易程度，可以分下面兩種情況來具體處理。endprint

1、直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)其中一點(diǎn)已知

途徑一中聯(lián)立了直線AE與橢圓C的方程，此時(shí)由于A點(diǎn)給定，即聯(lián)立后的方程有一個(gè)根是已知的，故另一根（即E點(diǎn)坐標(biāo)）已經(jīng)很明確，此時(shí)應(yīng)果斷求出另一根可使思維更清晰明了。

小結(jié)1：當(dāng)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)其中一點(diǎn)已知，或兩者具有特殊的對(duì)稱關(guān)系時(shí)，對(duì)應(yīng)的方程的根較為容易求得，此時(shí)應(yīng)將它們獨(dú)立求出，可減少所設(shè)參數(shù)的個(gè)數(shù)。

2、直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)都未知且無對(duì)稱關(guān)系

途徑二中聯(lián)立了直線EF與橢圓C的方程，此時(shí)由于E、F兩點(diǎn)既沒有特殊的對(duì)稱關(guān)系，也沒有一個(gè)點(diǎn)是已知點(diǎn)，方程的兩根（E、F點(diǎn)坐標(biāo)）形式勢(shì)必較為復(fù)雜，而且還會(huì)導(dǎo)致后續(xù)計(jì)算過程繁復(fù)不堪，故可采用“設(shè)而不求”的思想，即設(shè)E、F兩點(diǎn)之后暫且不具體求出，利用直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)這一條件，將得到的關(guān)系式整理為兩根之和或兩根之積的形式，即可將前面的韋達(dá)關(guān)系整體代人求得k值。

小結(jié)2：當(dāng)直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)都未知且無對(duì)稱關(guān)系時(shí)，方程的兩根求出來比較復(fù)雜，不利后續(xù)計(jì)算，此時(shí)應(yīng)設(shè)而不求。

三、效果檢驗(yàn)，思維綻放

為檢驗(yàn)這一解題策略的具體效果，我在課堂上讓學(xué)生思考了下面這道題：

例2、已知橢圓 的離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線 相切.

（I）求橢圓 的方程；

（II）設(shè)P（4，0），A，B是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接PE交橢圓C于另一點(diǎn)E，直線AE與x軸相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q為定點(diǎn)。

學(xué)生拿到題目后都異常積極的投入了思考，在上述解題思想的引領(lǐng)下，一段時(shí)間過后就有幾位同學(xué)將求直線AE的過程整理下來了，下面是學(xué)生對(duì)此題的分析過程：

生1：所求的點(diǎn)Q是直線AE與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)Q的產(chǎn)生方式需要將直線AE 表示出來，故需求解A、E兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)是由B點(diǎn)對(duì)稱得來，故得到B點(diǎn)就可得到A點(diǎn)。而B、E兩點(diǎn)均可看成直線BP與橢圓的交點(diǎn)，所以通過設(shè)直線PB方程與橢圓C方程聯(lián)立來求解，但因兩個(gè)交點(diǎn)均為未知，故采用了設(shè)而不求的方法寫出直線AE的方程，令方程中的y=0，就是點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，接下來就用韋達(dá)定理整體代換整理出Q點(diǎn)坐標(biāo)。

此學(xué)生回答完后有好幾位學(xué)生都輕輕的“嗯”了一聲，說明有不少同學(xué)都采用了這條途徑，看到學(xué)生可以比較順暢運(yùn)用這一方法找到解這類問題的門道，我很感欣慰。接下來，我又問道：要得到A、E兩點(diǎn)還有別的途徑嗎？“有”，幾個(gè)不大的聲音從底下傳來，我叫了其中一位學(xué)生講了他的思路。

