(揚(yáng)州大學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 225000)

常用湍流模式及其優(yōu)缺點(diǎn)

陳偉

(揚(yáng)州大學(xué)江蘇揚(yáng)州225000)

從工程實(shí)際應(yīng)用的角度介紹和總結(jié)了以往工程中常用的一些湍流模式，并分析這些模式對(duì)應(yīng)的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。

湍流；湍流模式；模型

一、湍流的數(shù)值模擬方法

目前的湍流數(shù)值模擬方法可以分為直接數(shù)值模擬方法和非直接數(shù)值模擬方法。前者是指直接求解瞬時(shí)湍流控制方程，而后者是不直接計(jì)算湍流的脈動(dòng)特征，而是對(duì)湍流作某種程度的近似和簡化處理。非直接數(shù)值模擬方法分為大渦模擬、統(tǒng)計(jì)平均法和Reynolds平均法。

二、大渦模擬法

為了模擬湍流運(yùn)動(dòng)，一方面要求計(jì)算區(qū)域的尺寸應(yīng)大到足以包含湍流運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)的最大渦，另一方面要求計(jì)算網(wǎng)格的尺寸應(yīng)小到足以分辨最小渦的運(yùn)動(dòng)。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，計(jì)算速度和計(jì)算容量得到大幅提高，現(xiàn)已有一些研究機(jī)構(gòu)對(duì)Navier-stokes方程不做模型化或者簡化，利用高性能的計(jì)算機(jī)劃分極密的網(wǎng)格直接求解Navier-stokes方程，也即直接數(shù)值模擬(DNS-Directly Numerical Simulation)。然目前普通研究人員尚無法實(shí)現(xiàn)DNS，故只將大于網(wǎng)格尺度的湍流運(yùn)動(dòng)通過Navier-stokes方程直接計(jì)算出來，而小尺度的湍流運(yùn)動(dòng)對(duì)大尺度湍流運(yùn)動(dòng)的影響則利用次網(wǎng)格尺度模型來模擬，也即介于DNS和雷諾時(shí)均方法之間的大渦模擬法(LES-Large eddy simulaton)。

三、Reynolds 平均法

從工程應(yīng)用的觀點(diǎn)上看，重要的是湍流所引起的平均流場的變化這種整體的效果。所以在求解Navier-stokes方程時(shí)不用求解方程的全部細(xì)節(jié)，只要求解時(shí)均化的Navier-stokes方程，并將瞬態(tài)的脈動(dòng)量在時(shí)均化的方程中體現(xiàn)出來，也即Reynolds平均法。

(一)Reynolds應(yīng)力模型。在Reynolds應(yīng)力模型方法中，直接構(gòu)建表示Reynolds應(yīng)力的方程，然后聯(lián)立求解。通常情況下，將Reynolds應(yīng)力方程是微分形式的方程稱為Reynolds應(yīng)力方程模型，將Reynolds應(yīng)力方程的微分形式簡化為代數(shù)方程的形式，則稱為代數(shù)應(yīng)力方程模型。

(二)Reynolds 應(yīng)力方程模型。Reynolds應(yīng)力方程模型(RSM-Reynolds Stress equation Model)的使用必須先得到Reynolds應(yīng)力輸運(yùn)方程。

RSM屬于高RE數(shù)的湍流計(jì)算模型，在固體壁面附近由于受到分子粘性的作用，湍流脈動(dòng)收到阻尼，RE數(shù)很小，上述方法不再適用。因而必須采用壁面函數(shù)法或者低RE數(shù)的RSM法來處理近壁面區(qū)的流動(dòng)計(jì)算問題。

由上述方法建立的對(duì)壓力應(yīng)變項(xiàng)等的計(jì)算公式，經(jīng)計(jì)算實(shí)踐表明，RSM雖然能考慮一些各向異性效應(yīng)，但效果未必比其他的模型效果好，在計(jì)算突擴(kuò)流動(dòng)分離區(qū)和計(jì)算湍流輸運(yùn)各向異性較強(qiáng)的流動(dòng)時(shí)，RSM優(yōu)于雙方程模型，但對(duì)于一般的回流流動(dòng)，RSM的結(jié)果并不一定比k-ε模型好。另一方面，就三維問題而言，采用RSM法意味著要多求解6個(gè)Reynolds應(yīng)力的微分方程，計(jì)算量更大，故RSM不如k-ε模型應(yīng)用更廣泛。

(三)代數(shù)應(yīng)力方程模型。由于RSM過于復(fù)雜且計(jì)算量大，從而衍生了一種用不包含微商的表達(dá)式來代替RSM中包含Reynolds應(yīng)力微商的項(xiàng)，也即代數(shù)應(yīng)力方程模型(ASM-Algebraic Stress equation Model)。

在對(duì)RSM中的Reynolds應(yīng)力方程進(jìn)行簡化時(shí)，重點(diǎn)集中在對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)的處理上。一種簡化方案是采用局部平衡假定，即Reynolds應(yīng)力的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差為零；另一種簡化方案是假定Reynolds應(yīng)力的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差正比于團(tuán)動(dòng)能k的對(duì)流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)之差。

ASM是將各向異性的映像合并到Reynolds應(yīng)力中進(jìn)行計(jì)算的一種經(jīng)濟(jì)算法，但因其要比k-ε模型多解6個(gè)代數(shù)方程組，其計(jì)算量還是遠(yuǎn)大于k-ε模型。