生2：我覺的點(diǎn)A和點(diǎn)E都跟點(diǎn)B有關(guān)，所以我就通過設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo) 來得到這兩點(diǎn)，A點(diǎn)直接根據(jù)對(duì)稱得到，E點(diǎn)仍舊看成直線BP與橢圓的交點(diǎn)，此時(shí)聯(lián)立之后的方程我就可以直接把E點(diǎn)坐標(biāo)表示出來了，因?yàn)殡m然B點(diǎn)還是未知點(diǎn)，但設(shè)了 之后就可以將此點(diǎn)看成是相對(duì)已知的點(diǎn)，便可直接表示出另一根即E點(diǎn)的坐標(biāo)來了，之后根據(jù)表示下來的A、E這兩點(diǎn)就能寫出直線AE方程了。

生2回答完后我對(duì)他的解法表示了肯定，有了這兩位同學(xué)正確的回答作開頭，也激起了其他同學(xué)的自信以及分享自己想法的欲望。

生3： 我是將A、E兩點(diǎn)看作直線AE與橢圓的交點(diǎn)這一角度出發(fā)的。設(shè)直線AE方程y=kx+b與橢圓方程聯(lián)立，由條件同樣需要設(shè)而不求，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，B點(diǎn)的坐標(biāo)就可對(duì)應(yīng)得到，然后利用E、B、P這三點(diǎn)是共線關(guān)系就可以列出關(guān)系式整理出k與b的關(guān)系，將其代入AE方程后定點(diǎn)就出來了 。

“很好！”，看到學(xué)生能將解題思想運(yùn)用自如，問題分析到位，說明學(xué)生已能真正明確直線和圓錐曲線位置關(guān)系問題的本質(zhì)思想，我心里很是滿意。這時(shí)，又有一個(gè)學(xué)生進(jìn)行了補(bǔ)充。

生4：我跟生3的做法基本一樣，不過有一個(gè)地方有點(diǎn)區(qū)別，因?yàn)榭紤]到A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以直線AP和EP的斜率就互為相反數(shù)，這樣，就可直接利用 這一關(guān)系來求了。

這位學(xué)生從這個(gè)角度發(fā)現(xiàn)的這一點(diǎn)似乎帶給了其他同學(xué)一定的啟發(fā)，此時(shí)我身邊的一位同學(xué)也似乎想到了什么，于是我又問了這位同學(xué)他的想法。

生5：我是因?yàn)閯偛派?說的那個(gè)思路突然想到的，既然AP和EP的斜率相反，也就是關(guān)于x軸對(duì)稱，那么就題目就相當(dāng)于是由x軸上一點(diǎn)P出發(fā)，作兩條關(guān)于x軸對(duì)稱的直線分別與橢圓相交（如圖3），顯然四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰梯形，AE就是這個(gè)等腰梯形的對(duì)角線，后面還沒想好。

雖然，他只講了一半，但這一思路很快得到了其他同學(xué)的贊賞，一陣思考過后，生6對(duì)后面的思路進(jìn)行了補(bǔ)充。

生6：可以利用相似比，得到 ，即 ，從而 ，然后用前面的韋達(dá)定理代人即可。

這是超出我預(yù)設(shè)的一種解法，在對(duì)他的解法表示肯定的同時(shí)，我也小有激動(dòng)，我沒想到這道題學(xué)生還會(huì)從這一角度入手。 正當(dāng)我準(zhǔn)備作小結(jié)時(shí)，又有一生忽然站起來問了個(gè)問題：這道題可不可以看成由一條直線AE與橢圓相交出發(fā)，只要滿足直線AP和EP斜率相反，那么直線AE就過定點(diǎn)？

經(jīng)過分析比較，大家發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)問題的本質(zhì)是一樣的，從這個(gè)視角出發(fā)，條件就可從4個(gè)點(diǎn)減少為3個(gè)點(diǎn)，題目的特征更為明顯，思路也就更為清晰。看來學(xué)生不僅會(huì)解題，還會(huì)開始考慮題目的本質(zhì)了。此時(shí)下課鈴已響，但學(xué)生仍意猶未盡，在我走出教室的時(shí)候，還有學(xué)生在繼續(xù)討論著

波利亞說，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、新解法。學(xué)生們的表現(xiàn)應(yīng)該就是這一解題策略效果的最好答案了。endprint