ASM雖然不像k-ε模型應(yīng)用廣泛，但可用于k-ε不能滿足要求的場合以及不同的傳輸假定對(duì)計(jì)算精度影響不是十分明顯的場合。例如：對(duì)于像方形管道和三角形管道內(nèi)的扭曲和二次流的模擬，由于流動(dòng)特征是由Reynolds正應(yīng)力的各向異性造成的，因此使用標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型得不到理想結(jié)果，而使用ASM就非常有效。

(四)渦粘模型。在渦粘模型方法中，不直接處理Reynolds應(yīng)力項(xiàng)，而是引入湍動(dòng)粘度，或稱渦粘系數(shù)，然后把湍流應(yīng)力表示成湍動(dòng)粘度的函數(shù)，整個(gè)計(jì)算的關(guān)鍵在于確定這種湍動(dòng)粘度。

Boussinesq渦粘假定建立了Reynolds應(yīng)力相對(duì)于平均速度梯度的關(guān)系；故計(jì)算湍流流動(dòng)的關(guān)鍵在于確定μt。渦粘模型就是把μt與湍流時(shí)均參數(shù)聯(lián)系起來的關(guān)系式。一局確定μt的微分方程數(shù)目的多少，渦粘模型包括：零方程模型、一方程模型和兩方程模型。

(五)零方程模型。零方程模型是指不實(shí)用微分方程，而是用代數(shù)關(guān)系式把湍動(dòng)粘度與時(shí)均值聯(lián)系起來的模型。它只用湍流的時(shí)均連續(xù)方程和Reynolds方程組成方程組，把方程組中的Reynolds應(yīng)力用平均速度場的局部速度梯度表示。

混合長度理論的優(yōu)點(diǎn)是直觀簡單，對(duì)于射流、混合層、擾動(dòng)和邊界層等帶有薄的剪切層的流動(dòng)比較有效，但只有在簡單的流動(dòng)中才比較容易給定混合長度lm，對(duì)復(fù)雜流動(dòng)則很難確定lm，而且不能用于模擬帶有分離及回流的流動(dòng)。

(六)一方程模型。在零方程模型中，湍動(dòng)粘度μt和混合長度lm都把Reynolds應(yīng)力和當(dāng)?shù)仄骄俣忍荻认嗦?lián)系，從而達(dá)到一種局部平衡，但是忽略了對(duì)流和擴(kuò)散的映像。為了擬補(bǔ)混合長度家丁的局限性，在湍流的時(shí)均連續(xù)方程和Reynolds方程的基礎(chǔ)上，在建立一個(gè)湍動(dòng)能k的輸運(yùn)方程，而μt表示成k的函數(shù)，從而可使方程組封閉。

一方程模型考慮到湍動(dòng)的對(duì)流輸運(yùn)和擴(kuò)散輸運(yùn)，因而比零方程模型更為合理。但是一方程模型中如何確定長度比尺l仍是不易解決的問題。

(七)兩方程模型。在一方程模型的基礎(chǔ)上，再引入一個(gè)關(guān)于湍流耗散率ε的方程后形成了k-ε兩方程模型，稱為標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型是。

k-ε模型具有以下特點(diǎn)：(1)通過求偏微分方程考慮湍流物理量的輸運(yùn)過程，即通過求解偏微分方程確定脈動(dòng)特征速度與平均場速度梯度的關(guān)系，而不是直接將兩者聯(lián)系起來；(2)特征長度不是由經(jīng)驗(yàn)確定，而是以耗散尺度作為特征長度，并由求解相應(yīng)的偏微分方程得到；(3)計(jì)算所需內(nèi)存較少，計(jì)算穩(wěn)定。

它也有如下缺點(diǎn)：(1)該模式中因假定Reynolds應(yīng)力與當(dāng)?shù)氐钠骄凶兟食烧?，故不能?zhǔn)確反映Reynolds應(yīng)力沿流向的歷史效應(yīng)；但是由于脈動(dòng)特征速度和特征長度使用過解相應(yīng)的微分方程得到，因而k-ε模型在一定程度上又考慮了流場中各點(diǎn)的湍能傳遞和流動(dòng)的歷史作用；(2)該模式是各項(xiàng)同性模式，橫道斷面上由Reynolds應(yīng)力場的各向異性所生成的二次流不能用其來模擬；(3)Reynolds應(yīng)力生成項(xiàng)對(duì)即使很小的縱向曲率都十分敏感，而標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型對(duì)附加應(yīng)變不存在放大作用，因此對(duì)此類流動(dòng)的模擬不適用；(4)一般而言，流動(dòng)越復(fù)雜，標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型模擬出的Reynolds應(yīng)力精度也相應(yīng)越低。

[1]王福軍，計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)分析，清華大學(xué)出版.

[2]劉士和等，工程湍流，科學(xué)出版社，2011.1.

[3]梁在潮等，工程湍流，華中理工大學(xué)出版社，1999.4.

[4]王玲玲，大渦模擬理論及其應(yīng)用綜述，1000-1980(2004)03-0261-05.

陳偉(1993-)，男，漢族，安徽六安，研究生在讀，揚(yáng)州大學(xué)，河流動(dòng)力學(xué)。